已知△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB上一点，且∠EDB=∠B，现有下列两个结论_百度知道
已知△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB上一点，且∠EDB=∠B，现有下列两个结论
（1）如图1，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB上一点，且∠EDB=∠B。并证明（2）如图2，则结论（
）成立，现有下列两个结论:①AB=AD+CD ②AB=AC+CD，若∠C=90°，若∠C=100°，则结论（ ）成立已知△ABC中
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(1)选2（2）选1（1）角b等于角edbcd=ed=eb
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出门在外也不愁已知三角形ABC中，AC=BC,AD平分角BAC交BC于D,点E为AB上一点，且角EDB=角B,现有下列两个结论．_百度知道
已知三角形ABC中，AC=BC,AD平分角BAC交BC于D,点E为AB上一点，且角EDB=角B,现有下列两个结论．
知△ABC中，现有下列两个结论，若∠C=100°，AC=BC。不证明（2）如图2，则结论（ ）成立，若∠C=90°,点E为AB上一点.（1）如图1，则结论（
）成立，且∠EDB=∠B:①AB=AD+CD ②AB=AC+CD,AD平分∠BAC交BC于D
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结论一成立,拿着你的图验证我的证明吧,∠CBA=∠CAB=40∠EDB=∠B=40
∠DEB=100 ∠DEA=80AD平分∠CAB
∠ACD=∠BAD=20∠ADE=180-∠AED-∠DAE=180-80-20=80所以∠ADE=∠AED
AD=DE作点F,∠BAC=100!.结论二成立2!,使∠DFE=∠DEF=80所以∠DFA=∠ACD=100
∠CAD=∠DAF=20
AD=AD得三角形ACD全等三角形ADFCD=DF∠DFE=∠DEFDF=DEDE=EB(∠EDB=∠B)AB=AE+EB=AD+DE=AD+DF=AD+CD请采纳!!1!:AC+BC!
回答完问题就采纳：你的角的符号是怎么打出来的？
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则∠EDB=∠CAB=∠B=40&#186，ED=EB∴∠AED=∠B+∠EDB=80&#186，ED=EB∴∠AED=90&#186，若∠C=100°，又AD平分∠BAC∴∠DAE=½∴∠DFC=180&#186，则结论（：若∠C=90°,∴∠ADE=180&#186；（2）如图2，∠AFD=∠AED=80º∴∠AED=∠ADE（1）如图1;;，若∠C=90°;-∠AED-∠DAE=80&#186，则∠EDB=∠B=45&#186，使得AF=AE，又AD平分∠BAC∴△ACD≌△AED;-∠AFD=100&#186,则∴△AFD≌△AED∴DE=DF;,∴AD=AE在AC取点F，∴CD=DE=EB，若∠C=100°;∠BAC=20º=∠C;，AC=AE∴AB=AE+EB=AC+CD（2）如图2:①）成立证明（1），则结论（②）成立
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出门在外也不愁等腰三角形的性质
等腰三角形两腰上的高相等
已知，如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
求证：BD=CE
分析： 只需证明△BDC≌△CEB
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BDC=∠CEB=90°
在Rt△BDC与Rt△CEB中
∴△BDC≌△CEB（AAS）
∴BD=CE（全等三角形对应边相等）
如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AC=AB+BD
求证：∠B=2∠C
分析： 由于已知AC=AB+BD，故常通过“截长补短”的方法，构造全等三角形，然后再利用等边对等角以及三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和的性质来完成．
在AC上截取AE=AB，连结DE．
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠EAD（角平分线定义）
在△ABD与△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴∠ABD=∠AED（全等三角形对应角相等）
BD=ED（全等三角形对应边相等）
∵BD=AC-AB=AC-AE=CE
∴∠EDC=∠C（等边对等角）
∴∠AED=∠EDC+∠C（三角形外角等于不相邻的两内角和）
∴∠B=2∠C
如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE
求：∠A的度数
在等腰三角形中，求角的度数常应用三条性质（1）三角形内角和为180°，（2）三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，（3）等边对等角来进行计算．
解： 设∠A=α
∵AD=DE=EB（已知）
∴∠DEA=∠A=α，∠EBD=∠EDB（等边对等角）
又∵∠DEA=∠EBD+∠EDB（三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和）
与它不相邻的两内角之和）
∵BD=BC，AB=AC（已知）
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形的内角和为180°）
∴α=45° 即 ∠A=45°
例4 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E，
求证：∠ADB=∠CDE
分析： ∵∠ADB是Rt△ABD的内角，也是Rt△ADF的内角，则∠CDE也应在某个直角三角形中，由此可联想作辅助线，过点C作CG⊥AC交AE延长线于G，由条件可得Rt△ABD≌Rt△CAG，△CDE≌△CGE，则∠ADB=∠G，∠G=∠CDE，∴∠ADB=∠CDE
证明：过点C作CG⊥AC交AE延长线于G
∵BA⊥AC，CG⊥AC
∴∠ABC=∠BCG（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAD=90°，AF⊥BD
∴∠ABD=∠CAG（同角的余角相等）
在Rt△ABD与Rt△CAG中
∴Rt△ABD≌Rt△CAG（ASA）
∴AD=CG（全等三角形对应边相等）
∠ADB=∠CGA（全等三角形对应角相等）
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴∠ACB=∠BCG（等量代换）
∵AD=DC，AD=CG
∴CD=CG（等量代换）
在△DCE与△GCE中
∴△CDE≌△CGE（SAS）
∴∠CDE=∠CGE（全等三角形对应角相等）
∴∠ADB=∠CDE（等量代换）
求证：等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
已知△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D．
通过等腰三角形的“三线合一”的重要性质即可得．另外，还可以通过证明2∠DBC=∠BAC来解决，则需作∠CBE=∠DBC，问题转化为证明∠DBE=∠BAC．
证明：（一）
作∠BAC的平分线AE交BC于E．
∵AB=AC，AE平分∠BAC
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）
即∠EAC+∠C=90°
∴∠DBC+∠C=90°
∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）
证明：（二）
作∠CBE=∠DBC，BE交AC延长线于E，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），
又∵∠1=∠2（辅助线所作），
∠ACB=∠2+∠E（外角定理），
∠ABC=∠1+∠3，
∴∠3=∠E（等式性质），
又∵BD⊥AC（已知），
∠3+∠A=90°，∠1+∠2+∠E=90°
∴∠1+∠2=∠A（同角余角相等）．
例6 已知：如图，△ABC中，AB＞AC，在AB上截取AE=AC，AD为∠BAC的平分线，EF∥BC．
求证：∠DEC=∠FEC
分析： 此题有AE=AC，必然有等腰三角形AEC，且AD是∠EAC的平分线，等腰三角形顶角的平分线，底边上的高与底边中线三线合一．AD⊥EC，O为EC中点．
∵AE=AC，AD平分∠EAC（已知），
∴EO=CO，AD⊥EC（等腰三角形顶角的平分线又是底边中线，高线），
∴ED=CD（垂直平分线性质），
∴∠1=∠2（等边对等角），
又∵EF∥BC（已知），
∴∠FEC=∠2（平行线性质），
∴∠FEC=∠DEC．
说明： “三线合一”是等腰三角形的一个重要性质，是证明中常用到的线段，也常作为一条辅助线添在图中．
已知如图（1），AB=AC，AD=AE，求证：BD=EC
分析：欲证BD=EC，只需证明出△ABD≌△ACE，为此，只需寻得满足全等的三个条件，因为已知AB=AC，AD=AE，这样，只需证得∠3=∠4，观察图形可以知道，只需证明∠BAE=∠CAD，而这只需证出△ABE≌△ACD，为此，只需证出∠B=∠C，及∠2=∠1，而由已知AC=AB及AD=AE，根据“等边对等角”即可以满足条件。
另外还可以从证出BE=CD得到，只需证明△ABE≌△ACD，得到BE=CD，利用等量减等量得出BD=CE。
第三种思路，可以利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线底边BC上的高AF，因为AB=AC，故有BF=CF，又在等腰三角形ADE中，AF⊥DE于F，可推出DF=EF，由此BF-DF=CF-EF，所以BD=CE．
证法一：在△ADE中
∵ AD=AE（已知）
∴ ∠1=∠2（等边对等角）
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
∵ ∠1，∠2分别是△ABD和△ACE的外角
∴ ∠3=∠4
在△ABD和△ACE中
∴ △ABD≌△ACE（SAS）
∴ ∠B=∠C
∴ ∠1=∠2
∵ ∠BAE=180°-∠B-∠2
∠CAD=180°-∠C-∠1
∴ ∠BAE=∠CAD
在△ABE和△ACD中
∴ △ABE≌△ACD
∴ BE-DE=CD-DE
作AF⊥BC于F
又∵ ∠AF⊥BC
∴ BF=CF（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线互相重合）
又∵ AF⊥DE
∴ BF-DF=CF-EF
如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O
求证：（1）∠AOB=120°
（2）CM=CN
（3）MN∥AB
（1）：∵△ADC是等边三角形
∠ACD=60°
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠ACE=60°+∠DCE
∵△CBE是等边三角形
∴CE=CB，∠ECB=60°
∴∠DCB=∠DCE+∠ECB
∴∠DCB=60°+∠ECD
∴∠ACE=∠DCB
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴∠EAC=∠BDC
∵∠AOB=∠DAO+∠ADC+∠BDC
∴∠AOB=60°+∠DAO+∠EAC
∵∠DAO+∠EAC=60°
∴∠AOB=60°+60°=120°
（2）∵ △ADC和△CBE是等边三角形
∴∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB
∵∠ACB=180°
∴∠DCN=60°
∵△DCB≌△ACE（已证）
∴∠AEC=∠DBC
在△CME和△CNB中
∴△CME≌△CNB（ASA）
（3）∵ CM=CN，∠MCN=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=60°
∵∠DCA=60°
∴∠NMC=∠DCA
通过此题的证明给我们以下两点启示：一是分析题意，寻求证明或解题思路要充分运用已知条件，如本题中求证∠AOB=120°，就是根据给定的两个正三角形的每一个内角均为60°及三边相等的条件，先求得△ACE≌△DCB，再利用外角等于它不相邻的两个内角之和来证的。二是在证明线段相等时，常将两线段归属于某一个三角形或者两个三角形中，再证明该三角形为等腰三角形或两个三角形全等，本题的第（2）问就是运用此法．
例9 △ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且DB=CE。DE交BC于F，求证：DF=FE。
如图（1），过D作DG∥AC，交BC于G点．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
又∵DG∥AC，∴∠DGB=∠ACB，∠DBG=∠DGB．
∴DG=DB 又∵DB=EC ∴DG=EC
又∵∠DFG=∠EFC，∠GDF=∠CEF
∴△DGF≌△ECF（A．A．S）
过E作EG∥AB交BC的延长线于G。
∴∠B=∠FGE ∠ACB=∠GCE
又∵△ABC中，AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠FGE=∠GCE ∴CE=GE
又∵DB=CE ∴DB=GE
又∵∠DFB=∠GFE
∴△DBF≌△EGF
如图（3），过D作DN⊥BC于N，过E作EM⊥BC的延长线于M。
∴∠ACB=∠MCE
又∵AB=AC ∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠MCE
又∵DN⊥BC于N，EM⊥BC于M
∴∠DNB=∠EMC=Rt∠
∴△DBN≌△ECM（A．A．S）
又∵∠DFN=∠EFM
∠DNF=∠EMF＝Rt∠
∴△DNF≌△EMF（A．A．S）
说明：当遇到欲证的两条线段（或两角）所在的两个三角形不全等时，需添加辅助线，“制造”所含两条线段（或两角）的三角形全等，这是常用的思考方法。
本题的逆命题也成立，即“已知：在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E为AC延长线上一点，DE交BC于F，DF=FE，求证：DB=CE。
在原题条件下，也可证：DE＞BC
等腰三角形的判定
如图，已知：AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证CB=CD．
分析： 证△DCB为等腰△．
证明： 如图，连结BD．
∵AB=AD（已知）
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角）
∵∠ABC=∠ADC（已知）
∴∠CBD=∠CDB（等式性质）
∴CB=CD（等角对等边）
说明： 这种证法比通过△ADC≌△ABC来证更为简捷．
已知如图，等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E使CE=CD，连DE
求证：DB=DE
证明： ∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC，且∠ABC=∠ACB=60°
∵D为AC中点
∴BD平分∠ABC
∵CD=CE，∴∠CDE=∠E
∴∠E=∠DBC，∴DB=DE
已知△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D
求证：AC=AB+DB
证明： 在AC上截取AE=AB，连DE
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠EAD
∴△BAD≌△EAD，∴∠B=∠AED
BD=DE，∵∠B=2∠C
∴∠AED=2∠C，∵∠AED=∠C+∠EDC
∴∠C=∠EDC，∴DE=EC
∴AC=AB+BD
说明：要证一线段等于另外两线段的和时，一般在这边上截一段等于其中一线段，再证明另一段等于另一线段．
等边△ABC，D、E分别在AC、AB的延长线上，且CD=AE．
求证：DB=DE．
分析： 采用“补形”方法，证明△ABD≌△FED
证明：延长AE到F．使EF=AB．连结DF．
∵AB=AC=BC
∴∠A=60°
∴△ADF是等边三角形（若等腰三角形中有一角为60°，则这三角形是等边全等三角形）
∴AD=FD ∠F=60°
∴△ABD≌△FED（SAS）
例5 △ABC中（AB＞AC），D为BC的中点，AE平分∠BAC，过D点的直线DE⊥AE于E，交AB于G，交AC延长线于H．
求证：（1） AG=AH
（1）通过△AGE≌△AHE可得
（2）利用中点．作平行线，构造全等三角形，转化BG，CH在同一个三角形中，然后利用（1）结论可得．
（1）∵AE平分∠BAC
∴∠GAE=∠HAE
∠AEG=∠AEH=90° AE=AE
∴△AEG≌△AEH（ASA）
∴AG=AH（全等三角形对应边相等）
∴∠AGH=∠AHG（等边对等角）
（2） 过点C作CF∥AB交GH于F．
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行内错角相等）
∵∠BDG=∠CDF BD=CD
∴△BDG≌△CDF（AAS）
∴BG=CF（全等三角形对应边相等）
∴∠CFH=∠AGH
∴∠CFH=∠CHF（等量代换）
∴CF=CH（等角对等边）
∵AB-BG=AC+CH
例6 AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90°，求证
AB=AC+CD．
设法把问题化归为证明线段相等的问题．为此，在BA上截取AE=AC，剩下只要证明EB=DC就行了．
证明： 在AB上截取AE=AC，连DE．
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴DE=DC，∠DEA=∠C
（全等三角形对应边、角相等）
又∵∠C=90°（已知）
∴∠DEA=90°（等量代换）
∵AC=BC（已知）
∴∠CAB=∠B（等边对等角）
∵∠C=90°（已知）
∴∠B=45°（三角形内角和定理）
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B
=180°-90°-45°=45°
（三角形内角和定理）
∴∠B=∠EDB（等量代换）
∴DE=EB（等角对等边）
∴BE=DC（等量代换）
故AB=AE+EB=AC+CD（等量代换）．
说明： 本题中若作DE⊥AB于E，直接利用角平分线的性质来证明，则更为简捷，请读者思考．
已知AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，求证：CD=CB
分析：在四边形中证明两条线段相等有困难，应考虑转化为三角形来完成，注意到四边形的对角线把四边形对割成两个三角形，可以构造全等三角形，由于∠D＞∠B，有AB＞AD，在AB上载取AE=AD，可证。
（1）若∠D＞∠B，则有AB＞AD，在AB上截取AE=AD，连结CE
∵AC平分∠DAB
∵AD=AE，AC=AC
∴△ADC≌△AEC
∴DC=CE，∠D=∠AEC
∵∠CEA与∠CEB互补
∠D与∠B互补
∴∠CEB=∠B
（2）若∠D=∠B
又∵∠1=∠2
∴△ADC≌△ABC
（3）若∠D＞∠B则有AD＞AB
在AD上截取AE=AB 连结CE
同理可证 DC=CB
例8 ∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D．PE⊥OA于E若OD=4cm．求PE的长
为角平分线上的点到OA边的距离的条件．将OD与PE转化归纳在一个三角形中．
解： 过点P作PF⊥OB于F
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边距离相等）
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
∴∠DPO=∠AOC（两直线平行内错角相等）
∴∠DOP=∠DPO（等量代换）
∴OD=PD（等角对等边）
∴∠PDF=∠AOB（两直线平行同位角相等）
∴∠PDF=30°
在Rt△PDF中．∠PDF=30°
等于斜边的一半）
例9 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于G
求证：（1）CE=CF
（2）CE=GB
分析： （1）∵CE、CF在△CEF中，只需证明，∠CEF=∠CFE，（2）欲证CE=GB，只需证明CG=EB，作辅助线，构造两个三角形全等．即△CFG≌△EHB
（1）∵∠ACB=90°
∴∠BAC+∠ABC=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠ACD+∠CAD=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠ACD=∠ABC（等角的余角相等）
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC（三角形外角等于不相邻两内角之和）
∠CFE=∠CAE+∠ACD
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF（等角对等边）
（2）过E点作EH⊥AB于H．
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC∥AC
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴EH=CF（等量代换）
∴∠CGF=∠EBH（两直线平行同位角相等）
∵CD⊥AB．EH⊥AB
∴∠CFG=∠EHB=90°
在Rt△CFG与Rt△EHB中
∴Rt△CFG≌Rt△EHB（AAS）
∴CG=EB（全等三角形对应边相等）
已知在△ABC中AB＞AC，AD为BC边上的中线。
求证：∠BAD＜∠CAD
证明：延长AD到E，使DE=AD连结BE。
∵AD为BC的中线
在△BDE和△CDA中
∵BD=DC，∠1=∠2
∴△DBE≌△DAC
∴∠E=∠DAC，BE=AC
∴∠E＞∠BAE
∴∠DAC＞∠DAB
说明： 此题延长AD到E使DE=AD，有两点值得我们注意：一在前面我们曾向同学们介绍“倍长中线法”是常用的辅助线添加方法，其目的是通过延长，构造三角形全等，使问题转化，而此题正是运用这种方法把△ADC转移到△DBE。二是通过延长中线构造了三角形ABE，达到把欲证的∠BAD与∠CAD不等转化到一个三角形里，即∠E替代了∠CAD，使问题得以解决。}