截面为矩形的无穷长棱柱内部無热源。两相对侧面与外界绝热另两相对侧面温度分别保持为$0^{}$0o和与高度无关的稳恒分布，求此棱柱的温度分布

解：可以看成二维问题。设矩形为$00$0≤x≤a,0≤y≤b温度分布为$$

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\frac{{}^{}}{{}^{}}\frac{{}^{}}{{}^{}}000\\ 0_{}0{}_{}\\ \frac{}{}{0}_{}0\frac{}{}{}_{}0\end{array}& \end{array}$u(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程和齐次边界条件分离得固有值问题

$\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{}^{}0\\ {}^{}0{}^{}0\end{array}& \end{array}$

${}^{}0$$0$q(y)≡0且两端不出現第I、III类边界条件。由S-L定理固有值${}^{}0$λ=ω2≥0，具体可解得固有值

${}_{}\frac{}{}{}^{}0$

$0_{}{0}_{}{0}_{}{}_{}{}_{}\frac{}{}{}_{}\frac{}{}$

$0_{}{0}_{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\frac{}{}{}_{}\frac{}{}\frac{}{}$

$0_{}{0}_{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\frac{}{}0$

${}_{}{0}_{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\frac{}{}\frac{}{}$

$0_{}\frac{}{}{0}_{}^{}{}_{}\frac{\frac{}{}}{}{0}_{}^{}\frac{}{}$