}

第二届高思杯? 五年级综合素质测评?

（总分：150 分 时间：90 分钟）
阅 卷 人 复 查 人 得 分 总 分

注意：解答题过程写在答题纸背面！

七、解答题（请写出解题过程，每个小题分别 写答．四 ．． 道小题的分值分别为：3 分，4 分，4 分，5 分）

第三届高思杯? 五年级综合素质测评?

（总分：150 分时间：90 分钟） 【学生注意】本试卷共 24 小题，请务必将 1 至 22 题的答案和 23、24 题 的解答填在答题纸 上，只填在原题上不得分！ ．．．
1. 同时满足以下条件的数是（） ．
①所有因数的和为 31；②是 5 的倍数；③有奇数个因数． A、30 B、27 C、25 D、20

2. 一个三角形中，其中两个角的度数的平均值是 45，这个三角形是（）三角形．

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、无法确定

3. 周长相等的长方形和平行四边形相比，长方形的面积（）平行四边形的面积．

A、大于 B、等于 C、小于 D、无法确定

4. 高思教育的积分卡宝盒要由“高”、“思”、“教”、“育”四个汉字随意组合成的四位“密钥”

打开（例如“高思育教”、“高思高思”、 “高高思思”等，汉字可以重复使用） ，一共有（）种不 同的“密钥”． A、24 B、64 C、128 D、256

5. 2012 年的 1 月份和 2 月份，墨莫每隔 ．2 天来高思上一次课（如果周三墨莫上课，那么下次上课是

在周六） ， 萱萱每隔 第一次两人上课都是在 1 月 1 日， 那么这两个月中有 （） ．3 天来高思上一次课， 天两人都来高思上课． A、10 B、9 C、6 D、5
7. 一项工程，小高单独完成需要 12 天，墨莫单独完成需要 24 天．如果两人合作，需要_____天才能

8. 一个两位数除以 5 余 1，除以 8 余 4．这个两位数最小是_______．

9. 下面是一个数列：1、4、9、16、25、……，这个数列前十项的和是______．

10. 如图所示，四个半径是 1 厘米的圆放在一起，四个圆的圆心刚好在一个边长

是 2 厘米的正方形的四个顶点上，图中阴影部分的面积是 _______ 平方厘 米． （π 取 3.14）

11. 2011 年 12 月 22 日，北京数学学校集训队成立仪式在北京大学图书馆南配殿隆重举行，北京数学

学校集训队是北京数学会唯一指定的官方集训队． 如果把这天的日期的年份从正中间拆开， 加上月 份和日子，可以得到 4 个数：20、11、12、22，它们的和是 65．那么在 2012 年，共有_______个 日期， 拆成的 4 个数的和为 65 （这 4 个数不一定都是两位数， 例如 2012 年 6 月 5 日， 可以分成 20、 12、6、5） ．

12. 甲从 A 地出发去一个地方办事，速度是 1 米/分．11 分钟以后，乙发现甲在出发地落了东西，于是

以甲 2 倍的速度去追甲；又过了 2 分钟，甲也发现自己落了东西，便以原速返回去取，最后甲乙相 遇．那么从乙出发到甲乙相遇一共用了________分钟．

13. 三个不同的两位数的和是完全平方数，这三个数的和最大是_______．

17. 一天晚上，亨亨同学熬夜写作业，写到凌晨 2 点多时，实在不行了，倒在床上就开始呼呼大睡．睡

觉前他看了一下闹钟，发现了一件有趣的事情――时钟上的时针和分针正好重合在了一起．早晨 8 点多时，亨亨被闹钟闹醒．他看了一下闹钟，又发现了一件有意思的事――此时时钟上的时针和分 针正好张开成一条直线．亨亨睡了_________小时．

18. 墨莫、萱萱和卡莉娅在比较他们获得的高思积分卡，墨莫比萱萱多 26 分，墨莫的积分比卡莉娅和

1 2 ，卡莉娅的积分比萱萱的少 ，那么墨莫有________分． 6 5

19. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 放在一起，∠BCE 是直角，已

已知 高思集训队 、 高思 ? 思集 ? 集训 ? 训队 、 20. 一个五位数 高思集训队 由 5 个不同的非零数字组成．

?高思集 ? 思集训 ? 集训队 ? 这 3 个数除以 3 的余数互不相同．那么 高思集训队 所代表的五位数最

21. 阿呆、阿瓜两人同时从 A 地出发前往 B 地，与此同时萱萱从 B 地出发前往 A 地．阿呆与萱萱的速

度比是 5:3，他们在途中的 C 点相遇．相遇后萱萱马上调头返回，速度不变，一段时间后被阿瓜追 上．此时萱萱再一次调头，速度仍然不变．当萱萱再次到达 C 点时，阿呆恰好到达 B 地，而阿瓜 距 B 地 6 千米．那么 A、B 两地之间的距离是_______________千米．

22. 将 4、5、6、…、43、44、45 排成一行，满足：从左到右第 k 个位置的数能被 k 整除，那么一共有

23. 张勇老师沿江乘船顺流而下前往 A 港口，途中不慎将一袋宝石（宝石会沉入水中）和一个空酒葫
芦（葫芦会随水漂流）掉入江中，到达 A 港时，他将草帽丢入江中（草帽也会随水漂流） ，并下船 去集市上买了一块表和一套潜水服，返回船上时正好中午 12 点．他立刻乘船继续沿江向下航行， 并于 13 点追上之前掉入江中的酒葫芦．14 点时又追上自己的草帽，于是立刻返航，回到 A 港时是 17 点．那么： （1）船的静水速度和水速的比是多少？ （2）之前他在 A 港停泊了多少小时？ （3）他再向上游航行多少小时就到达宝石丢失点？

24. 正整数 1、2、3、……按螺旋形排列成右图中的数表．在这个数表中：

（1）与 25 相邻的右上角的数是多少？ （2）以 100 为中心的 9 个数可以组成一个 3 3 的数表，这 9 个数的 和是多少？ （3）2012 所在的横行中，最小的数是多少？ （4）2012 所在的竖列中，最小的数是多少？

第三届高思杯 五年级综合素质测评

（总分：150 分 时间：90 分钟） 【学生注意】本试卷共 24 小题，请务必将 1 至 22 题的答案和 23、24 题的解答填在答题纸 上，只填在原题上不得分！ ．．．
1. 同时满足以下条件的数是（
A、30 知识点：数论知识 难易度：☆（半颗星） 答案：C． B、27 ） ． C、25 D、20 ①所有因数的和为 31；②是 5 的倍数；③有奇数个因数．

2. 一个三角形中，其中两个角的度数的平均值是 45，这个三角形是（

A、锐角 知识点：几何问题 难易度：☆（半颗星） 答案：B． B、直角 C、钝角 D、无法确定

3. 周长相等的长方形和平行四边形相比，长方形的面积（

A、大于 知识点：组合数学 难易度：★（一颗星） 答案：D． 提示：排除法． B、等于 C、小于

4. 高思教育的积分卡宝盒要由“高”、“思”、“教”、“育”四个汉字随意组合成的四位“密

钥”打开（例如“高思育教”、“高思高思”、 “高高思思”等，汉字可以重复使用） ，一共有 （ ）种不同的“密钥”． A、24 知识点：计数问题 难易度：★★（两颗星） 答案：D． B、64 C、128 D、256

5. 2012 年的 1 月份和 2 月份，墨莫每隔 ．2 天来高思上一次课（如果周三墨莫上课，那么下次上课

是在周六） ，萱萱每隔 ．3 天来高思上一次课，第一次两人上课都是在 1 月 1 日，那么这两个月中 有（ ）天两人都来高思上课． B、9 C、6 D 、5 A、10

知识点：找规律计算 难易度：★（一颗星） 答案：D．

A、2 知识点：周期问题 难易度：★（一颗星） 答案：C． B、4
7. 一项工程，小高单独完成需要 12 天，墨莫单独完成需要 24 天．如果两人合作，需要_____天才
能完成这项工程的 知识点：工程问题 难易度：☆（半颗星） 答案： 2 天．

8. 一个两位数除以 5 余 1，除以 8 余 4．这个两位数最小是_______．

知识点：余数问题 难易度：☆（半颗星） 答案： 36．

9. 下面是一个数列：1、4、9、16、25、??，这个数列前十项的和是______．

知识点：计算问题 难易度：★（一颗星） 答案： 385．

10. 如图所示，四个半径是 1 厘米的圆放在一起，四个圆的圆心刚好在一个边长

是 2 厘米的正方形的四个顶点上，图中阴影部分的面积是 _______ 平方厘 米． （π 取 3.14） 知识点：几何――圆面积计算 难易度：☆（半颗星） 答案： 9.42．

11. 2011 年 12 月 22 日，北京数学学校集训队成立仪式在北京大学图书馆南配殿隆重举行，北京数

学学校集训队是北京数学会唯一指定的官方集训队．如果把这天的日期的年份从正中间拆开， 加上月份和日子，可以得到 4 个数：20、11、12、22，它们的和是 65．那么在 2012 年，共有 _______个日期， 拆成的 4 个数的和为 65 （这 4 个数不一定都是两位数， 例如 2012 年 6 月 5 日， 可以分成 20、12、6、5） ． 知识点：计数问题 难易度：★★（两颗星）

12. 甲从 A 地出发去一个地方办事，速度是 1 米/分．11 分钟以后，乙发现甲在出发地落了东西，于

是以甲 2 倍的速度去追甲；又过了 2 分钟，甲也发现自己落了东西，便以原速返回去取，最后 甲乙相遇．那么从乙出发到甲乙相遇一共用了________分钟． 知识点：行程问题 难易度：★（一颗星） 答案： 5．

13. 三个不同的两位数的和是完全平方数，这三个数的和最大是_______．

知识点：最值问题 难易度：★★（两颗星） 答案： 289．
知识点：数字谜问题 难易度：★★☆（两颗半星） 答案： 2012．
知识点：数论问题 难易度：★★☆（两颗半星） 答案： 22．

知识点：计算――分数裂项 难易度：★★（两颗星）

解答：我们可以先计算出几项的结果，然后寻找一下规律，不难发现，每一项的分子都比分母 多 2，可以以此为突破口对题目进行求解??．

17. 一天晚上，亨亨同学熬夜写作业，写到凌晨2点多时，实在不行了，倒在床上就开始呼呼大睡．

睡觉前他看了一下闹钟，发现了一件有趣的事情――时钟上的时针和分针正好重合在了一起． 早晨8点多时，亨亨被闹钟闹醒．他看了一下闹钟，又发现了一件有意思的事――此时时钟上的 时针和分针正好张开成一条直线．亨亨睡了_________小时． 知识点：时钟问题 难易度：★★（两颗星） 答案： 6小时． 解答：首先算出亨亨开始睡觉的时间：

然后算出亨亨醒来的时间：

所以，亨亨睡了6个小时．

18. 墨莫、萱萱和卡莉娅在比较他们获得的高思积分卡，墨莫比萱萱多26分，墨莫的积分比卡莉娅

1 2 ，卡莉娅的积分比萱萱的少 ，那么墨莫有________分． 6 5 知识点：比列解应用题

难易度：★★☆（两颗半星） 答案： 56分． 解答：墨莫的积分与卡莉娅加萱萱的总和的比是7:6，卡莉娅与萱萱的积分比是3:5；

所以设：墨莫的积分是56份，则卡莉娅的积分为18份，萱萱的积分是30份，那么墨莫比萱萱多 26份的积分，刚好对应实际的26分，说明1份等于1分，所以，墨莫有积分56分．

________． 知识点：几何问题 难易度：★★★（三颗星） 答案： 54． 解答：连接 DG（如图中虚线所示） ，可知四边形 CDGF 是 梯形， 根据蝴蝶模型可知三角形 DGI 和阴影部分是面积相等 的两个三角形，三角形 DGI 是以 IG 为底 DC 为高的钝角三 角形，面积是： 9 ?12 ? 2 ? 54 ． G D H I
20. 一 个 五 位 数 高思集训队 由 5 个 不 同 的 非 零 数 字 组 成 ． 已 知 高思集训队 、

?高思 ? 思集 ? 集训 ? 训队? 、?高思集 ? 思集训 ? 集训队? 这 3 个数除以 3 的余数互不相同．那么

高思集训队 所代表的五位数最大是__________．

知识点：数论问题 难易度：★★★（三颗星） 答案： 98746． 解答：比较“ 高思集训队 ” 、 “ 高思 ? 思集 ? 集训 ? 训队 ” 、 “ 高思集 ? 思集训 ? 集训队 ”三 组数字和分别是：高+思+集+训+队、高+2 思+2 集+2 训+队、高+2 思+3 集+2 训+队，要想使三 个数除以 3 的余数互不相同，也就是这三组数数字之和除以 3 的余数互不相同；第二组比第一 组多了“思+集+训” ，根据余数的性质，可以得出“思+集+训”的数字和一定不是 3 倍数，而 第三组比第二组多了一个“集” ，同理“集”也一定不是 3 倍数，比较一、三组可知“思+2 集+ 训”的和也一定不是 3 的倍数，而“思+集+训”和“集”都不是 3 的倍数说明“思+训”一定 是 3 的倍数． 我们知道由 5 个不同的非零自然数组成的五位数最大是 98765，但是简单验证可知 98765 不 合题意，在保证五位数尽可能大的情况下，我们优先保证不动的一定是万位、其次是千位、再 次是百位等． 由上可得万位 9 不动，千位的 8 必须与十位上的数数字之和是 3 的倍数，推出十位是 4，百 位的七符合题意（不是 3 的倍数） ，此时个位最大为 6，带回题目验证符合题意，所以五位数最 大是 98746．

21. 阿呆、阿瓜两人同时从 A 地出发前往 B 地，与此同时萱萱从 B 地出发前往 A 地．阿呆与萱萱的

速度比是 5:3，他们在途中的 C 点相遇．相遇后萱萱马上调头返回，速度不变，一段时间后被 阿瓜追上． 此时萱萱再一次调头， 速度仍然不变． 当萱萱再次到达 C 点时， 阿呆恰好到达 B 地， 而阿瓜距 B 地 6 千米．那么 A、B 两地之间的距离是_______________千米． 知识点：比例解行程问题 难易度：★★★☆（三颗半星） 答案： 65． 解答：根据“阿呆与萱萱的速度比是 5:3”可得：他们在 C 点相遇时所走路程也是 5:3，不妨把 全程设为 8 份，如图所示： A B C 阿呆 萱萱 由“相遇后萱萱马上调头返回，速度不变，一段时间后被阿瓜追上．此时萱萱再一次调头，速 度仍然不变． ”假设萱萱从 C 点返回在 D 点被阿瓜追上，画出路线图： A 阿呆 CD B 萱萱

阿瓜 不难发现萱萱从 C 点返回到 D 点和从 D 点返回到 C 点所走路程是相同的即两个 CD 的长度， 那么对应时间一定相等， 而萱萱走两个 CD 时间阿呆刚好从 C 点走到 B 点， 所以萱萱走一个 CD 的时间阿呆刚好走到 CB 的中点，我们可以由此求出 CD 的长度：因为萱萱与阿呆的速度比是 3:5，所以阿呆从 C 点走到 CB 的中点，走了 1.5 份的路程，此时萱萱走了 0.9 份，即 CD 的长度 是 0.9 份．又由于萱萱到达 D 点时刚好被阿瓜追上即，阿瓜走了 5.9 的路程是，阿呆走了 6.5 份 的路程，如下如所示： A 阿呆 阿瓜 由此可推出阿呆与阿瓜的速度比是 65：59，那么最后当阿呆到达 B 点时，阿瓜距 B 点还有 6 千米可以看做阿呆走了 65 份，阿瓜走了 59 份，推出全程 65 千米． B

22. 将 4、5、6、?、43、44、45 排成一行，满足：从左到右第 k 个位置的数能被 k 整除，那么一

共有________种不同的排法． 知识点：计数问题 难易度：★★★★（四颗星） 答案： 9 种． 解答： 这个题目要把 42 个数排成一行， 每个数要能被它的位置号整除， 所以我们先列一个表格：

很明显，43 只能写在 1 号，而对其它数字较小的位置，可填的数范围比较广，比如 3 号位置， 在 4~45 中有 14 个数可以写，不好确定；相反，数字较大的位置，可填的数比较容易确定，比 如 42 号，只能填 42，所以我们倒着推算，先看 23~42 这 20 个位置： 可填数字 位置号 23 23 号 24 24 号 25 25 号 26 26 号 ? ? 40 40 号 41 41

上面的红色数字表示这个数已经被用过． 从 16 号开始我们只有 22 号没有填数字，在 16 以后的数字，有 22、44、45 没有用． 现在我们看一下 10~15 这 6 个位置（红色的数字表示已经在前面用过） 可填数字 位置号 10、20、30、40 10 号 11、22、33、44 11 号 12、24、36 12 号 13、26、39 13 号 14、28、42 14 号 15、45

23. 张勇老师沿江乘船顺流而下前往 A 港口，途中不慎将一袋宝石（宝石会沉入水中）和一个空酒
葫芦（葫芦会随水漂流）掉入江中，到达 A 港时，他将草帽丢入江中（草帽也会随水漂流） ，并 下船去集市上买了一块表和一套潜水服，返回船上时正好中午 12 点．他立刻乘船继续沿江向下 航行，并于 13 点追上之前掉入江中的酒葫芦．14 点时又追上自己的草帽，于是立刻返航，回 到 A 港时是 17 点．那么： （1）船的静水速度和水速的比是多少？ （2）之前他在 A 港停泊了多少小时？ （3）他再向上游航行多少小时就到达宝石丢失点？ 知识点：行程中的流水行船问题 难易度：★★★★☆（四颗半星） 答案： 5:1；10 小时；1.5 小时． 【解答】 （1）从张勇老师 12 点开始继续航行，14 点追上草帽返航，可知这段时间他航行了 2 个小时，接下来返航从 14 点到 17 点回到 A 港，可知他走了 3 小时，两段路程相同，时间比是 2:5，所以顺水速度：逆水速度=3:2，不妨设顺水速度为“3”份，则逆水速度“2”份，由公式：
静水速度= ? 顺水速度+逆水速度? ? 2 ，水流速度= ? 顺水速度-逆水速度? ? 2 ， 可得水速为 “0.5”

份，船的静水速度是“2.5”份，所以静水速度和水速的比是 5:1．

（2）不妨设船的顺水速度是 6 份/时，水流速度是 1 份/时，那么船从 A 港出发 2 个小时后追上 草帽，相当于知道了速度差（5 份/时） ，追及时间（2 小时） ，那么路程差是 10 份，以草帽 1 份 /时的速度，若想走 10 份的路程需 10 小时，所以张勇老师在 A 港停泊了 10 小时．

（3） （方法同上）设船的顺水速度是 6 份/时，水流速度是 1 份/时，那么船从 A 港出发 1 个小时 后追上空葫芦，相当于知道了速度差是 5 份/时，追及时间是 1 小时，那么路程差是 5 份，以空 葫芦 1 份/时的速度可知若想产生 5 份的路程需 5 小时， 又由于张勇老师在 A 港停泊了 10 小时，

可知张勇老师到达 A 港时酒葫芦还有 5 小时才能到达 A 港，也就是此时张勇老师与酒葫芦有 5 份的路程差，由这个条件可以求出张勇老师是在到达 A 港前 1 小时丢的宝石和葫芦，即宝石在 距 A 港 6 份路程的上游处，因为逆水速度是 4 份/时，所以张勇再向上游行 1.5 小时就能到达宝 石丢失点．

24. 正整数 1、2、3、??按螺旋形排列成右图中的数表．在

这个数表中： （1）与 25 相邻的右上角的数是多少？ （2）以 100 为中心的 9 个数可以组成一个 3× 3 的数表， 这 9 个数的和是多少？ （3）2012 所在的横行中，最小的数是多少？ （4）2012 所在的竖列中，最小的数是多少？ 知识点：复杂数列、数表问题 难易度：★★★★★（五颗星） 答案： 49；960；1981；290． 【解答】首先，通过观察可以发现，数表中，有两条对角线 上的数都是平方数，其中奇数的平方在右上，偶数的平方在 左下． （1）很明显，25 右上角的数是 72 ? 49 ； （2）100 是偶数的平方，所以在左下方，画出以 100 为中心 的 3× 3 表格， 先把 100 的右上方和左下方的数写出来， 分别 是 64 和 144． （图 1）

从原图中可以看出，每个偶数的平方 a 2 的左侧是 a 2 ? 1 ，右侧 是 a 2 ? 1 ，填好后见图 2． 此时只有一个位置没有填， 从题目中的图中可以看出， 它是 102， 144 于是这个表格中所有数之和是 960． （3）把 1 所在的列看作第 1 列，1 左侧和右侧相 邻的列都看作第 2 列，?? 1 上侧和下侧的行都看 把 1 所在的行看作第 1 行， 第 23 列

结束语：相信大家一定能通过这次高思杯考试对自己最近的学习情况进行一次系统的检测，对照

完答案后， 我们首要做的一件事情是反思， 反思自己考试成功的地方， 反思自己考试失误的地方， 同时吃透这套试题中的题目及相关的知识点，把所发现的进步和不足记录下来，为接下来的学习 和考试提供指导．祝大家百尺竿头更进一步！ 高思教育 2012 年 4 月

2013 高思杯? “7 龙珠”学习文化节

考试时间 ９０ 分钟，总分 １５０ 分　

【学生注意】请把答案写在答题纸上，只填在原题上不得分．　

，本大题共 5 小题，每题 2 分，共 10 分） 一、 判断题（请在答题纸上写上“√”或“×” （ ） 1. 若两数的乘积为 1，那么这两个数互为倒数．

四、 填空题 I（请在答题纸上写出正确的答案，本大题共 7 小题，每题 4 分，共 28 分） 19. 1~100 这 100 个自然数中质数有 25 个，合数有__________个． 20. 已知小圆的半径是大圆半径的一半，那么大圆的面积是小圆面积的______倍． 21. 100 以内的自然数中，除以 9 余 2 的有________个． 22. 苏小琳和陈小琪在一条周长为 400 米的环形跑道上散步．两人同时同地出发，相背而行．第一次相

遇时距离出发地 100 米．如果她们继续保持原来的速度匀速前进，第三次相遇的地点将距离出发地 _______米． （与出发地的距离取不大于 200 米的那一个）

2. 互质的两个数，一定都是质数． 3. 任何一个圆都有无数条对称轴． 4. 等腰三角形一定是锐角三角形． 5. 如果 2 x = 3 y ，那么 x : y = 3 : 2 ．

23. 王萍在外地工作，收入很高，她很孝敬自己的妈妈，每月都到邮局汇相等数额的钱给妈妈，汇费是 二、 选择题（请在答题纸上写出正确的选项，本大题共 3 小题，每题 3 分，共 9 分） 6. 单独盖一栋房子，小勇需要 15 天，大勇需要 10 天．如果两人合作，盖好这栋房子需要(

7. 周长相同的下列平面图形中，面积最大的是（

五位数字不记得了．请你告诉她，密码的第五位数字是_______． 5、 6、 7 以及加、 减、 乘、 除、 括号组成一个算式， 使得算式结果是 24， 算式为___________． 25. 使用数字 4、

8. 现有五种动物：狮子、老虎、河马、蝙蝠和鸵鸟．要从中选出三种动物参加运动会，但是要求至少

五、 操作题（请在答题纸上写出正确的答案，本大题共 1 小题，每题 10 分，共 10 分） 26. “7 龙珠”学习文化节中的“名师 PK”活动正进行的如火如荼．五年级共有五个队，分别是金星队、

木星队、水星队、火星队和土星队．在活动还在进行时，贺老师查了一下各队的人数，发现以下事 实： （1）火星队的男生有 50 人； （2）土星队的男生比水星队的男生多 83 人； （3）金星队和木星队的男生一共有 167 人； （4）金星队的女生占所有参加活动人数的十分之一； （5）木星队的男生和女生一样多； （6）火星队和水星队一共有 170 人； （7）水星队、火星队和土星队的女生人数之比为 20:10:29； （8）参加活动的一共有 680 人，且男生与女生之比为 9:8． 请将下表填完整，并回答后面的问题． 　 男　 女　 总　 金星队　 　 　 　 木星队　 　 　 　 水星队　 　 　 　 火星队　 　 　 　 土星队　 　 　 　 总　 　 　 　

已知金星队平均每人得到 3 个龙珠环，木星队平均每人得到 2 个龙珠环，水星队平均每人得到 4 个龙珠环，土星队平均每人得到 3 个龙珠环．那么这四个队平均每人得到_______个龙珠环．

2013 高思杯? “7 龙珠”学习文化节

六、 文字材料题（请在答题纸上写出正确的答案，本大题共 1 小题，每题 6 分，共 6 分） 北京一直被雾霾笼罩． 汽车燃烧汽油排放出的尾气是造成这种情况的罪魁祸首之一． 为 27. 2013 年春季，
了减少环境污染， 我国有些城市采用天然气作为汽车的燃料． 天然气的主要成分是甲烷 （读音同 “完” ） ， C H CH 一个甲烷分子由一个碳（符号为 ）原子和四个氢（符号为 ）原子组成，化学式是 4． C3H8 和 C4H10． （1） 除了甲烷之外， 天然气中还有少量的乙烷、 丙烷和丁烷， 化学式分别是 C2H6、 由 此可以推断，含有五个碳原子的戊烷的化学式是__________． （2）乙烷中碳原子的排布方式为 C―C，丙烷中碳原子的排布方式为 C―C―C，丁烷中碳原子的排

34. 刘钟、王明和朱迪三人都从 A 出发在 AB 两地间做匀速往返运动，C 是靠近 B 的三等分点．刘钟先

出发，当刘钟走到 C 时，王明出发；当王明走到 C 时，朱迪出发．已知朱迪在第一次到达 B 点时第 一次遇到刘钟，在第一次返回 C 点时第一次追上王明．当刘钟和朱迪第三次相遇时（迎面相遇和追 上都算相遇） ，王明距离 C 点 360 千米，那么 AB 两地间的距离是__________千米．

八、 解答题（请在答题纸上给出具体过程并作答，本大题共 2 小题，其中第 35 题 8 分，第 36 题 12 分，共

20 分） ） 35. （本题答案已经给出，请根据解答在横线上写出适当的算式． 须师傅要装修高思大厦，他独立完成需要 12 天．现在须师傅工作了 4 天之后，徐师傅来帮忙．两人 又工作了 6 天才装修完．如果徐师傅自己装修的话，需要多少天才能完成？ 解：设装修高思大厦的工作量为单位 1，那么须师傅的效率是

C―C―C C―C―C 布方式有两种：C―C―C―C 和 （C―C―C―C 和 算一种） ．那么戊烷中碳原子的 C C

排布方式有_________种（旋转或翻转相同算同一种） ．

七、 填空题 II（请在答题纸上写出正确的答案，本大题共 7 小题，每题 6 分，共 42 分） D 是 AC 上一点， F 是 BC 延长线上一点， 已知△ABC 的面积是 2013， 28. 如图， A

且 BC = 3CF ．又知道四边形 DCFE 是平行四边形，那么阴影部分的面积是

1 ．由题意可知须师傅一共工作了 12

10 天，徐师傅一共工作了 6 天． 答：徐师傅自己装修需要 36 天．

正六边形的边长为 2． 以它的各顶点为圆心， 边长的一半为半径画弧， 29. 如图， （π 取 3.14） 得到图中实线围成的图形．该图形的周长为_________．

30. 一个水池上装有一个进水管和一个排水管，而且进水管进水的效率是排

6 个小时可以把水池注满． 同时打开两个水管， 现 水管排水效率的 1.5 倍．
早上 8:00 时将两管同时打开，中间某时刻将排水管关闭，中午 12:00 时 就已经将水池注满．那么关闭排水管的时刻是________．

36. 五年级一班的同学们准备开一个联欢晚会．晚会共有 7 个节目，1 个小品，2 个相声，3 个歌曲以及

1 个魔术．但是对于节目的安排顺序，同学们意见不一．

(1) 贺一淳说，歌曲比较多，最好不要连着演．如果我们采用贺一淳的意见，其它节目任意排的话，

共有多少种安排节目的方法？ 第 29 题

31. 4 个自然数的和是 44，它们两两之间的差分别是 1、3、4、5、6、9，那

么最大的那个数最大可能是__________．

(2) 路二亨说，这次相声节目，我们请的是郭德纲和于谦，我特爱听他俩的相声，所以希望两个相

声连着演．如果我们采用路二亨的意见，其它节目任意排的话，共有多少种安排节目的方法？

32. 高思学校要颁发七龙珠活动的神秘大奖，小哼也是获奖者之一．获奖者在台上站成一排，分别编号

为 1、2、3、…．小哼发现获奖者不超过 20 个，而且更有意思的是，小哼左边所有获奖者编号的乘 积与小哼右边所有获奖者编号的乘积正好相等．那么小哼的编号是_________．

(3) 温三金说，这次魔术节目，我们请的是刘谦，这个节目最好作为压轴节目，可以放在最后一个

或倒数第二个．如果我们采用温三金的意见，其它节目任意排的话，共有多少种安排节目的方 法？

33. 如图，A、B 两齿轮互相咬合，且 A 齿轮有 12 齿，B 齿轮有 16 齿（图

中只是示意图，不反映实际齿数） ．每个齿轮上都有一个“古”字．若 顺时针旋转 90°， “古”字就会变成“叶”字．开始时两个齿轮上的字 组成“古古” ，那么 A 齿轮逆时针旋转_________圈后，两个齿轮上的 字第 101 次组成“古叶” ．

(4) 如果我们同时采纳他们三个人的意见，其它节目任意排的话，共有多少种安排节目的方法？

猜猜你能得多少分？请填在答题纸的“估分”栏．

2013 高思杯? “7 龙珠”学习文化节

2013 高思杯“7 龙珠”学习文化节 综合解答及评析

1、 答案：√． 知识点：计算问题――分数计算初步． 详解：两数乘积为 1，则两数互为倒数，这是倒数的定义． 2、 答案：×． 知识点：数论问题――质数与合数． 详解：互质指的是两数没有共同的质因数，也就是说两数的最大公约数为 1．很容易可以找出 反例，比如 8 和 9 互质，但是 8 和 9 都不是质数． 3、 答案：√． 知识点：几何问题――圆与扇形． 详解：任何一个圆都有无数条直径，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以有无数条对 称轴． 4、 答案：×． 知识点：几何问题――角度． 详解：等腰三角形的两个相等的底角一定都是锐角，但是顶角还可以是直角或钝角．等腰直角 三角形就是一个反例． 5、 答案：×． 知识点：应用问题――比例应用题． 详解：如果 x、y 都等于 0， 2 x = 3 y ．但这时 x 与 y 的比不是 3:2．

错误原因分析：选 A 的原因是计算中犯错，分数计算不够熟练．选 C 的原因是直接把两个时间 加起来了，没有理解工程问题中的合作应该把效率相加而不是把时间相加．

7、 答案：C 知识点：几何问题――圆与扇形． 错误原因分析：对于圆与扇形的性质不是很了解． 8、 答案：C 知识点：计数问题――分类计数． 详解：五种动物中只有鸵鸟属于鸟类，那么一定要有鸵鸟．然后在剩下 4 种动物中选 2 种参加 运动会，有 C 2 4 = 6 种不同的选法． 错误原因分析：选 A 是因为没有注意到“至少有一种是鸟类”这个条件．选 B 则是因为误以为 蝙蝠也属于鸟类．但实际上蝙蝠是哺乳动物．

10、 答案：1225 知识点：计算问题――基本计算．

11、 答案： 知识点：计算问题――乘法凑整．

12、 答案：24 知识点：计算问题――提取公因数．

知识点：计算问题――分数四则运算．

知识点：计算问题――分数四则运算．

知识点：计算问题――分数裂项 详解：

19、 答案：74 知识点：数论问题――质数与合数． 详解：1~100 中，25 个质数之外的 75 个数中，只有 1 不是合数，其他的都是．所以有 74 个合 数．
20、 答案：4 知识点：几何问题――圆与扇形．

详解： 设小圆的半径为r，则大圆的半径为 2r．那么小圆的面积为πr2，大圆的面积是 4πr2，大 圆的面积是小圆的 4 倍． 21、 答案：11 知识点：数论问题――余数． 详解：100 以内除以 9 余 2 的自然数有 2、11、20、29、…、92，一共 11 个． 22、 答案：100 知识点：行程问题――环形路线． 详解：不妨设陈小琪的速度比苏小琳要慢．那么第一次相遇时陈小琪走了 100 米，苏小琳走了 300 米．那么第三次相遇时，陈小琪一共走了 300 米．注意从第三次相遇点沿着跑道到出发点 有两条路径， 分别长 100 米和 300 米． 这两点之间的距离要取短的那一个． 所以答案是 100 米． 23、 答案：480 知识点：应用问题――分数应用题． 详解：王萍每个月的汇费是 144 ÷ 12 = 12 元， 12 ÷ 24、 答案：7 知识点：数论问题――余数． 详解：注意密码除以 9 的余数．12349 × 94321 的计算结果除以 9 余 1，说明密码除以 9 余 1．由 此可以判断出密码的第五位数字是 7． 25、 答案： ( 7 + 5 ? 6 ) × 4 （答案不唯一） 知识点：数字谜――算符与数字． 详解：典型的 24 点问题，4 个数字的顺序可以打乱．

26、 答案：表格如下图所示，2.9 知识点：应用问题――列表分析． 详解：首先可以填出火星队的男生有 50 人．参加活动的一共有 680 人，其中男生 360 人，女生 320 人．金星队的女生有 68 人．根据条件（3） ，金星队与木星队的男生一共 167 人，可知水星 ，土星队的男生比水星队的男 队与土星队的男生一共有 360 ? 50 ? 167 = 143 人．再根据条件（2）

生多 83 人，可计算出土星队有男生 113 人，水星队有男生 30 人．那么水星队和火星队一共有 男生 80 人．根据条件（6） ，火星队和水星队一共有 170 人，可知火星队和水星队一共有女生 90 人．再根据条件（7） ，水星队、火星队和土星队的女生人数之比为 20:10:29，可知水星队的 女生有 60 人，火星队的女生有 30 人，土星队的女生有 87 人．那么木星队的女生有

27、 答案： （1）C 5 H 12 ； （2）3． 知识点：阅读理解． 详解： （1）氢原子的个数比碳原子个数的 2 倍多 2，所以戊烷的化学式应该是C 5 H 12 ． （2）戊烷中碳原子的排布方式有以下 3 种： C―C―C―C―C C―C―C―C C C C―C―C C
28、 答案：671 知识点：几何――等积变形，倍数关系解直线形． 详解：连接 CE，因为 BF 与 DE 平行，所以三角形 BED 与三角形 CED 同底等高面积相等．因 为 AC 平行于 EF，所以三角形 ACE 与三角形 ACF 同底等高面积相等．因为 BC = 3CF ，所以

29、 答案：18.84 知识点：几何――圆与扇形．

详解：图形中有 3 个 120 度的扇形和 3 个 240 度的扇形，可以凑成 3 个圆的周长，其中每个圆 的半径为 1，总周长为 ( 2 × π × 1) × 3 = 6π = 18.84 ． 30、 答案：11:00 知识点：应用题――工程问题进阶． 详解：设整池水为“1” ，1 进 1 排效率差为

31、 答案：16 知识点：组合问题――最值问题．

以内只出现 1 次，所以获奖者的编号不能是 11、13、17、19 及它们的倍数，获奖者不会 超过 10 人． 在 1 至 10 中 7 及 7 的倍数也只有 1 个， 所以除了小哼之外的获奖者编号都不是 7． 这 样就有两种可能：第一种，小哼编号为 7，这时 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 8 × 9 × 10 ；第二种，这些获 奖者不会超过 6 人，这种情况容易排除． 33、 答案：403 知识点：数论问题――物不知数与同余． A 齿轮为 B 齿轮为 “古” ， 说明 A 齿轮转了整数圈． 假设 A 齿轮转 k 圈时， “叶” ， 得到 12 × k 详解： 除以 16 余数为 4．满足条件的 k 有 3、7、11、15、…… 构成公差为 4 的等差数列，第 101 个

34、 答案：1080 知识点：应用题――多人相遇与追及 详解：我们根据两次相遇画出线段图，如下图所示．

图 a：朱迪与王明的相遇 假设 AB 路程为“3” ，从图 a 可知王明走 C-B-C 段“2”的时间等于朱迪走 A-B-C 段“4”的时 间，所以朱迪的速度是王明的 2 倍． A C D B

刘钟 王明 朱迪 图 b：朱迪与刘钟的相遇 从图 b 可知，刘钟走 CD 段的时间王明走 AC 段“2” （朱迪可以走“4” ） ，刘钟走 DB 段的时间 朱迪走 AB 段“3” ，因此刘钟走 CB 段“1”的时间朱迪走“7” ，朱迪的速度是刘钟的 7 倍． 朱迪第一次在 B 与刘钟相遇，所以朱迪在回到 A 后向 B 走的途中与刘钟第二次相遇，并在第二 次到 B 后返回 A 的途中与刘钟第三次相遇．第一次相遇与第三次相遇之间，朱迪与刘钟路程差 为 2 个 AB 段，即“6” ，所以这期间朱迪走“7” ，刘钟走“1” ． 朱迪一共走了“10” ，王明速度是朱迪的一半，在朱迪出发后又走了“5” ，到达 AB 之间靠近 A

35、 答案：第一步，求出须师傅 10 天的工作量，

知识点：应用问题――工程问题初步

36、 答案： （1）1440； （2）1440； （3）1440； （4）96． 知识点：计数问题――分类计数 详解：

（1）歌曲与歌曲不能连着，那么要用插空法，把歌曲插到其他 4 个节目的空里．安排节目的方

2 （2） 两个相声要连着， 要用捆绑法， 把两个相声绑到一起． 安排节目的方法有 A 6 1440 种； 6 × A2 =

（3）先给魔术安排位置，有 2 种方法；再给剩下的节目安排位置，有 A 6 6 = 720 种方法．安排节 目的方法有 2 × 720 = 1440 种； （4）要同时采纳三人的意见，我们要先把小品、相声和魔术这 4 个节目的顺序安排好，然后把 歌曲插进去．因为魔术要在最后一个或者倒数第二个，魔术在这 4 个节目中一定要排在最后一 个．而且两个相声要连着，一共有 4 种排法．接下来把歌曲插进来，注意两个相声之间的空是

3 不能插进来歌曲的，所以只有 4 个空可以插．安排节目的方法有 4 × C3 96 种． 4 × A3 =

北京市小学生第五届高思杯? 360

考试时间 90 分钟，一试 120

【学生注意】请把答案写在答题

二、 选择题（本大题共 3 小题，每题 3 分，共 9 分） 11. 图中共有________个长方形．

13. 五年级 1 班男生比女生多 6 ，则这个班女生比男生少________．

14. 将 120 个苹果和 72 个桔子平均分给班里的同学，恰好分完，那么班里最多有________人． 15. 萱萱和爸爸、妈妈一起吃了 24 块巧克力．萱萱吃了全部的 ，妈妈吃了全部的 ，那么爸爸吃了

16. 小高、墨莫和卡莉娅比赛做口算题，小高每做 3 道，墨莫可以做 4 道；墨莫每做 5 道，卡莉娅可以

做 6 道，三人一共做了 236 道，则墨莫做了________道．

17. 一艘小船在静水中每小时行 20 千米，若它在河中顺水航行 150 千米，水流的速度为每小时 5 千米，

则它需要航行________小时．

18. 从 7 名男生和 2 名女生中选 7 名同学参加数学竞赛，至少选一名女生参赛的方法有________种．

题纸上，只填在原题上不得分． 分，二试 30 分，总分 150 分

19. 一件工程，甲单独做需要 10 天完成，实际上甲先做了 3 天，乙又接着单独做了 4 天，两人一共完成
1 ，则乙单独完成整个工程需要________天． 2

20. 墨莫、小高和卡莉娅比身高．墨莫说：“小高不是最高的．”小高说：“卡莉娅不是最高的．”卡

莉娅说：“我是最高的．”已知只有最高的人说了真话，则三人中最高的是________．

21. 下午 5 点________分的时候，分针与时针第一次垂直． 四、 填空题 II（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 22. 高豆豆做五年级高思课本的题目，先完成了全部题目的 ，后来又完成了剩下题目的 ，这时还剩

23. 一件工程，甲、乙合作需要 10 天完成，实际上甲单独做了 3 天，乙接着单独做了 4 天，共完成了整

1 ，则甲单独完成整个工程需要________天． 3

24. 一个两位数，十位与个位交换位置，得到的新数与原数的和为 12 的倍数，则满足条件的最小的两位

25. 两个自然数，它们的最大公约数是 11，最小公倍数是 2244，则它们的和最小是________．

，2 班有 26. 五年级 1 班和 2 班共有 76 人，1 班有 3 的同学做过《数学思维导引》
4 的同学做过《数学思维导引》 ，两个班做过《数学思维导引》的同学共计 56 5 2

五、 改错题（本大题共 1 小题，每题 4 分，共 4 分）

出现错误是在哪一行 ，并将这一行 改正后 ，写在答题纸上． 28. 下列两个方程均有错误，请指出第一次 ．．． ．．． ．．． ．．． （1）

北京市小学生第五届高思杯? 360°

六、 文字材料题（本大题共 3 小题，第 29 题 3 分，第 30 题 4 分，第 31 题 5 分，共 12 分）
勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是平面几何中一个基本而重要的定理．勾股定理可以表述为： 在平面直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方．如果记直角三角形的两条直角边
2 2 2 长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，那么可以用数学语言表达为： a ? b ? c ．
2 2 2 例如：直角三角形的两条直角边的长度分别为 3 和 4，则斜边的平方为3 ? 4 ? 25 ? 5 ，斜边长为

5．这就是著名的勾股数：勾三股四弦五．古埃及在公元前 2600 年的纸莎草就有（3，4，5）这一组勾股 数，而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是（18541，12709，13500） ． 阅读上述材料，并回答下列问题：

29. 一个直角三角形的两条直角边的长度分别为 6 和 8，则它的斜边长度为__________． 30. 如下左图所示，图形由一个直角三角形和三个正方形组成．其中直角三角形的两个直角边的长度分

别为 7 和 24，则整个图形的面积为__________． ，完全由正方形和直角三角形构成，其中最大的正方形面积为 100，则 31. 下面右边的图形叫“勾股树” 图中所有正方形的面积之和是__________．
今天是星期日，再过 1 天是星期一，再过 2 天是星期二，则：

八、 填空题 III（本大题共 5 小题，每题 6 分，共 30 分） 35. 下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，则 数好 ? 高思 ?

36. A、B、C、D 四个班的人数均少于 40 人，平均为 36 人，A、B 两班相差 4 人，B、C 两班相差 3 人，

37. 如图，在梯形 ABCD 中，线段 CE 和 CF 把梯形分成的面积相等的三个部分：三角形 BCE 、四边形

38. 一些数字可以颠倒过来看，比如 0、1、8 颠倒过来看还是本身，6 颠倒过来看变成 9，9 颠倒过来看

变成 6，其它数字颠倒过来都不构成数字．类似的，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 18 颠倒过 来看是 81．小高写了一个五位数，墨莫将它颠倒过来看，发现它恰好还是这个五位数，卡莉娅发现 它颠倒过来之后恰好能被 3 整除．则这样的五位数有________个．

39. A、B、C 三地从西向东依次在同一条直线上．一天，甲、丙两人分别从 A、C 两地同时出发相向而

行，当甲、丙两人第一次迎面相遇时，恰好碰到从 B 出发走向 C 的乙．相遇之后甲立刻调头，速度 变为原来的 4 倍，并返回 A 地．当甲回到 A 地时，乙恰好到达 C 地．接着甲再次调头并变回原速向 C 地走去， 乙也调头向 A 地走去， 三人恰好第二次于同一点相遇， 第二次相遇地点距离 C 地 140 米． 那 么 A 、C 两地之间的距离是________米．

北京市小学生第五届高思杯?360°学习体检

北京市小学生第五届高思杯?360°学习体检 综合解答及评析

本题评析 :带分数加减法，可以整数和整数相加减，分数和分数相加减，不够减的， 借一个单位“1”．

本题评析:本题可以通过凑整进行巧算．

本题评析:分数四则混合运算是计算的基本功，需要同学们多多练习．

本题评析:分数裂项可以有很多变化，希望同学们能够灵活掌握．

本题评析:本题考查的是等比数列求和， 对于公比是 2 的等比数列可以采用大数乘以 2 再减去小数的方法计算．

本大题评析：本大题主要是考查同学们基本的运算能力，重点是考查同学们五年级 才接触的分数加减乘除运算，以及分数巧算、分数裂项等内容，希望同学们在平时 勤加练习．计算能力提高了，解题速度和正确率也就会大幅提高．

11、 答案： C 知识点：计数，几何计数 详解：注意，正方形是特殊的长方形，因此长方形是包括正方形的．图中共有 4 个小正方形，1 个大正方形和 4 个由两个小正方形组成的长方形，共计 9 个长方形．

本题评析:本题也可以使用排列组合解决：每个长方形有两条横边、两条竖边．从 3

12、 答案： B 知识点：数论，余数问题 详解：由被除数，除数，商和余数的关系可知， 被除数 ? 余数 ? 商 ? 除数 ，因此 26 ? 5 ? 21 应 该是除数的倍数，或者说除数是 21 的约数，21 的约数有 1，3，7，21，注意到除数大于余数， 因此除数可以是 7 或 21．

本题评析:本题的易错点在于很容易忘记除数是大于余数的．

13、 答案： C 知识点：应用题，分数应用题
1 详解：题目中说“五年级 1 班男生比女生多 ”， 将这句话补充完整应为“五年级 1 班男生比女生 6 1 1 1 ”，因此分数 是以女生为单位“1”．如果我们设女生为“6”份，女生的 为“1”份， 6 6 6 1 1 ，因此女生比男生少 ． 7 7

男生为“7”份，女生比男生少“1”份，少的“1”份占男生的

本题评析:对于分数应用题，分清楚单位 “1”是谁非常重要，在本题中 “女生比男生少 几分之几？”是以男生为单位“1”，因此要看少的“1”份占男生的几分之几．

高思学校 2014 年 三、填空题 I

14、 答案： 24 知识点：数论，最大公约数和最小公倍数 详解： 120 个苹果和 72 个桔子恰好分完，说明同学的数量既是 120 的约数，又是 72 的约数， 即为 120 和 72 的公约数，最大为 24．

15、 答案： 2 知识点：应用题，分数应用题 详解：爸爸吃的巧克力数占全部的1 ? 16、 答案： 80 知识点：应用题，比例应用题 详解：由题目可知，小高和墨莫的效率比为 3:4，墨莫和卡莉娅的效率比为 5:6，小高，墨莫和 卡莉娅三人的效率比为 15:20:24，因此墨莫做了 236 ? (15 ? 20 ? 24) ? 20 ? 80 道．

本题评析:本题的关键在于化连比．

17、 答案： 6 知识点：行程问题，流水行船 详解：由题目知船速为 20 千米/时，水速为 5 千米/时，则顺水速度为20 ? 5 ? 25 千米/时，需要 航行 150 ? 25 ? 6 小时． 18、 答案： 35 知识点：计数，分类计数
1 6 详解：至少选一名女生，说明可以选 1 名女生，也可以选 2 名女生．选 1 名女生有C2 ? C7 ? 14

2 5 种不同的方法；选 2 名女生有 C2 ? C7 ? 21 种不同的方法，共计 35 种不同的方法．

本题评析 : 本题 也可以 从反面考 虑问题 ，用总数 减去不满 足条件 的方法数 ．即

19、 答案： 20 知识点：应用题，工程问题

1 3 ，甲做了 3 天，做了总工程的 ，乙又接着独做了 4 天，两人 10 10 1 1 3 1 1 完成整个工程的 ，说明乙 4 天完成总工程的 ? ? ，乙的效率为 ，单独完成需要 20 2 2 10 5 20

详解：由题目知，甲工效为

天． 20、 答案：小高 知识点：组合，逻辑推理 详解：利用矛盾分析法，可以快速做出判断．由于小高和卡莉娅的说法相反，那么其中必然有 一个人说的是真话，这样墨莫说的肯定是谎话，因此小高是最高的．

本题评析:假设法，矛盾分析法和列表法是逻辑推理中常用的方法．

知识点：行程问题，钟表问题 详解：下午 5 点的时候，分针与时针相差 25 个小格，分针追上时针 10 个小格，两者第一次垂

本题评析:对于钟表中的追及问题，通常都是从整点开始考虑． 本大题评析：本大题主要是考查同学们对基础知识的掌握，内容涉及到数论，分数 应用题，比例应用题，行程问题，计数，逻辑推理等，考查较为全面，主要是 1 星或 2 星难度的题目，对这些知识有缺漏的同学要注意及时补上． 四、填空题 II

22、 答案： 105 知识点：应用题，分数应用题 详解： 本题要注意题目中两个分数所对应的单位“1”是不一样的， 不能直接对它们进行相加减． 可 以采用倒推法． 15 题占剩下题目的1 ?

本题评析 :本题也可以通过统一单位 “1”的方法来解决，剩下题目的 占全部题目的

23、 答案： 15 知识点：应用题，工程问题 详解：甲、乙的合作效率为

1 ，看到合作的效率我们要找合作的天数，可以将条件“甲单独做 10

了 3 天，乙接着独做了 4 天”转化为“甲、乙合作 3 天，乙又单独做了 1 天”，甲、乙合作 3 天完 成全部的

答案： 319 知识点：数论，最大公约数与最小公倍数 详解：设这两个数为 11a 和 11b，其中 a 和 b 是互质的，则 11ab ? 2244 ， ab ? 204 ，两个数

26、 答案： 36 知识点：应用题，方程解应用题 详解： 设五年级 1 班有 x 人， 则五年级 2 班有 ? 76 ? x ? 人， 由题目条件得 解得 x ? 36 ，因此 1 班有 36 人． 27、 答案： 628 知识点：几何，圆与扇形 详解：本题可以用重叠法来求图中阴影部分的面积．通过观察不难发现，图中阴影部分的面积

2 等于边上三个圆的面积减去中间一个圆的面积，即等于两个圆的面积，为 2? ? 10 ? 628 ．

本大题评析：本大题难度要高于前面的题目，考查内容涉及到应用题，数论，数字 谜，几何等，主要是 2 星或 3 星难度的题目，做这部分题目时要胆大心细．

28、 答案： （1）第一行，10 ? 11 ? 5 x ? 2 x ； （2）第一行，13 ? 4 x ? 6 ? 7 ? x ． 知识点：计算，解方程 详解： （ 1 ）第一次出现错误是在第一行， 移项过程中要注意 改变符号，第一行改 正后为 （2）第一次出现错误是在第一行，去括号的时候，如果括号前面有数，括 10 ? 11 ? 5 x ? 2 x ．

本大题评析： 方程对于高年级的同学来说是非常有力的解决问题的工具， 在应用题， 几何问题，行程问题等许多问题中都有着广泛的应用．但同学们在解方程过程中 常常会犯这样或那样的错误，例如在解分数方程过程中，去分母，去括号，移项 都很容易出错．希望同学们在平时做题的过程中就要注意总结．

， 三个正方形的面积为 7 2 ? 242 ? 252 ? 1250 ， 整个图形的面积为 84 ? 1250 ? 1334 ． 31、 答案： 500 知识点：几何 详解：通过第 30 题的例子我们可以发现，如果三个正方形的边长恰好为一组勾股数，则它们的 面积和为最大正方形面积的 2 倍．在图中的“勾股树”中，我们可以反复应用这个结论， 最终可以发现，图中所有正方形面积之和恰好为最大正方形面积的 5 倍，即 500．

高思学校 2014 年 间的联系． 七、解答题
32、 答案：星期五 知识点：数论，余数问题

本大题评析：对于文字材料题，一定要认真读题，读懂题，并且要注意不同问题之

详解：利用 7 的整除特性，可以很容易求出 2014 除以 7 的余数为 5，因此再过 2014 天是星期 五．

33、 答案：星期四 知识点：数论，余数问题 详解：利用特性求余法和替换求余法，可知 2014 ? 2014 除以 7 的余数等于 5 ? 5 除以 7 的余数， 余数为 4，因此再过 2014 ? 2014 天是星期四．

34、 答案：星期二 知识点：数论，余数问题 详解：仍然利用特性求余法和替换求余法，可知 2014 ? 2014 ?

除以 7 的余数，然后我们利用周期求余法， 51 除以 7 余 5， 5 2 除以 7 余 4， 53 除以

本大题评析：对于解答题，由于要求书写过程，因此难度并不是很大，尤其是前两 个小问，历年的高思杯都是比较容易的，同学们只要认真解答都会得一些分．

详解： 首先分析 数好 ? 高思 ? 数学好 的首位， 可以确定 高 代表的数只能为 1， 再看

只能为 2 或 7，不满足第一个式子．若 高思 ? 14 ，由第二个式子可以得到 数好 ? 高好 ? 2 ，分

析末位可知， 好 只能为 0， 数好 ? 20 ，代入第一个式子得 20 ? 14 ? 280 ，满足条件．因此，

36、 答案： 38 知识点：应用题，方程解应用题 详解： 设 A 、B 、C、D 四个班的人数分别为 a、b、c、d，共有四种不同的情况：

综合上述，A 班有 38 人．

37、 答案： 6930 知识点：几何 详解：如右图 1 所示，连接 AC，BE ：AE =3： 2，设三角形 BCE 的面积为“3”份，则三角形 ACE 的面积为 “2” 份，三角形 BCE 、四边形 AECF 和三角形 CDF 面积相等，因此均为“3” 份，三角形 ACF 的面积为“1”份． A 如右图 2 所示，连接 BD，三角形 ACD 的面积 为“4”份，则三角形 ABD

38、 答案： 20 知识点：计数 详解：由题目知，这个五位数颠倒过来还是这个五位数，万位可以填 1、8、6、9，相应的个位 将被确定，只能对应填 1、8、9、6；千位可以填 0、1、8、6、9，相应的十位将被确定，只能 对应填 0、1、8、9、6，百位有 0、1、8 三种情况，由乘法原理知，所有颠倒过来是本身的五 位数共有 4 ? 5 ? 3 ? 60 种． 卡莉娅发现它颠倒过来之后恰好能被 3 整除，说明这个五位数的数字和能被 3 整除． 而考虑到，百位所填的 0、1、8 除以 3 的余数恰好分别为 0、1、2．当万位、千位、十位和个 位确定后， 百位所填的 0、 1、 8 有且只有一个数满足条件， 因此全部满足条件的种数有60 ? 3 ? 20 种．

本题评析:本题也可以进行分类求解， 但利用对应的这一想法， 能够很好地化简问题．

39、 答案： 180 知识点：应用题，行程问题

详解：如图，相同时间用相同线来表示，设甲、乙、丙第一次相遇于 D 点，比较甲与丙，当甲 从 A 走到 D 时，丙从 C 走到 D．当甲从 D 走回 A 时，丙从 D 走到 E ，甲的速度变为原来的 4 倍， 走相同的路程， 因此时间变为原来的

1 1 ， 丙的速度始终不变， 因此所走的路程为原来的 ， 4 4

若设 DE 的长度为“1”份，则 CD 的长度为“4”份．比较乙和丙，在相同时间内，乙所走的路程是 丙所走路程的 4 倍，因此乙的速度是丙的 4 倍．当乙从 C 走到 F 时，丙从 E 走到 F ，说明 CF

本大题评析： 第二试的难度较大， 内容涉及到数字谜， 几何， 计数， 方程解应用题， 行程问题等，难度为 4 星或 5 星的题目，要求同学们能够灵活运用所学知识，难度 较大．考试时可以考虑先保证前面题目的正确率，再来攻克这些题目．

2015 年高思杯?高思侃升学（五年级） ?数学部分样卷

【学生注意】请把答案写在答题纸上，只填在原题上不得分． 考试时间 70 分钟，总分 150 分

6 7 杨树和槐树共 235 棵， 其中柳树和杨树棵数的比为 3:2， 杨树与槐树棵数的比为 7:6． 则 16. 河堤上有柳树、 杨树有_______棵．

15. 萱萱和卡莉娅一起折纸鹤，卡莉娅折了 42 只，是萱萱折的 ，那么萱萱折了_______只．

17. 某船在静水中的速度是每小时 27 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了 12 小时，水速每小时 3

千米，则从乙地返回甲地需要________小时． 18. 小高要在连续几天内吃完 4 个苹果，每天至少吃一个．他可以一次吃完，也可以分几天吃完，那么 小高吃苹果的办法一共有_______种． 19. 有一条公路，甲队独修需 10 天，乙队独修需 12 天，丙队独修需 20 天．现在甲、乙两队合修 3 天， 余下的由丙队单独来修，还需要_______天完成． “不是铁，不是铜． ”乙判断： “不是铁，而是 20. 某地质学院的 3 名学生对一种矿石进行分析．甲判断： 锡． ”丙判断： “不是锡，而是铁． ”经化验证明，有一个人判断完全正确，一个人只说对了一半，一 个人则完全说错．那么说对一半的人是_______． 21. 上午 10 点________分的时候，分针与时针重合．

四、 填空题 II（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分） 22. 现有苹果、桔子、梨三种水果各若干个，苹果的数目是其它两种水果总数的 ，桔子的数目是其它

二、 选择题（本大题共 3 小题，每题 3 分，共 9 分） 11. 0，1，2，3 可以组成________个可以重复的三位数．

23. 一项工程，甲单独做要 6 小时完成，乙单独做要 8 小时完成．如果按甲、乙、甲、乙…的顺序交替

工作，每人每次工作 1 小时，需要________小时才能完成． 所得的三位数比原数大 8 倍， 则 24. 在一个两位数的两个数字中间加一个 0， A E D 这个两位数是________． 它们的最大公约数是 12， 最小公倍数是 240． 则 25. 两个自然数不成倍数关系， 这两个数中较大的数是________．

26. 有一个最简分数，把分子加上分母，分母也加上分母，所得到的新分数

是原分数的 9 倍，这个最简分数是________．

27. 图中的三角形是等腰直角三角形，则阴影部分的面积为________． 五、 改错题（本大题共 1 小题，每题 4 分，共 4 分）

请指出第一次出现错误是在哪一步， 并将这一步的正确结果写在答题纸上． 28. 下列两个方程均有错误，

2015 年高思杯?高思侃升学（五年级） ?数学部分

六、 文字材料题（本大题共 3 小题，第 29 题 3 分，第 30 题 4 分，第 31 题 5 分，共 12 分）
在数学中，我们用概率表示一个事件发生的可能性．除了可能性外，有时还要考虑该事件结果的“平均 值” ．例如：一场游戏，你有 如果改为有
1 1 的概率得到 600 分，有 的概率得到 300 分，那么你平均可以得到 450 分；而 2 2

1 2 的概率得到 600 分，有 的概率得到 300 分，那平均还是得到 450 分吗？显然不是，因为得 600 3 3

分的可能性比刚才大，所以平均得到的结果要比 450 分高．为了阐述这种“平均值” ，在数学中，引入“期望” 这个概念．计算方法为：用所有出现的可能值乘以相应概率再求和．上面第二个情形中，得分的期望为

现在有两个射击运动员，已知他们的射击成绩如下：

37. 请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立：

38. 甲、乙、丙、丁 4 人，每 3 个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29、23、21、17，则这 4 人

中最大年龄与最小年龄的差为________．

阅读上述材料，并回答下列问题： 29. 甲射击的数学期望为__________环． 30. 乙射击的数学期望为__________环． 31. 一个不透明的口袋中有 8 个只有颜色不同的小球，其中 3 个白球和 5 个黑球，张老师从中随机摸出 2 个小球，则张老师摸出的黑球数的期望为__________个．

39. 甲、乙两船分别在一条河的 A，B 两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上．相遇时，甲、

乙两船的航程是相等的．相遇后两船继续前进．甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原来的 路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000 米．如果从两船第一次相遇到第二次相遇间隔 1 小时 20 分，那么河水的流速为每小时________千米．
某外研社，最初有 10 名外语翻译，5 名英语翻译，3 名日语翻译，2 名德语翻译．

32. 若从中选 3 名英语翻译，2 名日语翻译，有多少种不同的选法？ 33. 后来，既可以翻译英语，又可以翻译日语的王一土加入外研社，若仍从中选 3 名英语翻译，2 名日语

翻译，有多少种不同的选法？

34. 再后来，能够翻译英语、日语和德语三种语言的李木子也加入外研社，若不选王一土，从剩下的 11

人中选 3 名英语翻译，2 名日语翻译，1 名德语翻译，组成三个翻译小组，有多少种不同的选法？

2015 年高思杯?高思侃升学（五年级） 综合解答及评析

本题评析:带分数加减法，可以整数和整数相加减，分数和分数相加减，不够减的， 借一个单位“1” ．

本题评析:本题可以通过凑整进行巧算．

本题评析:分数裂项可以有很多变化，希望同学们能够灵活掌握．

本题评析:本题考查的是等比数列求和， 对于公比是 2 的等比数列可以采用大数乘以 2 再减去小数的方法计算．

11、 答案：A 知识点：计数，乘法原理

48 种 详解：首位有 3 种选择，十位有 4 种选择，个位有 4 种选择．由乘法原理共有 3 × 4 × 4 =

本题评析:组数字的题目一定要注意审清题，看看是否能够重复．

12、 答案：C 知识点：数论，余数问题

本题评析:本题仍要注意审题，题目要求是三位数．

13、 答案：B 知识点：应用题，分数应用题 详解：设全班人数为“9”份，则男生为“5”份，女生为“4”份，男生比女生少“1” ，少的一
1 份占男生的 ，因此选 B． 5

本题评析:对于分数应用题，分清楚单位“1”是谁非常重要，在本题中“女生比男 生少几分之几？”是以男生为单位“1” ，因此要看少的“1”份占男生的几分之几． 三、填空题 I

14、 答案：12；144 知识点：数论，最大公约数和最小公倍数 详解：短除法． 15、 答案：49 知识点：应用题，分数应用题 详解：本题求单位“1” ，应该用分率对应量除以分率，因此萱萱折了 42 ÷ 16、 答案：70 知识点：应用题，比例应用题 详解：本题的关键在于化连比，柳树和杨树棵数的比为 3:2，杨树与槐树棵数的比为 7:6，则柳

17、 答案：15 知识点：行程问题，流水行船

30 千米/时，航行 详解：由题目知船速为 27 千米/时，水速为 3 千米/时，则顺水速度为 27 + 3 = 24 千米 / 时，用时 12 小时，共航行 360 千米．返回原处是逆水航行，逆水速度为 27 ? 3 = 360 ÷ 24 = 15 小时．

18、 答案：8 知识点：计数，分类计数 详解：如果一天吃完，有 1 种吃法．如果分 2 天吃完，有 3 种吃法．如果分 3 天吃完，有 3 种

19、 答案：9 知识点：应用题，工程问题 详解：由题目知，甲工效为

1 1 1 ，乙工效为 ，丙工效为 ，甲、乙合作 3 天，完成的工作量 10 12 20

20、 答案：甲 知识点：组合，逻辑推理 详解：乙、丙判断完全相反，因此他们中一个人判断完全正确，一个人判断完全错误，所以甲 说对了一半． 21、 答案： 54

知识点：行程问题，钟表问题

本大题评析：此大题主要是考查同学们对基础知识的掌握，主要是 1 星或 2 星难度 的题目，希望同学们能够熟练掌握．

22、 答案：36 知识点：应用题，分数应用题
1 ，则苹果占水果总 5

详解：本题的关键是对单位“1”进行转化，因为两个分数的单位“1”不同，因此要统一单位 “1” ，可以变成都以总数为单位“1” ．苹果的数目是其它两种水果总数的

1 2 2 ，桔子的数目是其它两种水果总数的 ，则桔子占水果总数的 ，则梨占水果总数的 6 7 9

知识点：应用题，工程问题 详解：这道题目是轮流工作型问题，我们可以将甲、乙看成一个周期，看有几个周期．甲的工 效为

三个周期用时 6 小时， 这时还剩下 小时． 24、 答案：45 知识点：数字谜，位值原理

详解：设这个两位数为 ab ，则加入 0 后，所得的三位数为 a 0b ，由题目可得 ab × 9 = a 0b ，按

b = 5 满足条件．两个数中较大的数为 60．

知识点：应用题，方程解应用题 详解： 设这个最简分数为 27、 答案：4.56 知识点：几何，圆与扇形 详解：通过观察不难发现，图中阴影部分的面积等于半圆的面积加上 45°扇形的面积再减去三 角形的面积．即

本大题评析：此大题难度也不是很大，主要是 2 星或 3 星难度的题目． 五、改错题

知识点：计算，解方程 详解： （1）第一步，去括号的时候，括号前面是减号，去掉括号后每一项都要变号，正确结果

环． 30、 答案：7.35 知识点：组合

详解： 张老师摸出 0 个黑球 （2 个白球） 的概率是 摸出 2 个黑球（0 个白球）的概率是 1 ?

本大题评析：对于文字材料题，通常只要认真读题，读懂题，前几个小问还是很容 易答对的． 七、解答题

32、 答案：30 知识点：计数
3 2 × C3 = 30 种不同的选法． 详解：选 3 名英语翻译，2 名日语翻译，有 C5

33、 答案：90 知识点：计数

3 2 × C3 = 30 种不同的选法； 详解：典型的多面手问题． （1）不选王一土，有 C5 （2）选王一土做

的选法．共有 90 种不同的选法． 34、 答案：210 知识点：计数

3 2 1 × C3 × C2 = 60 种不同的选法； 详解： （1）不选李木子，有 C5 （2）选李木子做英语翻译，有

3 2 × C3 = 30 种不同的选法．共计 210 种不同的选法． 法； （4）选李木子做德语翻译，有 C5

35、 答案：651 知识点：计算，分数裂项

36、 答案：18 知识点：几何，燕尾模型 详解： 本题可以应用两次燕尾模型， 来找到题目中的比例关系． 也可直接用结论， 若 D 为中点， 点 E、F 分别为 AC 的三等分点，则

所以 n 只能是 39，填法如下：

38、 答案：18 知识点：应用题，方程解应用题 详解：设四个人的年龄为 a，b，c，d，则由题目条件得：

由这个方程组，可以解出 a，b，c，d 的具体值，当然通过观察也可以发现，直接用（1）式减 去（4）式即可得到 a ? d +

知识点：应用题，行程问题 详解： 如图所示， 甲、 乙第一次相遇时航程相等， 说明甲船的速度与乙船的速度相差两个水速． 甲、 乙两船第二次相遇的过程可以分为虚线和实线两部分，并且在图中虚线部分和实线部分的路程 和与速度和均相等，因此所用时间也相等．又知道从两船第一次相遇到第二次相遇间隔 1 小时

40 分钟，即 20 分，这样两船在行驶实线部分的时间为 80 ÷ 2 =
2 小时，并且两船相差 4 个水 3 2 3 速．又知道在实线部分，乙船比甲船多行了 1 千米，因此水速为 1 ÷ ÷ 4 = 千米/时． 3 8

本大题评析：第二试的难度较大，需要同 学们具有良好的奥数功底，并且要细心和 耐心， 认真解答， 平时如果有时间和精力， 可以多练习导引拓展篇和超越篇的题目．

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