高等数学A2 摘要：则可用求特征方程根的代数方法求解,尽量不用降阶法,可...多元函数微积分奠定基础.二,补充例题例1 向量垂直于...对于线积分的计算公式的证明,可按教材的方法却通过... 关键词：代数,微积分,线 类别：专题技术 来源：牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！ 高等数学A2 第章 微分方程 一、内容分析及教学建议 微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题， 早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。 微分方程的概念 从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意： 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的； 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。 例如：函数是微分方程的解， , ∴此解不是通解，也不是特解。 (二) 一阶微分方程的解法 1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解；如，改写为（关于的一阶线性微分方程等）； 2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容； 3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如，即可； 4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础； 5、关于贝努利方程，注意：，这里可放宽到任意实数仍成立。 (三) 可降阶的高阶微分方程 1、三种常见的类型：，，共同的思路是通过变量代换进行降阶，教学中注意形式上的比较及变量代换的作用，尤其是讲清中为什么用而不用； 2、形如的方程，既属于型，又属于型，求解时，应选择较为简单的方法； 3、如果可降阶的高阶微分方程是常系数线性微分方程，则可用求特征方程根的代数方法求解，尽量不用降阶法，可避免求解积分的繁复计算； （四） 高阶线性微分方程 1、关于解的性质，首先要引入线性相关与无关的概念，如果未学线性代数，则主要是以解释为主； 2、一定要让学生明白解的结构，为后面具体求解奠定基础； 3、基础较好的班级可选讲二阶线性非齐次方程的常数变易法； 4、对于二阶常系数非齐次方程特解的求解，讲课时由易到难，由简单到复杂，先从开始，再讨论，最后再介绍一般的类型，循序渐进，逐一讨论，易于接受。（五） 微分方程的应用问题 应用微分方程解决实际问题，是数学建模的一个重要组成部分，另外在近几年的考研命题中比重有所加大，教学中予以重视，这类问题一般按以下步骤求解。 ⅰ） 对实际问题作出简化假设； ⅱ） 根据题意，建立微分方程，列出初始条件； ⅲ） 应用适当的变量代换化微分方程为标准的可解方程，然后求解。 当然，教学的基本要求是解决一些简单的几何和物理应用题，关键仍是教学生解决此类问题的分析思路。 二、补充例题 例1 求解下列微分方程① ，② 解①: 令，则，于是， ，， 由初值问题，故所给方程特解 . 原方程可改写为,. 令，则有：，，原方程通解为. 例2. 设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面， 其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求. 解： 由题设及高斯公式得： 其中为围成的有界闭区域，当有向曲面的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲面的法向量指向内侧时，取“-”号，由的任意性知， 即， 这是一阶线性非齐次方程，由通解公式有 由于，故必有：，即，从而 设方程的一个特解为，试确定，，的值，并求通解. 解： 把代入方程整理得 解得：，，原方程为： 对应齐次方程通解为，由于为方程的特解，而是对应齐次方程的解，因此为原方程的特解，所以方程的通解为. 另一解法：因为特解中含有项，表明1为对应齐次方程的一个特征根，特解中含有项，知2是另 一特征根，特征方程为：，原方程为，，，由于对应齐次方程的通解为，知为方程的特解，代入方程得： 方程的通解为. 设，其中连续，求. 解： 等式两端对求导得：； ； 再求导得： 令,得 在中令，从而和初始条件，,得初值问题对应齐次方程通解为 设

第十二章 第一节 引例1. 引例2. 列车在平直路上以 微分方程的基本概念 例1. 验证函数 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 练习: 例4. 例5. 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 内容小结 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 备用题 已知曲线积分 第三节 一、齐次方程 例1. 解微分方程 例2. 解微分方程 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: *二、可化为齐次方程的方程 例4. 求解 第四节 一、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 例2. 求方程 例3. 有一电路如图所示, 因此所求电流函数为 二、伯努利 ( Bernoulli )方程 例4. 求方程 内容小结 思考与练习 作业 备用题 2. 设有微分方程 2) 再解定解问题 伯努利(1654 – 1705) 第五节 一、全微分方程 例1. 求解 例2. 求解 二、积分因子法 常用微分倒推公式: 例3. 求解 作业 备用题 解方程 第六节 一、 例1. 例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 二、 例3. 求解 例4. 三、 例5. 求解 例6. 说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 例7. 解初值问题 例8. 内容小结 思考与练习 备用题 第七节 一、二阶线性微分方程举例 例2. n 阶线性微分方程的一般形式为 二、线性齐次方程解的结构 说明: 定义: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 定理 2. 三、线性非齐次方程解的结构 定理 4. 定理 5. 例3. 例4. *四、常数变易法 情形2. 例5. 例6. 第八节 二阶常系数齐次线性微分方程: 2. 当 3. 当 小结: 推广: 例1. 例3. 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 解的特征: 2) 有阻尼自由振动情况 小阻尼自由振动解的特征 : 大阻尼解的特征: 临界阻尼解的特征 : 例4. 例6. 例7. 内容小结 思考与练习 备用题 第九节 一、 例1. 例2. 例3. 求解定解问题 二、 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 小 结: 例4. 例5. 例6. 例7. 内容小结 思考与练习 2. 求微分方程 3. 已知二阶常微分方程 ?第十节 欧拉方程的算子解法: 例1. 例2. 例3. 得通解为 思考: 如何解下述微分方程 第十一节 一、一阶微分方程问题 例1. 二、二阶齐次线性微分方程 例2. 例3. 整理后得: *第十二节 常系数线性微分方程组解法步骤: 例1. 例2. 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 例1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 例2. 求下列方程的通解: 例3. 练习题: 二、解微分方程应用问题 P327 题6. 已知某车间的容积为 习题课 (二) 一、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 解答提示 特征根: P327 题4(2) 求解 P327 题8 设函数 解初值问题: 例1. 求微分方程 例2. 例3. 二、微分方程的应用 例4. 例5. 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 练习题 备用题 2. 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 得微分方程 ( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t = 30 时 解定解问题 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 初始条件 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? 二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 1. 可降阶微分方程的解法 —