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初三复习：掌握练习方法 提高解答数学题的能力
来源：京翰教育中心
作者：佚名
　　一、掌握预习学习方法，培养数学自学能力
　　预习就是在课前学习课本新知识的学习方法，要学好，首先要学会预习数学新知识，因为预习是听好课，掌握好课堂知识的先决条件，是数学学习中必不可少的环节．预习可以用&一划、二批、三试、四分&的预习方法．&一划&就是圈划知识要点，基本概念．&二批&就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方；&三试&就是尝试性地做一些简单的练习，检验自己预习的效果．&四分&就是把自己预习的这节知识要点列出来，分出哪些是通过预习已掌握了的，哪些知识是自己预习不能理解掌握了的，需要在课堂学习中进一步学习．
　　二、掌握课堂学习方法，提高课堂学习效果
　　课堂学习是学习过程中最基本，最重要的环节，要坚持做到&五到&即耳到、眼到、口到、心到、手到；
　　手到：就是以简单扼要的方法记下听课的要点，思维方法，以备复习、消化、再思考，但要以听课为主，记录为辅；
　　耳到：专心听讲，听老师如何讲课，如何分析、如何归纳总结．另外，还要听同学们的解答，看是否对自己有所启发，特别要注意听自己预习未看懂的问题；
　　口到：主动与老师、同学们进行合作、探究，敢于提出问题，并发表自己的看法，不要人云亦云；
　　眼到：就是一看老师讲课的表情，手势所表达的意思，看老师的演示实验、板书内容，二看老师要求看的课本内容，把书上知识与老师课堂讲的知识联系起来；
　　心到：就是课堂上要认真思考，注意理解课堂的新知识，课堂上的思考要主动积极．关键是理解并能融汇贯通，灵活使用．对于老师讲的新概念，应抓住关键字眼，变换角度去理解．
　　三、掌握练习方法，提高解答的能力
　　数学的解答能力，主要通过实际的练习来提高．数学练习应注意以下几点：
　　1．端正态度，充分认识到数学练习的重要性．实际练习不仅可以提高解答速度，掌握解答技能技巧，而且，许多的新问题常在练习中出现．
　　2．要有自信心与意志力．数学练习常有繁杂的计算，深奥的证明，自己应有充足的信心，顽强的意志，耐心细致的习惯．
　　3．要养成先思考，后解答，再检查的良好习惯，遇到一个题，不能盲目地进行练习，无效计算，应先深入领会题意，认真思考，抓住关键，再作解答．解答后，还应进行检查．
　　4．细观察、活运用、寻规律、成技巧．
　　四、掌握复习方法，提高数学综合能力
　　复习是记忆之母，对所学的知识要不断地复习，复习巩固应注意掌握以下方法．
　　1．合理安排复习时间，&趁热打铁&，当天学习的功课当天必须复习，无论当天作业有多少，多难，都要巩固复习．
　　2．采用综合复习方法，即通过找出知识的左右关系和纵横之间的内在联系，从整体上提高，综合复习具体可分&三步走&：首先是统观全局，浏览全部内容，通过唤起回忆，初步形成知识体系印象，其次是加深理解，对所学内容进行综合分析，最后是整理巩固，形成完整的知识体系．
　　3．突破薄弱环节的复习方法．要多在薄弱环节上下功夫，加强巩固好课本知识，只有突破薄弱环节，才利于从整体上提高数学综合能力．
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小学数学解决问题的策略
上传: 黄璐 &&&&更新时间： 21:28:15
小学数学解决问题的策略 我国中小学生学习勤奋，基本功扎实，基础知识和基本技能熟练成为世界公认的成绩。但是，随着时代的发展和实施素质教育的要求，目前中小学数学教育中也确实存在着一些亟待解决的问题。主要是学习过程中，涉及到实际情景的问题，学生的动手操作能力、理解和解决问题的能力、创新能力、克服困难独立探究、合作交流的能力以及解决问题的信心等方面显得不尽人意。本文通过深入课堂听课、分析学生的作业等研究活动，对小学数学问题解决的基本策略进行了梳理和小结，并从不同的角度提出指导解题策略的注意点。 一、小学生数学问题解决的基本策略 （一）&&&作图解决问题的策略 线段图在解答分数问题时的作用是显而易见，教过小学高年级数学的教师都会对运用线段图来解答分数问题情有独钟，但线段图在解决其他类型的问题同样也会发挥其直观、形象作用。 如：1、哥哥像妹妹现在这样大的时候，妹妹是9岁；妹妹到哥哥现在这样大时，哥哥是24岁。兄妹俩人现在各是多少岁？ 这题看上去似乎条件不足，小学生很难弄清楚其中哥哥和妹妹之间的年龄关系。通过线段图来帮助理解，找出之间的关系。 & & &&&&&&&分析：妹妹现年-9岁=哥哥现年-妹妹现年=24-哥哥现年 最短的线段是指妹妹9岁，最常的线段是哥哥24岁 24-9=15（岁）&15&3=5（岁） &&&&&&哥哥现在的岁数：24-5=19（岁） 妹妹现在的岁数：9+5=14（岁） （二）&&&列举信息的策略 平面上有16个点，点与点之间横向与纵向的距离都是1厘米，求通过这些点能够连出多少个正方形？ .&&&.&&&.&&&.&&&&&&&&&&&&&&&&分析：(1)边长为1厘米的正方形有9个； .&&&.&&&.&&&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)边长为2厘米的正方形有4个； .&&&.&&&.&&&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)边长为3厘米的正方形有1个； .&&&.&&&.&&&.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(4)边长为&厘米的正方形有4个； &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5)边长为&厘米的正方形有2个。 &&&&通过这些点能够连出20个正方形。 &&&&枚举探求是指通过举例发现规律从而解决问题。 &&&&如：(1)两个十位数&的乘积中各位上的数字是奇数的数字有（ ）个。 我们可以从初始的简单情况列举： 1&9=9（奇数数字有1个）， 11&99=1089（奇数数字有2个）， (猜想同是几位数的1和9两数相乘，便有几个奇数数字） 111&999=110889（奇数数字有3个，猜想再次得到验证）&& 推想：原题同是十位的1和9两数相乘，故积中共有10个奇数数字。不仅如此，还可以推知积中前面有位数减1个1，接后是1个0，再后是位数减1个8，最后一位是9，即原题积是。 枚举筛选法是指解某些数学题时，有时要根据题目的一部分条件，先把可能的答案一一列举出来，然后再根据另一部分条件检验，筛选出题目的答案。数学问题的解决过程既是一种不断地变更问题的过程，也是一种不断试错与筛选的过程。 （三）、动手做的策略 &&& 这是一种通过探索性动手操作而获得问题解决的策略。在学习空间与图形这一块内容时，动手做的策略就会显得很有效。如：在讲授认识平行四边形这一新课时，教学目标就是要让学生能够自己动手操作探索出平行四边形的基本特征两条对边互相平行且相等。需要注意的是，在学生动手之前，教师不要给太多的暗示，要把实际操作策略的选择权留给学生，让学生在自主探索中实现操作策略的多样化。这一课时的例1教师让学生自己想办法做出一个平行四边形行，在小组里交流。学生的动手做的方法各不相同，有人用小棒摆，有人在钉子板上围，有人在方格纸上画，有人沿着直尺画，还有人直接用小剪刀箭的等等 （四）、尝试的策略 美国著名心理学家桑代克曾把人和动物的学习定义为刺激与反应之间的联结，联结是通过盲目尝试、逐步减少错误而形成的，即通过试误形成的。桑代克的尝试&&错误说早在一百年前就提出来了，也被大多数人所认同。这里的尝试策略也就是多种方法的&试误&过程。不同的学生有着不同的数学水平，因此，要允许学生以不同的方式去学习数学。教师所要做的，就是要充分尊重每一个学生的个体差异，让学生采用尝试的策略去解决问题。 如：&每条船最多可坐8人，50名同学需租几条船？&常见的做法是引导学生计算一下，50&8=6（条）&&2（人），故得租7条船。但这样学习组织缺乏对问题多种解决策略的尝试和探索。因此，可以放手让学生自己去尝试探索： （1）8&6=48（人），6条船可坐48人，多2个人，需租7条船。 （2）8个8个地加，共加6次余2，需租7条船。 （3）从50里一次减去8，去6次后还有2人，需租7条船。 （4）如果每条船坐10人，50人坐5条船，每条多了2人，5条就多了10人，需加一条船，余下的2人再租1条船，一共租7条船。 （5）6&8=48（人），8&8=64（人），6条船只能安排48人，不够，而8条船太多了，所以需租7条船。 二、策略指导注意的问题 （一）考虑不同学段的不同要求 &&&& 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》就问题解决这一块，对不同学段的学生的要求也是不同的。 &&&&第一学段的教学中，教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去。例如解决&在开家长会时，每张长凳最多坐5人，33位家长至少需要准备几张凳子&这个问题时，学生的思考方法可能是多样的。有的学生借助学具，用小棒代表长凳，用圆片代表家长，在操作中得出至少准备7张长凳；有的学生通过计算33&5，判断至少应准备7张凳子；有的学生则用乘法，5&7=35，35&＞33，而5&6=30，30＜33，因此至少要准备7张长凳。对于这些方法，教师都应该加以鼓励，并为学生提供交流的机会，使学生在相互交流中不断完善自己的方法。同时，教师应该常要求学生思考这样的问题：你是怎样想的？刚才你是怎么做的？如果&&怎么样？出现什么错误了？你认为哪个办法更好？&& 以此来引导学生思考并交流解决问题的方法。 &&&&&第二学段学生的知识、能力、情感和态度与第一学段的学生相比都有了进一步的发展，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。 （二）在问题解决的过程中的体验，而非简单传授 &&&&随着学生年级的升高，其学习能力也不断增强，问题解决的策略逐渐得到积累和丰富。当他再次遇到问题时，逐渐摆脱对教师的依赖，能够通过自身的努力、同学间的合作探索，找到合理的策略，使问题解决。在教学中，教师要把握：让学生在解决问题的过程中体验各种策略的作用，不要简单地给予。面对一条待解决的问题，教师不应限制学生的思维，而是该让学生自己去选择适合自己的策略。当大家都用自己的方法解决之后，教师再带着大家一起来交流，使学生体会问题解决策略的多样性，也体会到问题解决时不同策略间的差异。 （三）具体解决问题要以学生的相互指导为主，教师起引导作用 &问题解决的过程本应是师生、生生交往互动的过程。学生之间由于生活背景、知识储备、思维习惯，甚至性格气质等的不同，使得他们的数学学习存在差异性，体现出个性特点较为明显。这种差异本身就是课程的资源。为此，在数学学习中，包括在问题解决的过程中，不可能切断、更不应人为地阻碍学生间的相互学习与指导。反之，我们要发挥学生间相互指导的作用，把教师对学生的引导与学生间的评价指导结合起来。这样，更易使学生在解决问题的过程中，将有效的策略内化，逐渐提高解决问题的能力。 （三）&&&策略的培养也需教师的精心选题 &&&&& 正所谓&拳不离手，曲不离口&。无论哪种技能的掌握都要勤加练习。可是对于问题解决来讲并不是练得越多越好，练习要练在&点&上。练习的题目要有代表性，全面性。这样不仅巩固了新知识，又有拓展了旧知识，这就要求教师在布置作业时要慎重选题：做多了使学生对问题解决有厌恶感，做少了又起不到巩固的效果。总之，在素质教育的今天，教师应抛弃采用题海战术的方法来提高学生的解题能力，而是通过其它的途径，潜移默化地通过评价的方法，开阔学生的解题思路，提高学生的解题能力。 小学数学教学是随着社会的发展需要不断变化的，问题解决已经不容质疑地成为国际上数学教育的关注热点。所以应以不变应万变，让学生掌握解解决问题的策略，掌握学习方法，提高应用意识，增强应用能力，为培养人才打下基础做出贡献。 &
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数学语言与证明方法
习题解答与分析第2章
习题解答与分析第3章
习题解答与分析第4章
习题解答与分析第5章
习题解答与分析第6章
习题解答。与分析第7章
树及其应用
习题解答与分析第8章
组合计数基础
习题解答与分析第9章
习题解答与分析第10章
递推方程与生成函数
习题解答与分析第11章
习题解答与分析第12章
习题解答与分析第13章　初等数论和离散概率的应用第14章　代数系统参考文献
离散数学习题解答与学习指导(第2版)
&&& 21世纪是知识经济的时代，是人才竞争的时代．随着21世纪的到来，人类已步人信
息社会，信息产业正成为全球经济的主导产业．计算机科学与技术在信息产业中占据了最
重要的地位，这就对培养21世纪高素质创新型计算机专业人才提出了迫切的要求．
&&& 为了培养高素质创新型人才，必须建立高水平的教学计划和课程体系．在20多年跟
踪分析ACM和IEEE计算机课程体系的基础上，紧跟计算机科学与技术的发展潮流，及
时制定并修正教学计划和课程体系是尤其重要的．计算机科学与技术的发展对高水平人
才的要求，需要我们从总体上优化课程结构，精炼教学内容，拓宽专业基础，加强教学实
践，特别注重综合素质的培养，形成&基础课程精深，专业课程宽新&的格局．
&&& 为了适应计算机科学与技术学科发展和计算机教学计划的需要，要采取多种措施鼓
励长期从事计算机教学和科技前沿研究的专家教授积极参与计算机专业教材的编著和更
新，在教材中及时反映学科前沿的研究成果与发展趋势，以高水平的科研促进教材建设．
同时适当引进国外先进的原版教材．
&&& 为了提高教学质量，需要不断改革教学方法与手段，倡导因材施教，强调知识的总结、
梳理、推演和挖掘，通过加快教案的不断更新，使学生掌握教材中未及时反映的学科发展
新动向，进一步拓广视野．教学与科研相结合是培养学生实践能力的有效途径．高水平的
科研可以为教学提供最先进的高新技术平台和创造性的工作环境，使学生得以接触最先
进的计算机理论、技术和环境．高水平的科研还可以为高水平人才的素质教育提供良好的
物质基础．学生在课题研究中不但能了解科学研究的艰辛和科研工作者的奉献精神，而且能
熏陶和培养良好的科研作风，锻炼和培养攻关能力和协作精神．
&&& 进人21世纪，我国高等教育进入了前所未有的大发展时期，时代的进步与发展对高
等教育质量提出了更高、更新的要求．2001年8月，教育部颁发了《关于加强高等学校本
科教学工作，提高教学质量的若干意见》．文件指出，本科教育是高等教育的主体和基础，
抓好本科教学是提高整个高等教育质量的重点和关键．随着高等教育的普及和高等学校
的扩招，在校大学本科计算机专业学生的人数将大量上升，对适合21世纪大学本科计算
机科学与技术学科课程体系要求的，并且适合中国学生学习的计算机专业教材的需求量
&也将急剧增加．为此，中国计算机学会和清华大学出版社共同规划了面向全国高等院校计
算机专业本科生的&21世纪大学本科计算机专业系列教材&．本系列教材借鉴美国ACM
和IEEE最新制定的Computing Curricula 2005(简称CC2005)课程体系，反映当代计算
机科学与技术学科水平和计算机科学技术的新发展、新技术，并且结合中国计算机教育改
革成果和中同国情．
&&& 中国计算机学会教育专业委员会和全国高等学校计算机教育研究会，在清华大学出
版社的大力支持下，跟踪分析CC2001，并结合中国计算机科学与技术学科的发展现状和
计算机教育的改革成果，研究出了《中国计算机科学与技术学科教程2002》(China
&Computing Curricula 2002，简称CCC2002)，该项研究成果对中国高等学校计算机科学与
技术学科教育的改革和发展具有重要的参考价值和积极的推动作用．
&&& &2l世纪大学本科计算机专业系列教材&正是借鉴美国ACM和IEEE CC2005课程
体系，依据CCC2002基本要求组织编写的计算机专业教材．相信通过这套教材的编写和
出版，能够在内容和形式上显著地提高我国计算机专业教材的整体水平，继而提高我国大
学本科计算机专业的教学质量，培养出符合时代发展要求的具有较强国际竞争力的高素
质创新型计算机人才．
&&& 中国工程院院士
&&& 国防科学技术大学教授
&&& 21世纪大学本科计算机专业系列教材编委会名誉主任
&第2版前言
&&& 作为清华大学出版社和中国计算机学会共同规划的&21世纪大学本科计算机专业系
& 列教材&之一，这本《离散数学习题解答与学习指导》已经出版两年了．在这两年的时间里，
& 教育部推出了一系列为提高高等学校本科生教育质量的重要举措．特别是今年年初发布
& 的《教育部、财政部关于实施高等学校本科教学质量与教学改革工程的意见》(教高[2007]
& 1号)和《教育部关于进一步深化本科教学改革，全面提高教学质量的若干意见》(教高
& [2007]2号)对专业设置、教学模式、课程建设、师资队伍等各个方面不但提出了更高的建
& 设目标，也为保证这一工程的顺利执行提供了有力的保证．
&&& 好的教师和好的教材是保证教学质量的前提条件．本着对读者负责的精神，我们在这
& 次修订工作中认真地审阅了原书，根据教学要求对其中的部分内容做了调整，更正了某些
& 错误和疏漏之处，并对文字做了进一步的加工．内容上主要做了如下改动：
&&& 与主教材配套，去掉了数理逻辑中有关&一阶逻辑推理理论&的内容．主要原因是：这
& 部分内容涉及形式系统．形式系统在系统定义和推理中应该采用完全形式化的方法，通常
& 包含形式语言以及用形式语言表述的公理和推理规则．在形式系统中，符号串本身是没有
& 语义的，只能通过解释赋予它们一定的语义，但在讨论系统的公理或推理规则时应该与语
& 义无关．本书在第1版的叙述中没有完全采用这种形式化的方法．如果从知识体系的严谨
& 性出发，应该采用这种完全形式化的表述方t但是，这不但与本书的整体写作风格不够
& 协调，而且内容也偏深，超出本教材的要求，因此本次修订决定删掉这部分内容．
&&& 为了进一步提高本书的质量，我们恳切地欢迎读者继续提出建议和意见．
&&& 作& 者
离散数学习题解答与学习指导(第2版)
p>屈婉玲& 1969年毕业于北京大学物理系物理学专业，现任北京大学信息科学
技术学院教授、博士生导师，中国人工智能学会离散数学专委会委员。上要
研究方向是算法设计与分析，发表i二色文20多篇，出版教材、教学参考书、译
苦20多部，其一和包含多部国家级规划教材和北京巾精品教材。所讲授的离散
数学课程被评为国家级精品课程，两次被评为北京大学十佳教帅，并获得北
京市优秀教师称号。曾主持过多项国家级教材和课程建设项H，并获得北京
市教育教学成果(高等教育)一等奖。
，耿素云& 1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业，北京大学信息科学
技术学院教授。一直从事数学教学，致力于离散数学教学20余年，出版教材、
教学参考书20余本。被评为北京市教书育人、服务育人先进工作者，北京市
优秀教师，北京大学&我爱我师&&最受学生爱戴的老师&；获北京If』教
育教学成果(高等教育)一等奖，北京大学教学成果一等奖、大众电脑奖
教金、桐山奖教金及教学优秀奖等。
张立昂& 1965年毕业于北京大学数学力学系数学专业，北京大学信息科学技
术学院教授、博士生导师。一直从事数学和理论计算机科学的教学与研究，
主要研究方向是计算复杂性理论和算法设计与分析，发表论文20余篇，出
离散数学习题解答与学习指导(第2版)&&&&&&&&
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