解直角三角形考试题(含答案)
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解直角三角形考试题(含答案)
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解直角三角形考试题(含答案)
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 达标训练基础•巩固1.如图28.2-21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为(&&& )&图28.2-21A.a&&&&&&&&&&&&&&&& B.2a&&&&&&&&&&&& C.&&&&&&&&&&&&& D. 思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2-22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是(&&& )&图28.2-22A. 米&&&&&&&&&&& B. 米&&&&&&&&& C. 米&&&&&&&&&&& D.6米思路解析：坡度的定义 ，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶ .答案：B3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于(&&& )&A.3∶2&&&&&&&&&&&&&& B.2∶3&&&&&&&&&& C.9∶4&&&&&&&&&&&&&& D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt△AFC中，sinA= ；在Rt△AEC中，sinC= .所以sinA∶sinC= =CF∶AE=2∶3.答案：B4.如图28.2-23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.&图28.2-23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°.答案：55.如图28.2-24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).&图28.2-24思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.答案：90°6.如图28.2-25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)&图28.2-25思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长.解：如图，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA= ，所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3× ≈5.2 (米).答：树的高度AB约为5.2米.综合•应用7.如图28.2-26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20 米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).&图28.2-26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.在Rt △ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°= ，BD= .因为AB=AD-BD，所 以20=x- .解得x≈47.3(米).答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2-27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方 向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长. (结果精确到0.01米)&图28.2-27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.&解：过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.由题意，知AD⊥CD.因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED.在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20× +40× =10+ ，即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2-28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).&图28.2-28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB＞BE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH⊥AB，垂足为H.在Rt△CDF中，I= ，所以DF=&& CF= ×2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在Rt△AHC中，tan∠ACH= ，所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15× ≈8.7(米).因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2 =10.7(米).因为BE=BD-DE=14-2=12(米)，10.7&12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.回顾•展望10.(2010湖北武汉模拟) 如图28.2-29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为(&&& )&图28.2-29A.1 200米&&&&&&&&&&&&&& B.2 400米&&&&&&&&&&& C. 米&&&&&&&&&&& D. 米思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.(山东泰州模拟) 一人乘雪橇沿坡比1∶ 的斜坡笔直滑 下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(&&& )&图28.2-30A.72 m&&&&&&&&&&&&&& B.36 m&&&&&&&&&&&&&& C.36 m&&&&&&&&&&&&&& D.& m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.(湖北荆州模拟) 如图28.2-31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50 000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为(&&& )&图28.2-31A.1 732米&&&&&&&&&&& B.1 982米&&&&&&&&&&& C.3 000米&&&&&&&&&&&& D.3 250米思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.&如图，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3 000(米)，因为tanM= ，所以OP=OM×tan30°=3 000× ≈1 732(米).答案：A13.(2010吉林长春模拟) 某商场门前的台阶截面积如图28.2-32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3 m，高度(如BE)均为0.2 m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1 m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).&图28.2-32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.&由条件，得CF=0.8 m，BF=0.9 m.在Rt△CAF中，∵tanA= ，∴AF≈ =5(m).∴AB=AF-BF=5-0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1 m.14.(2010四川广安模拟) 如图28.2-33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?&图28.2-33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P到AB的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知: AB=9× =3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°-45°=45 °,∴PC=BC.在Rt△PAC中，∠PAB=90°-60°=30°，∴tan30°= ,即& .∴ .∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.(2010浙江诸暨模拟) 如图28.2-34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1 500米到B ，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.&图28.2-34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1 500米,∴BF=EC=750米，AF= 米.设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE= 米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,即 +x=750+ 米.得x=750.∴CD=(750+ )米.答：山高CD为(750+ )米.16.如图28.2-35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：&图28.2-35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB= 千米，BC=10千米，C E=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大.&解：(1)如图，经过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响. (2)由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称 性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt△ADE中，由勾股定理，得&.所以EF=& (千米).因为该台风中心以15千米／时 的速度移动.所以这次台风影响该城市的持续时间为& (小时).(3)当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为 (级).17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2 -36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响.&图28.2-36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD中，过点B作AD边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD的长也可以在△BCD中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D需铺设水下电缆.&解：(1)过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于F(如图)，在Rt△ABF中，AB= ,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°= =6(千米)，AF=AB×cos60°= (千米).在Rt△BDF中，DF=BF=6(千米)，所以BD= (千米).因此，河宽AD=DF-AF=6- (千米).(2)作BH⊥CD于点H.在Rt△BDH中，BH=HD=6千米，在Rt△CBH中，& (千米).因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用 低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6- )×4+ ×2= 40(万元)；方案二需要的费用：6×2＋10×2＋ ×2=22＋ ≈35.9(万元). 文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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数学题，二次函数的应用
，其中AB和AD分别在两直角边上。
（1）设长方形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设长方形的面积为ym²，当x取何值时，y的最大值？最小值是多少？
如下图，在一个直角三角形的内部做一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。
（1）设长方形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
已知△AEF为直角三角形，且四边形ABCD为矩形
那么，Rt△EBC∽Rt△EAF
所以，EB/EA=CB/FA
===& (40-x)/40=CB/30
===& CB=(3/4)*(40-x)
矩形ABCD中，AD=CB
所以，AD=(3/4)*(40-x)（0＜x＜40）
（2）设长方形的面积为ym²，当x取何值时，y的最大值？最小值是多少？
矩形ABCD的面积y=AB*AD=x*(3/4)*(40-x)
=(-3/4)x^2+30x
所以，当x=(-b/2a)=20时，二次函数y有最大值ymax=300
没有最小值！！！
【因为当点C无限接近E或者F点时，矩形ABCD就无限接近一条线段，此时面积就无从说起了。】
(40-x)/40=CB/30
===> CB=(3/4)*(40-x)
矩形ABCD中，AD=CB
所以，AD=(3/4)*(40-x)（0＜x＜40）
（2）设长方形的面积为ym²，当x取何值时，y的最大值？最小值是多少？
矩形ABCD的面积y=AB*AD=x*(3/4)*(40-x)
=(-3/4)x^2+30x
所以，当x=(-b/2a)=20时，二次函数y有最大值ymax=300
没有最小值！！！
【因为当点C无限接近E或者F点时，矩形ABCD就无限接近一条线段，此时面积就无从说起了。】" src="/fimg//13/93/27/..jpg_240.jpg" data-artzoom-show="/fimg//13/93/27/..jpg_516.jpg" data-artzoom-source="/fimg//13/93/27/..jpg_516.jpg" />
∽EAF，
∴BC/AF=BE/AE，
其中，
AF=30，AE=40，BC=AD，BE=AE-AB=40-x，
∴AD/30=(40-x)/40，
即AD=¾(40-x).
⑵S=AD&BC
=x&¾(40-x)
=-¾(x-20)2+300.
显然有0&x&40，
∴x=20时，S|max=300，
x=0或40时，S|min=0。
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官方公共微信把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；（3）请你：①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？-乐乐题库
& 全等三角形的判定与性质知识点 & “把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照...”习题详情
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把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；（3）请你：①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标...”的分析与解答如下所示：
（1）可证∠BAD=∠CAE，运用SAS证明△ABD与△ACE全等；（2）根据SAS证明△ABD与△ACE全等，得BD=CE；∠ADB=∠AEC．根据三角形内角和定理证明∠CFD=∠CAE=90°可判断位置关系；（3）当△ABC绕点A旋转与△ADE重叠时结论仍成立．
解：（1）△ABD≌△ACE．（1分）∵△ABC是直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°．（1分）同理 AD=AE，∠EAD=90°．（1分）∴∠BAC=∠EAD．∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD．即∠BAD=∠CAE．（1分）在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE．（2）在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE．∴∠ADB=∠AEC．（全等三角形对应角相等）（1分）∵∠ACE=∠DCF，（对顶角相等）∠ADB+∠DCF+∠EFD=180°，（三角形内角和180°）∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，（三角形内角和180°）（1分）∴∠EAC=∠EFD．（1分）∵∠BAC=90°，∴∠EAC=90°．即∠EFD=90°．∴BD⊥EC．（垂直定义）（1分）（3）①如图：（1分）②BD=EC，BD⊥EC．（2分）③存在．（1分）
此题考查全等三角形的判定和垂直的定义，把实际问题抽象成数学模型是难点．
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把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论...
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经过分析，习题“把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标...”主要考察你对“全等三角形的判定与性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
与“把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标...”相似的题目：
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．
如图，∠C=∠D=90°，AC=BD，AC与BD交于点O，求证：OC=OD．
（2011o曲阜市模拟）如图，点M、E分别在正方形ABCD的边AB、BC上，以M为圆心，ME的长为半径画弧，交AD边于点F．当∠EMF=90°时，求证：AF=BM．
“把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照...”的最新评论
该知识点好题
1（2012o三明）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是&&&&．（不再添加辅助线和字母）
2如图所示，△ABC中，AB=3，AC=7，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）
3如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长是（　　）
该知识点易错题
1如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是（　　）
2已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是（　　）
3如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；（3）请你：①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？”的答案、考点梳理，并查找与习题“把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；（3）请你：①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？”相似的习题。}