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Powered by标准答案与精辟解析&第一辑 《 “神级结论”秒杀& 立体几何小题&与&平面解析几何 小题&& 一&》 &标准答案与精辟解析&程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）1 A． cm3 3B． 1cm3 D． 2cm 3C． 2cm3【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 D?1 ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 2 cm3 . 2 ? ?【典例二】一个几何体的三视图如图所示（单位： m ） ，则该几何体的体积为________ m3 .【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 30?1 ? ? ?1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 4 ? 30 m3 . ?2 ?【典例三】若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_________.程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 3 3?1 ? ? 2? 3 ??3 ? 3 3 . ?2 ?【典例四】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．560 3B．580 3C． 200D． 240【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 C?1 ? ? ? 2 ? 8 ? ? 4 ? ?10 ? 200 . ?2 ?【典例五】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A． C．11 2 9 2B． 5 D． 4【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? 2 ? ? 【答案】 D?1 ? ? ?1 ? 3? ?1? ? 1 ? 4 . 2 ? ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例六】一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为______ m3 .【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ?1? 2 ? 2 ?1? ?1 ? 4 . 【答案】 4【典例七】如图 1 ? 3 ，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和 俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________.【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? 3 ? 3 ? 3 ? 9 3 . 【答案】 9 3??程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例八】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 2 ? 3? ? 2 ? 12 . 【答案】 12【典例九】已知某三棱锥的三视图（单位： cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A． 1cm 3 C． 3cm 3B． 2cm 3 D． 4cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ?1 ? ? ? ? 2 ?1? ? 3 ? 1 cm3 . 3 ?2 ?cm ） 【典例十】 已知某三棱锥的三视图 （单位： 如图所示， 则该三棱锥的体积等于_____ cm 3 .程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 11 ?1 ? ? ? ? 3 ?1? ? 2 ? 1 cm3 . 3 ?2 ?【典例十一】如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等边 三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）A． 4 3 C． 2 3B． 4 D． 2【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 ? ?? ? 2 3 ? 2??3 ? 2 3 . 3 ?2 ?【典例十二】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm ） ，可得这 个几何体的体积是（ ）A．4000 3 cm 3B．8000 3 cm 3C． 2000cm3D． 4000cm3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 8000 ? ? 20 ? 20 ? ? 20 ? cm3 . 3 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例十三】如图， 一个空间几何体的三视图如图所示， 其中， 主视图中 ?ABC 是边长为 2 的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（ ）A． 3 C． 3B． D．3 23 2【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ? 3 2? 3 . ?? 6 ? ? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 4 2 ? ?【典例十四】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． C．?8 ? ? ?63 3B． D．?8 ? 2? ?63 3?6 ? ? ?6? 9 ? 2? ?6【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A?? ? 8 ? 3 . 1 ?1 ? ? ? ? ? ?12 ? 2 ? 2 ? ? 3 ? 3 ?2 6 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。７程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例十五】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A． 4 C． 8B． 6 D． 12【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 4? ? 2 ? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?【典例十六】 设某几何体的三视图如下 （尺寸的长度单位为 m ） ． 则该几何体的体积为 （）m3 .A． 3 C． 5B． 4 D． 6【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ? 2 ? 4 m3 . 3 ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。８程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例十七】某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积（）A．有最大值 2 C．有最大值 6B．有最大值 4 D．有最小值 2【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：1 ?1 x 2 ? y 2 22 ? V ? ? ? ? 2 x ? y ? ? 3 ? xy ? ? ? 2 .故有最大值 2 . 3 ?2 2 2 ?【答案】 A【典例十八】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 是（ ）3 ，则正视图中的 x 的值 2A． 2 C．3 2B．9 2D． 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C3 1 ?1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? x ? x .故 x ? . 2 3 ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。９程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例十九】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于________.【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ?1 ?1 16 ? ? ? ? ? 3 ? 5? ? 2 ? ? 2 ? . 3 ?2 3 ?【答案】16 3【典例二十】已知某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示， 则该几何体的体积是 （）A． 108cm 3 C． 92cm 3B． 100cm 3 D． 84cm 3【解析】由“神级结论一”之&三& 可得：1 ?1 ? V ? ? 6 ? 3? ? 6 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ? 4 ? 108 ? 8 ? 100 cm3 . 3 ?2 ?【答案】 B程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１０程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例二十一】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． C．64 3 80 3B． 32 D．8 ?8 2 3【解析】由“神级结论一”之&三& 可得：1 32 64 ?1 ? . V ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 ? ? 32 ? ? 3 3 3 ?2 ?【答案】 A【典例二十二】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． 2 C． 6B． D．10 3 22 3【解析】由“神级结论一”之&三& 可得：1 ?1 2 10 ?1 ? ? V ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1? ? 4 ? ? . 3 ?2 3 3 ?2 ? ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【答案】 B【典例二十三】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_________.【解析】由“神级结论一”之&三& 可得：1 ?1 32 160 ?1 ? ? . V ? ? ? 4 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? ? 8 ? 4 ? ? 64 ? ? 3 ?2 3 3 ?2 ? ?【答案】160 3【典例二十四】若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 _______ cm 3 .【解析】由“神级结论一”之&三& 可得：1 ?1 ?1 ? ? V ? ? ? 4 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? 4 ? 3 ? ? 3 ? 30 ? 6 ? 24 . 3 ?2 ?2 ? ?【答案】 24程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例二十五】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 2 3 C．4 3 3B． 2 5 D．5 3 3【解析】由“神级结论一”之&三& 可得：1 ?1 3 5 3 ?1 ? ? . V ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 1? ? 2 3 ? ? 3 ?2 3 3 ?2 ? ?【答案】 D【典例二十六】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 48 C． 48 ? 8 17B． 32 ? 8 17 D． 80【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：?1 ? S表 =S侧 +2S第三 = 2 ? 4 ? 2 17 ? 4 ? 2 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 4 ? ? 48 ? 8 17 . ?2 ?【答案】 C??程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例二十七】已知一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的侧面积是（）A． 1 ? 2 C． 4 ? 2B． 3 ? 2 D． 5 ? 2【解析】由“神级结论一”之&一& 可得： S侧 = 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 2 . 【答案】 C??【典例二十八】如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几 何体的表面积为（ ）A． 15 ? 3 3 C． 30 ? 6 3B． 9 3 D． 18 3【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：S表 =S侧 +2S第三 = ? 2 ? 2 ? 3 ? 3? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 30 ? 6 3 .【答案】 C??程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例二十九】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 38 ? 2? C． 38 ? ?B． 38 ? 2? D． 38【解析】此例较为特殊，因为底面是空心的，所以计算 c第三 时应注意加上中间圆的周长， 计算 S第三 时应注意减去中间圆的面积，大家记住此特例即可。 由“神级结论一”之&一 & 可得：S表 =S侧 +2S第三 = ? 3+3+4+4+2 ? ? ?1? ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? ? ?12 ? ? 38 .【答案】 D【典例三十】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28 ? 6 5 C． 56 ?12 5B． 30 ? 6 5 D． 60 ? 12 5【解析】由“神级结论二”之&二& 可得：1 1 S侧1 = ? 5 ? 42 +02 =10 ； S侧2 = ? 4 ? 42 +32 =10 ； 2 21 1 ? 8 ? S侧3 = ? 41 ? 42 + ? =6 5 ； S底 =S俯 = ? 4 ? 5=10 . ? 2 2 ? 41 ?2程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１５程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人故 S 表 =10+10+6 5+10=30+6 5 . 【答案】 B【典例三十一】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． 7 ? 5 C． 4 ? 5 ? 10B． 9 D． 4 ? 5 5【解析】由“神级结论二”之&二& 可得：1 1 S侧1 = ? 2 ? 22 +02 =2 ； S侧2 = ? 2 ? 22 +12 = 5 ； 2 2? 2? 1 1 S侧3 = ? 2 2 ? 22 + ? =3 ； S底 =S俯 = ? 2 ? 2=2 . ? ? ? 2 2 ? 2 ?故 S表 =2+ 5+3+2=7+ 5 . 【答案】 A2【典例三十二】某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A． C．3? 2 ? 6 2 6? 2 ? 3 2B． D．2? 3 ? 6 2 3? 2 2程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１６程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：1 1 1 2 ； S侧1 = ?1? 12 +02 = ； S侧2 = ?1? 12 +12 = 2 2 2 21 1 S侧3 = ? 2 ? 12 +02 =1 ； S侧4 = ? 2 ? 12 + 2 2故 S侧 =? 2? =26 . 21 2 6 3+ 2+ 6 . + +1+ = 2 2 2 2【答案】 A【典例三十三】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A． 32 C． 48B． 16 ? 16 2 D． 16 ? 32 2【解析】由“神级结论二”之&二& 可得：1 S侧1 =S侧2 =S侧3 =S侧4 = ? 4 ? 22 ? 22 ? 4 2 . 2故 S 表 =4 ? 4 2 +4 ? 4=16+16 2 . 【答案】 B程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１７程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例三十四】某四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是___________.【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：1 1 S侧1 = ? 2 ? 22 +02 =2 ； S侧2 = ? 2 ? 22 +12 = 5 ； 2 2? 2? 1 ； S侧3 = ? 2 2 ? 22 + ? ? 2 ? ? =3 2 ? ?故 S表 =2+ 5+3+ 【答案】 7+ 521 ? 2 ? 2=7+ 5 . 2【典例三十五】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于__________.【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 56?1 ? ? ? 2+5? ? 4 ? ? 4=56 . ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１８程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例三十六】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．1 3B．2 3C． 1D． 2【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 C?1 ? ? 2 ?1? ? 2=1 . ?2 ?【典例三十七】某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体 的体积为（ ） cm 3 .A． 6 ? 3?3 C． 6 ? ? 2B． 2 ? 3?3 D． 2 ? ? 2【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 C1 3? ?1 ? . ? 2 ? 2 ? ? ? ? 12 ? ? 3 ? 6 ? 2 2 ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。１９程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例三十八】一个几何体按比例绘制的三视图（单位： cm ）如图所示，该几何体的体积 为（ ）7 A． cm3 3 7 3 C． cm 29 B． cm3 2 9 3 D． cm 4【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 3 ?1 ? 【答案】 C? ?1 7 ? ? 1? 1 ? ? 1 ? . 2 2 ?【典例三十九】一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． 60 C． 100B． 80 D． 120【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 B?1 ? ? ? 2 ? 8 ? ? 4 ? ? 4 ? 80 . ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２０程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例四十】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________ cm 3 .【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ?1? 4 ? 4 ? 5? ? 5 ? 120 .【答案】 120【典例四十一】若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A． 3 C．3 3 4B． 3 3 D．9 3 4【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 【答案】 B?1 ? ? 2? 3 ??3 ? 3 3 . ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例四十二】若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______.【解析】由“神级结论一”之&一& 可得：V ? ? 4 ? 2 ? 【答案】 18? ?1 ? ? 4 ? 1? ? 3 ? 18 . 2 ?【典例四十三】如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为 1 ，则该 几何体的体积为（ ）A．1 2B． D．1 3 1 4C． 1【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 1 ? ?1? 1? ? 1 ? . 3 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例四十四】如图 1，一个“半圆锥”的主视图是边长为 2 的正三角形，左视图是直角三 角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为（ ）A．3 ? 3B．3 ? 6C． 2 3?D． 3?【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 3 ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? ?. 3 ?2 6 ?【典例四十五】 一个棱锥的三视图如图 （尺寸的长度单位为 m ） ， 则该棱锥的体积是 （单位： （ m3 ） ）A． 4 ? 2 6 C．2 3B． 4 ? 6 D．4 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例四十六】如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A． 12? C． 6?B． 9? D． 3?【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ? ?? ? 32 ? ? 4 ? 12? . 3【典例四十七】 如图， 一个空间几何体的正视图、 侧视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直角边长为 2 ，那么这个几何体的体积为（ ）A． C．1 3 4 3B．2 3D． 2【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例四十八】已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A． C．4 3B． 4 D．4 3 34 2 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 4 2 . ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 3 3【典例四十九】一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位： cm ），则这个几何 体的体积是（ ）A． 9? cm 3 C． 15? cm3B． 12? cm 3 D． 24? cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ? ?? ? 32 ? ? 4 ? 12? . 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２５程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例五十】已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是（）A． 4 C． 12B． 6 D． 18【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ? ? 3 ? 3? ? 2 ? 6 . 3【典例五十一】已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标注的尺寸（单位： cm ），可 得该几何体的体积是（ ）1 3 A． cm 3 4 3 C． cm 32 3 B． cm 3 8 3 D． cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２６程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例五十二】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 3B．4 3C． 2D． 6【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 . 3 ?2 ?【典例五十三】 一个几何体的正视图、 侧视图、 俯视图如图所示， 则该几何体的体积为 （）A．2? 3B． D．4? 3 8? 3C． 2?【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 4? ? . ? ? ? ? ? 22 ? ? 2 ? 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２７程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例五十四】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 3B．1 3C． 2D． 1【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ? 3?2 ? 2 ?1 ??2 . 3【典例五十五】一个简单多面体的三视图如图所示，其主视图与左视图是边长为1 的正三角 形，俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A． C．1 6B． D．2 6 3 123 6【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 3 3 ? ?1?1? ? ? . 3 2 6程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２８程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例五十六】已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．4 3B．8 3C． 4D． 8【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 8 ? ? 2 ? 2? ? 2 ? . 3 3【典例五十七】如图，一个简单几何体的三视图其主视图与俯视图分别是边长 2 的正三角 形和正方形，则其体积是（ ）A． C．3 6 4 3 3B． D．4 2 38 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 4 3 ? ? 2 ? 2? ? 3 ? . 3 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。２９程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例五十八】已知某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），其中正视图、侧视图都是 等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）8 A． cm3 3B． D．16 3 cm 3 32 3 cm 3C．16 2 3 cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 16 ? ? 2 ? 4? ? 2 ? . 3 3【典例五十九】 设某几何体的三视图 （尺寸的长度单位为 m ） ， 则该几何体的体积为 （）A． 12 C． 4B．8 3D． 8【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 ? ? ? ? 3? 4 ? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３０程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例六十】一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为直角三角形，边长如图所示， 那么这个几何体的体积为（ ）A． 1 C． 3B． 2 D． 4【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ?1 ? ? ? ? 1? 2 ? ? 3 ? 1 . 3 ?2 ?【典例六十一】已知某个三棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位： cm ），则这 个三棱锥的体积是（ ）1 3 A． cm 3 4 3 C． cm 32 3 B． cm 3 8 3 D． cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例六十二】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 （ ）A． 1 C． 3B． 2 D． 4【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ? ? 2 ? 2? ? 3 ? 4 . 3【典例六十三】一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1 的等腰直 角三角形（如图） ，那么这个几何体的体积为（ ）A． 1 C．1 3B． D．1 2 1 6【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ?1 ?1 1 ? ? ? ? 1? 1 ? ? 1 ? . 3 ?2 6 ?３２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【答案】 D【典例六十四】一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A． 4 C．8 3B．4 3D． 8【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?【典例六十五】已知某几何体的三视图如右图所示，根据图中的数据，则该几何体的体积是 （ ）A． 6 C． 18B． 8 D． 24【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ? ? 4 ? 2? ? 3 ? 8 . 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例六十六】若某多面体的三视图 （单位：cm ） 如图所示， 则此多面体的体积是 （）A． 2cm 3 C． 6cm 3B． 4cm 3 D． 12cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ?1 ? ? ? ? 3? 2 ? ? 2 ? 2 . 3 ?2 ?【典例六十七】一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为 正方形，则这个几何体的体积等于（ ）A． C．1 3B． D．2 315 662 24【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ?1 1 ? ? ? ? 1? 1 ? ? 2 ? . 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例六十八】如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角 形，如果直角三角形的斜边长为 2 2 ，那么这个几何体的体积为（ ）A． C．1 3 4 3B． D．2 3 8 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?【典例六十九】已知如图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图， 那么这个几何体的体 积等于（ ）A． 30 C． 15B． 20 D． 10【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ?1 ?1 ? ? ? ? 3 ? 4 ? ? 5 ? 10 . 3 ?2 ?３５程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【答案】 D【典例七十】一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． C．1 3 5 3B． D．2 3 4 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?【典例七十一】如图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为直角三角 形，且面积分别为 3 、 4 、 6 ，则该锥体的体积为（ ）A． 24 C． 12B． 4 D． 2 2【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 ? ? ? ? 3? 4 ? ? 2 ? 4 . 3 ?2 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３６程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例七十二】已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直 角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）A． C．6 12 6 4B． D．3 3 2 3 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 3 ? . ? ? ? 2 ? 1? ? 3 ? 3 ?2 3 ?【典例七十三】如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A． 34 C． 48B． 16 D． 24【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ? ? 6 ? 2 ? ? 4 ? 16 . 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３７程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例七十四】某几何体的三视图如下，则该几何体的体积是（）A． 12 C． 48B． 16 D． 64【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ? ? 4 ? 3? ? 4 ? 16 . 3【典例七十五】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A． 8 C． 4B． D．8 3 4 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ? 3?2? 2 ?2 ??4 . 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３８程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例七十六】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的 体积为（ ）A． 3 C． 1B． D．2 3 3 3 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ?1 3 ? . ? ? ? 2 ? 1? ? 3 ? 3 ?2 3 ?【典例七十七】某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A． 72? C． 36?B． 48? D． 12?【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 D1 ? ?? ? 32 ? ? 4 ? 12? . 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。３９程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例七十八】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A． C．20 3 40 3B． 10 D．50 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 40 ? . ? ? ? 5? 4 ?? 4 ? 3 ?2 3 ?【典例七十九】如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，侧视 图是直角边长分别为 1 与 3 的直角三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积 等于 （ ）A． C．3? 6 4 3? 3B． D．3? 3?2【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 A1 ?1 3? ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? . 3 ?2 6 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４０程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例八十】已知某个几何体的三视图如右，那么可得这个几何体的体积是（）A． C．1 3 4 3B． D．2 3 8 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 C1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?【典例八十一】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位： cm ），可得 这个几何体的体积是（ ）2 3 A． cm 3 1 3 C． cm 34 3 B． cm 3 8 3 D． cm 3【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】 B1 ?1 4 ? ?? ? 2? 2?? 2 ? . 3 ?2 3 ?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例八十二】某几何体的三视图如图所示，则其体积为_______.【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ? 【答案】1 8 ? ? 2 ? 2? ? 2 ? . 3 38 3【典例八十三】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_______.【解析】由“神级结论一”之&二& 可得：V ?1 ?1 1 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 1? ? 1 ? . 3 ?2 2 ?【答案】1 2程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例八十四】设 a 、b 是两条不同的直线，? 、? 是两个不同的平面， 则下列四个命题： ①若 a ? b ， a ? ? ， b ? ? ，则 b ∥ ? ；②若 a ∥ ? ， a ? ? ，则 ? ? ? ； ③若 a ? ? ， ? ? ? ，则 a ∥ ? 或 a ? ? ；④若 a ? b ， a ? ? ， b ? ? ，则? ? ? . 其中正确命题的个数为（ ）A． 1 C． 3B． 2 D． 4【解析】由“神级结论二”之&一& 可知：①正确；由“神级结论二”之&四& 可知：②正确； 由“神级结论二”之&一 & 可知：③正确；由“神级结论二”之&五& 可知：④正确. 故①②③④全部正确. 【答案】 D【典例八十五】已知 ? 、 ? 是两个互相垂直的平面， m 、 n 是一对异面直线，下列四个结 论：① m ∥ ? ，n ? ? ；② m ? ? ， n ∥ ? ；③ m ? ? ，n ? ? ；④ m ∥ ? ， n ∥ ? ， 且 m 与 ? 的距离等于 n 与 ? 的距离. 其中是 m ? n 的充分条件的为（ ）A．① C ．③【答案】 CB．② D．④【解析】由“神级结论二”之&五& 可知：③正确. 故选 C .【典例八十六】设 ? 、 ? 、 ? 是三个互不重合的平面， m 、 n 是两条不重合的直线，则 下列命题中正确的是（ ）A．若 ? ? ? ， ? ? ? ，则? ? ?B．若 ? ∥ ? ，m ? ? ， m ∥ ? ，则 m ∥?C．若 ? ? ? ， m ? ? ，则 m ∥ ?? ?? ， 若 m ∥ ? ，n ∥ ? ， 则m?n D．【解析】由“神级结论二”之&一& 可知： B 正确. 故选 B . 【答案】 C 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例八十七】已知 m 、 n 是两条不重合的直线， ? 、 ? 是两个不重合的平面，给出下列 四个命题： ①若 m ? ? ， m ? ? ，则 ? ∥ ? ； ②若 m, n ? ? ， n ∥ ? ， m ∥ ? ，则 ? ∥ ? ； ③若 m ∥ n ， m ? ? ，则 n ? ? ； ④若 m ? ? ， m ? ? ，则 ? ? ? . 其中正确命题的个数为（ ）A． 1 个 C． 3 个B． 2 个 D． 4 个【解析】由“神级结论二”之&三& 可知：①正确；由“神级结论二”之&三& 可知：②错误； 由“神级结论二”之&二 & 可知：③正确；由“神级结论二”之&四& 可知：④正确. 故①③④正确. 【答案】 C【典例八十八】已知 a 、 b 、 c 是三条不同的直线，命题“ a ∥ b 且 a ? c ? b ? c ”是 正确的，如果把 a 、 b 、 c 中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有（ ）A． 1 个 C． 3 个B． 2 个 D． 4 个【解析】由“神级结论二”之&二& 可知： “将 a 、 b 换成平面”得到的命题：正确； “将 a 、 “将 b 、 c 换成平面”以 c 换成平面”得到的命题：错误. 由“神级结论二”之&四& 可知： 及“将 a 、 b 、 c 换成平面”得到的命题：均正确. 故能得到三个正确命题. 【答案】 C【典例八十九】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面，给出下列 命题： ①若 m ? ? ， ? ? ? ，则 m ? ? ； ②若 m ∥ ? ， m ? ? ，则 ? ? ? ； ③若 ? ? ? ， ? ? ? ，则 ? ? ? ； ④若 ? ? ? ? m ， ? ? ? ? n ， m ∥ n ，则 ? ∥ ? .程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人其中真命题的序号是__________________（写出所有真命题的序号）. 【解析】由“神级结论二”之&二& 可知：①错误；由“神级结论二”之&四& 可知：②正确； 由“神级结论二”之&四 & 可知：③错误；由“神级结论二”之&三& 可知：④错误. 故只有②正确. 【答案】②【典例九十】已知两条不同的直线 m 、 n ，两个不同的平面 ? 、 ? ，则下列命题中正确 的是（ ）A．若 m ? ? ， n ? ? ，? ? ? ，则 m ? n B．若 m ? ? ， n ∥ ? ，? ? ? ，则 m ? n C．若 m ∥ ? ， n ∥ ? ， ? ∥ ? ，则 m ∥ n D．若 m ∥ ? ， n ? ? ，? ? ? ，则 m ∥ n【解析】由“神级结论二”之&五& 可知： A 正确. 故选 A . 【答案】 A【典例九十一】关于直线 l 、 m 及平面 ? 、 ? ，下列命题中正确的是（）A．若 l ∥ ? ，? ? ? ? m ，则 l ∥ m C．若 l ? ? ， l ∥ ? ，则? ? ?B．若 l ∥ ? ， m ∥ ? ，则 l ∥ m D．若 l ∥ ? ， m ? l ，则 m ? ?【解析】由“神级结论二”之&四& 可知： C 正确. 故选 C . 【答案】 C【典例九十二】设 ? 、 ? 、 ? 是三个不重合的平面， m 、 n 是不重合的直线，下列判断 正确的是（ ）A．若 ? ? ? ， ? ? ? ，则 ? ∥ ? C．若 m ∥ ? ， n ∥ ? ，则 m ∥ n【答案】 DB．若 ? ? ? ， l ∥ ? ，则 l ? ? D．若 m ? ? ， n ? ? ，则 m ∥ n【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： D 正确. 故选 D .程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４５程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例九十三】已知 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面，则下列 命题正确的是（ ）A．若 ? ? ? ，? ? ? ，则 ? ∥ ?B．若 m ∥ n ， m ? ? ， n ? ? ，则 ? ∥ D．若 n ? ? ， n ? ? ，则 ? ∥ ??C．若 m ∥ n ， m ∥ ? ，则 n ∥ ?【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： D 正确. 故选 D . 【答案】 D【典例九十四】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面.下列命题中正确 的是（ ）A．若 ? ? ? ， m ? ? ， n ? ? ，则 m ? n B．若 ? ∥ ? ， m ? ? ， n ? ? ，则 m ∥ n C．若 m ? n ， m ? ? ， n ? ? ，则? ? ? D．若 m ? ? ， m ∥ n ， n ∥ ? ，则? ? ?【解析】由“神级结论二”之&五& 可知： D 正确. 故选 D . 【答案】 D【典例九十五】设 l 为直线， ? 、 ? 是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）A．若 l ∥ ? ， l ∥ ? ，则 ? ∥ ? C．若 l ? ? ， l ∥ ? ，则 ? ∥ ?B．若 l ? ? ， l ? ? ，则 ? ∥ ? D．若 ? ? ? ， l ∥ ? ，则 l ? ?【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： B 正确. 故选 B . 【答案】 B【典例九十六】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面.则（）A．若 m ∥ ? ， n ∥ ? ，则 m ∥ n C．若 m ∥ n ， m ? ? ，则 n ? ?B．若 m ∥ ? ， m ∥ ? ，则 ? ∥ ? D．若 m ∥ ? ，? ? ? ，则 m ? ?【解析】由“神级结论二”之&二& 可知： C 正确. 故选 C . 【答案】 C 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４６程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例九十七】已知 m 和 n 是两条不同的直线，? 和 ? 是两个不重合的平面，那么下面给 出的条件中一定能推出 m ? ? 的是（ ）A． ? ? ? ，且 m ? ? C． ? ? ? ，且 m ∥ ?【答案】 BB． m ∥ n ，且 n ? ? D． m ? n ，且 n ∥ ?【解析】由“神级结论二”之&二& 可知： B 正确. 故选 B .【典例九十八】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面，给出下列命题： （1）若 ? ∥ ? ， m ? ? ， n ? ? ，则 m ∥ n ； （2）若 ? ∥ ? ， m ? ? ， n ∥ ? ，则 m ? n ； （3）若 ? ? ? ， m ? ? ， n ∥ ? ，则 m ∥ n ； （4）若 ? ? ? ， m ? ? ， n ? ? ，则 m ? n . 上面命题中，所有真命题的序号为__________. 【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： （1）错误；由“神级结论二”之&五& 可知： （2） 正确；由“神级结论二”之&三 & 可知： （3）错误；由“神级结论二”之&五& 可知： （4）正 确. 故（2） （4）正确. 【答案】 （2） （ 4）【典例九十九】用 m 、 n 是两条不同的直线， ? 表示平面，则下列命题正确的是（）A．若 m ∥ n ， n ? ? ，则 m ∥ ? C．若 m ? n ， n ? ? ，则 m ? ?【答案】 DB．若 m ∥ ? ， n ? ? ，则 m ∥ n D．若 m ? ? ， n ? ? ，则 m ? n【解析】由“神级结论二”之&四& 可知： D 正确. 故选 D .程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４７程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百】已知 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面，下列命题 中错误的是（ ）A．若 m ? ? ， m ? ? ，则 ? ∥ ? B．若 ? ∥ ? ， ? ∥ ? ，则 ? ∥ ? C．若 m ? ? ， n ? ? ， m ∥ n ，则 ? ∥ ? D．若 m 、 n 是异面直线， m ? ? ， m ∥ ? ， n ? ? ， n ∥ ? ，则 ? ∥ ?【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： C 错误. 故选 C . 注意看清题目，是选错误的. 注意： B 选项并非是“五当”所适用的范畴，因为“五当”是主要用来解决“线与面混合 类型的命题的真假判定” ， “单纯线的平行”或者“单纯面的平行”则不一定适用，因为太 简单，高考基本不会考察，了解一下 B 选项是正确的即可. 而 D 选项是超过了四个条件， 注意：四个以上条件的命题是必对的. 故 D 选项也是正确的. 【答案】 C【典例一百零一】下列四个条件： ①x 、 y 、 z 均为直线；②x 、 y 是直线， z 是平面；③x 是直线， y 、 z 是平面； ④x 、 y 、 z 均为平面. 其中，能使命题“ x ? y ， y ∥ z ? x ? z ”成立的有（ ）A． 1 个 C． 3 个B． 2 个 D． 4 个【解析】由“神级结论二”之&四& 可知：①正确；由“神级结论二”之&二& 可知：②错误； 由“神级结论二”之&二 & 可知：③正确；由“神级结论二”之&四& 可知：④正确. 故①③④正确. 【答案】 C 此题与【典例八十八】性质相同.程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４８程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百零二】已知 ? 、 ? 是两个不同的平面， m 、 n 是两条不重合的直线，则下列命 题中正确的是（ ）A．若 m ∥ ? ， a ? ? ? n ，则 m ∥ n B．若 m ? ? ， m ? n ，则 n ∥ ? C．若 m ? ? ， n ? ? ，? ? ? ，则 m ? n D．若 ? ? ? ， a ? ? ? n ， m ? n ，则 m ? ?【解析】由“神级结论二”之&五& 可知： C 正确. 故选 C . 【答案】 C【典例一百零三】设 m 、 n 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面，则下列命题不 正确的是（ ）A．若 m ? n ， m ? ? ， n ? ? ，则 n ∥ ? B．若 m ? ? ， ? ? ? ，则 m ∥ ? 或 m ? ? C．若 m ? n ， m ? ? ， n ? ? ，则? ? ? D．若 m ∥ ? ，? ? ? ，则 m ? ?【解析】由“神级结论二”之&二& 可知： D 错误. 故选 D . 注意看清题目，是选错误的. 【答案】 D【典例一百零四】已知 m 、 n 、 l 为三条不同的直线， ? 、 ? 为两个不同的平面，则下列 命题中正确的是（ ）A． ? ∥ ? ， m ? ? ， n ? ? ? m ∥ n B． l ? ? ， ? ? ? ? l ∥ ? C． m ? ? ， m ? n ? n ∥ ? D． ? ∥ ? ， l ? ? ? l ? ?【解析】由“神级结论二”之&二& 可知： D 正确. 故选 D . 【答案】 D程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。４９程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百零五】设 a 、 b 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面，则下列命题错 误的是（ ）A．若 a ? ? ， b ∥ ? ，则 a ? b B．若 a ? ? ， b ∥ ? ， b ? ? ，则? ? ? C．若 a ? ? ， b ? ? ， ? ∥ ? ，则 a ∥ b D．若 a ∥ ? ， a ∥ ? ，则 ? ∥ ?【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： D 错误. 故选 D . 注意看清题目，是选错误的. 【答案】 D【典例一百零六】设 l 是直线， ? 、 ? 是两个不同的平面， （）A．若 l ∥ ? ， l ∥ ? ，则 ? ∥ ? C．若 ? ? ? ， l ? ? ，则 l ? ?B．若 l ∥ ? ， l ? ? ，则? ? ? D．若 ? ? ? ， l ∥ ? ，则 l ? ?【解析】由“神级结论二”之&四& 可知： B 正确. 故选 B . 【答案】 B【典例一百零七】 设 l 、m 是两条不同的直线，? 是一个平面， 则下列命题正确的是 （）A．若 l ? m ， m ? ? ，则 l ? ? C．若 l ∥ ? ， m ? ? ，则 l ∥ m【答案】 BB．若 l ? ? ， l ∥ m ，则 m ? ? D．若 l ∥ ? ， m ∥ ? ，则 l ∥ m【解析】由“神级结论二”之&二& 可知： B 正确. 故选 B .【典例一百零八】用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线， ? 表示平面，给出下列命题： ① 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ；② 若 a ? b ， b ? c ，则 a ? c ； ③ 若 a ∥ ? ， b ∥ ? ，则 a ∥ b ；④ 若 a ? ? ， b ? ? ，则 a ∥ b . 其中真命题的序号是（ ② A．① ④ C ．① ） ③ B．② ④ D．③ 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５０程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【解析】由初中学的“平行公理”可知：①正确，和“五当”没关系；由“神级结论二” 之&四& 可知：②错误；由“神级结论二”之&三& 可知：③错误；由“神级结论二”之&三& 可知：④正确. 故①④正确. 【答案】 C【典例一百零九】已知 m 、 n 是两条不同直线， ? 、 ? 、 ? 是三个不同平面.下列命题中 正确的是（ ）A．若 m ∥ ? ， n ∥ ? ，则 m ∥ n C．若 m ∥ ? ， m ∥ ? ，则 ? ∥ ?B．若 ? ? ? ， ? ? ? ，则 ? ∥ ? D．若 m ? ? ， n ? ? ，则 m ∥ n【解析】由“神级结论二”之&三& 可知： D 正确. 故选 D . 【答案】 D【典例一百一十】已知直线 l ? 平面 ? ，直线 m ? 平面 ? ，下面有三个命题：? ? ? ? l ∥ m ；③l ∥ m ? ? ? ? . ①? ∥ ? ? l ? m ；②则真命题的个数为（ ）A． 0 C． 2B． 1 D． 3【解析】由“神级结论二”之&五& 可知：①③正确；由“神级结论二”之&三& 可知：②错 误. 【答案】 C【典例一百一十一】设 a 、 b 是两条不同的直线， ? 、 ? 是两个不同的平面，则下列四个 命题： ① 若 a ? b ， a ? ? ， b ? ? ，则 b ∥ ? ； ② 若 a ∥ ? ， a ? ? ，则 ? ? ? ； ③ 若 a ? ? ， ? ? ? ，则 a ∥ ? 或 a ? ? ； ④ 若 a ? b ， a ? ? ， b ? ? ，则 ? ? ? . 其中正确命题的个数是___________________. 【解析】由“神级结论二”之&一& 可知：①正确；由“神级结论二”之&四& 可知：②正确； 程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人由“神级结论二”之&一 & 可知：③正确；由“神级结论二”之&五& 可知：④正确. 故①②③④全部正确. 【答案】①②③④【典例一百一十二】直线 m 、 n 均不在平面 ? 、 ? 内，给出下列命题： ①若 m ∥ n ， n ∥ ? ，则 m ∥ ? ； ②若 m ∥ ? ， ? ∥ ? ，则 m ∥ ? ； ③若 m ? n ， n ? ? ，则 m ∥ ? ； ④若 m ? ? ， ? ? ? ，则 m ∥ ? . 其中正确命题的个数是（ ）A． 1 C． 3B． 2 D． 4故选 D . 爽！【解析】由“神级结论二”之&一& 可知：①②③④全部正确. 【答案】 D【典例一百一十三】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 体的棱长为________. 【解析】球的体积为9? ，则正方 29? 4 3 ? ? R 3 ，解得 R ? ，故由“神级结论三”之&五& 可知： 2 3 2R?1 2 a 2 ? b2 3 h ? ? ，而正方体的 h 、 a 、 b 均相等，即可解得 h ? a ? b ? 3 . 4 4 2【答案】 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百一十四】在三棱锥 A ? BCD 中，侧棱 AB 、 AC 、 AD 两两垂直， ?ABC 、?ACD 、 ?ADB 的面积分别为（ ）2 、 3 、 6 ，则三棱锥 A ? BCD 的外接球的体积为 2 2 2A． 6? C． 3 6?B． 2 6? D． 4 6?2 、 3 、 6 可很 2 2 2【解析】由三个侧面直角三角形 ?ABC 、 ?ACD 、 ?ADB 的面积：快得出三条侧棱长分别为： 1 、 2 、 3 ，故由“神级结论三”之&五& 可知：R?1 2 a ?b 1 2 h ? ? ?1? 4 4 42 23? 2 ? ? ? 3? ?224?6 ， 24 4 ? 6? 故： V ? ? R 3 ? ? ? . 故选 A . ? ? ? 6? 3 3 ? ? 2 ?【答案】 A【典例一百一十五】半径为 2 的球面上有 A 、 B 、 C 、 D 四点，且 AB 、 AC 、 AD 两 两垂直，则三个三角形面积之和 S?ABC ? S?ACD ? S?ADB 的最大值为（ ）A． 4 C． 16B． 8 D． 32【解析】三条侧棱长分别为：h 、a 、b ， 故三个侧面直角三角形 ?ABC 、 ?ACD 、?ADB 的面积分别为：1 1 1 ab 、 ah 、 bh ，而由“神级结论三”之& 五& 可知： 2 2 2R?2?1 2 a 2 ? b2 h ? ，即得： h2 ? a2 ? b2 ? 16 . 故由基本不等式可得： 4 41 1 1 1 ? a 2 ? b2 a 2 ? h2 b2 ? h2 ? 1 2 2 2 ab ? ah ? bh ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? h ? ? 8 .故选 B . 2 2 2 2? 2 2 2 ? 2【答案】 B程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百一十六】 在三棱锥 S ? ABC 中， 侧棱 SC ? 平面 SAB ，SA ? BC ， 侧面 ?SAB ，3 ?SBC ， ?SAC 的面积分别为 1 ， ， 3 ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ 2）A． 14? C．B． D．3 2?4 2? 3?3【解析】由三个侧面直角三角形的面积：1 、 、 3 可很快得出三条侧棱长分别为：1 、2 、3 ，故由“神级结论三”之&五 & 可知：? 14 ? 1 2 a 2 ? b2 1 2 ? 2 ? ? ? 3? 14 R? h ? ? ? ， 故：S ? 4? R 2 ? 4? ? . ?1? ? ? 2 ? ? ? 14? 4 4 4 4 2 ? ?2 22故选 A .此题与【典例一百一十四】性质相同.【答案】 A【典例一百一十七】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA ? 平面ABC ， SA ? 2 3 ， AB ? 1 ， AC ? 2 ， ?BAC ? 600 ，则球 O 的表面积为（）A． 4? C． 16?【解析】故由“神级结论三”之&四& 可知：B． 12? D． 64?R?2 1 2 1 2 h ? a2 ? 2 3 ? 12 ? 2 ，故： S ? 4? R 2 ? 4? ? 2 ? ? 16? . 故选 C . 4 4??【答案】 C程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百一十八】设三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱垂直于底面， AB ? AC ? 2 ， 且三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是 （ ?BAC ? 900 ，AA? ? 2 ， ）A． 4? C． 16?【解析】故由“神级结论三”之&五& 可知：B． 8? D． 12?? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 ，故： S ? 4? R 2 ? 4? 1 2 a 2 ? b2 1 2 R? h ? ? ? 2? ? 4 4 4 42 2? 3?2? 12? .故选 D . 【答案】 D【典例一百一十九】已知直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若AB ? 3 ， AC ? 4 ， AB ? AC ， AA 1 ? 12 ，则球 O 的半径为（）A． C．3 17 213 2B． 2 10 D． 3 10【解析】故由“神级结论三”之&五& 可知：? 3? ? ? 4 ? ? 169 ? 13 1 2 a 2 ? b2 1 2 R? h ? ? ，故选 C . ?12 ? ? 4 4 4 4 4 22 2【答案】 C【典例一百二十】已知点 P 、 A 、 B 、 C 、 D 是球 O 表面上的点， PA ? 平面 ABCD ， 四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形.若 PA ? 2 6 ，则 ?OAB 的面积为___________. 【解析】故由“神级结论三”之&五& 可知：R?1 2 a ?b 1 h ? ? 2 6 4 4 42 2??2?2 3? ? ?2 3? ?224?2 3，3 2 3 4故： ?OAB 是边长为 2 3 的等边三角形，故其面积为： 【答案】 3 3??2?3 3.程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５５程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百二十一】已知三棱锥 O ? ABC ， ?BOC ? 900 ， OA ? 平面 BOC ，其中AB ? 10 ， BC ? 13 ， AC ? 5 ， O 、 A 、 B 、 C 四点均在球 S 的表面上，则球 S的表面积为________. 【解析】注意：此题容易看错，比较坑爹。 O 点并不是球心，球心是 S ，此题依然是一个 标准的“外接球”的运算问题.0 而且此题条件比较隐晦， “ ?BOC ? 90 ，OA ? 平面 BOC ” 实际上是告诉你： “侧棱 OA 、，由 AB ? 10 ， BC ? 13 ， AC ? 5 以及勾股定理可以得出： OB 、 OC 两两垂直”OA2 ? OB 2 ? OC 2 ?10 ? 13 ? 5 ? 14 . 22故由“神级结论三”之&五 & 可知：? 14 ? 1 2 a 2 ? b2 14 14 R? h ? ? ? ，故： S ? 4? R 2 ? 4? ? . ? 2 ? ? ? 14? 4 4 4 2 ? ?【答案】 14?【典例一百二十二】 已知三棱锥 S ? ABC 的底面 ABC 是边长为 1 的正三角形， 且 SA ? 面ABC ， SA ? 2 ，则该三棱锥的外接球的体积为__________.【解析】故由“神级结论三”之&一& 可知：? 4 ? 32 3? 1 2 1 2 1 2 1 2 4 R? h ? a ? . ? 2 ? ? ?1? ? ，故： V ? 4 ? R3 ? 4 ? ? ? ? ? 27 4 3 4 3 3 3 3 ? ? 3?【答案】332 3? 27【典例一百二十三】点 A 、 B 、C 、 D 均在同一球面上， 其中 ?ABC 是正三角形， AD ? 平面 ABC ， AD ? 2 AB ? 6 ，则该球的体积为_________. 【解析】故由“神级结论三”之&一& 可知：R?1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 h ? a ? ? 6 ? ? ? 3? ? 2 3 ，故： V ? ? R3 ? ? 2 3 4 3 4 3 3 3??3? 32 3? .【答案】 32 3?程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５６程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百二十四】四面体 A ? BCD 中， AB ? CD ? 4 ， BC ? AC ? AD ? BD ? 5 ，则 此四面体外接球的表面积为_________. 【解析】此题为“对棱两两相等的三棱锥的外接球” ： 故由“神级结论三”之&五 & 可知：4 2 ? 52 ? 52 ? 33 . 22? 33 ? 1 2 a 2 ? b2 33 R? h ? ? ，故： S ? 4? R 2 ? 4? ? . ? 4 ? ? ? 33? 4 4 4 ? ?【答案】 33?【典例一百二十五】已知正三棱锥 P ? ABC ，点 P 、 A 、 B 、 C 都在半径为 3 的球面 上，若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为____________. 【解析】首先：由“侧棱两两垂直” ：故由“神级结论三”之&五& 可知：1 2 a 2 ? b2 R? h ? ? 3 ，即可得： h2 ? a2 ? b2 ? 12 . 4 4其中 h 、 a 、 b 为三条侧棱长，且 h ? a ? b ，故 a ? 2 . 故由勾股定理得：三棱锥的底面边长 a? ? 2 2 .① 其次：由： “正三棱锥” ： 故由“神级结论三”之&六& 可知： R ?a?2 ? 3h?2 ? 3 6h?②其中 a? 表示底面边长， h? 表示高 --也就是点 P 到底面 ABC 的距离（之所以都加个’，是为 了和前面的 a 、 h 区分开来，以免搞混） ，①代入②即可得： 3h? ? 6 3h? ? 8 ? 0 ，2即得： h? ?2 3 . 3“球心到截面 ABC 的距离”其实就是： “球的半径”减去“点 P 到底面 ABC 的距离” ， 即： R ? h? . 故： R ? h? ? 3 ?2 3 3 ? . 3 3【答案】3 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５７程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百二十六】一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面的射影为正方形的中心.已 知该四棱锥的各顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为 3 ，体积为 6 ，则这个球的表 面积是（ ）A． 10? C． 12?【解析】此题为“正四棱锥”的外接球问题.B． 16? D． 18?该四棱锥的高为 3 ，体积为 6 ，可以得到底面边长 a ? 6 .a 2 ? 2h 2 故由“神级结论三”之&七 & 可知： R ? ? 4h2 故： S ? 4? R ? 4? ? 2 ? ? 16? . 2? 6?2? 2 ? 3?24?3?2.【答案】 B【典例一百二十七】球 O 与底面边长为 3 的正三棱柱各侧面均相切，则球 O 的表面积为 ________. 【解析】此题为“正三棱柱”的内切球问题. “正三棱柱”的内切球半径： r ?3 a .（ a 为底面边长）. 62? 3? 3 3 3 a? ?3 ? 故： r ? .故： S ? 4? r 2 ? 4? ? . ? 2 ? ? ? 3? 6 6 2 ? ?【答案】 3?【典例一百二十八】 已知 A 、B 、C 是球 O 的球面上三点， 三棱锥 O ? ABC 的高为 2 2 ， 且 ?ABC ? 600 ， AB ? 2 ， BC ? 4 ，则球 O 的表面积为（ ）A． 24? C． 48?B． 32? D． 192?【解析】注意：此题并非是“外接球”问题，而是“外面的球”问题.即“以球心为顶点”. 故由“神级结论三”之&四& 的“小弟”可知： R? ? 故： S ? 4? R? ? 4? 2 32h2 ? a 2 ??2 2 ?2? ? 2? ? 2 3 .2??2? 48? .【答案】 C程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５８程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百二十九】已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 球心， OA 为半径的球的表面积为_________.3 2 ，底面边长为 3 ，则以 O 为 2【解析】注意：此题并非是“外接球”问题，而是“外面的球”问题.即“以球心为顶点”. 由“正四棱锥 O ? ABCD 的体积为3 2 3 2 ，底面边长为 3 ”即得： h ? . 2 2故由“神级结论三”之&五 &的“小弟”可知：?3 2 ? a 2 ? b2 R? ? h2 ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 ? ?故： S ? 4? R? ? 4?22? 3? ? ? 3?224? 6.? 6?2? 24? .【答案】 24?【典例一百三十】点 A 、 B 、 C 、 D 在同一个球的球面上， AB ? BC ? 若四面体 ABCD 体积的最大值为2 ， AC ? 2 ，2 ，则这个球的表面积为（ 3）A． C．125? 6 25? 4B． 8? D．25? 16【解析】此题理解难度较大。属于“明修栈道，暗度陈仓”. 四面体 ABCD 体积的最大值为2 ，且底面积 ABC 已知为 1 ，即：高的最大值为 2 . 3当底面固定时，四面体 ABCD 的高经过球心时为最大！此时的高正好是“球半径”与“球 心到底面 ABC 的距离” 之和.即最大高 2 ? R ? d ， 其中 d 是 “球心 O 到底面 ABC 的距离” ， 可以看作是新的三棱锥 O ? ABC 的高，故对于新三棱锥 O ? ABC 而言，球 O 不是“外接 球” ，而是“外面的球” ！即“以球心为顶点”. 故由“神级结论三”之&二 &的“小弟”可知： R ?1 d 2 ? a2 ? 2?2 ? R?2?1 2? 2?2.即解得： R ? 【答案】 C5 . 4故： S ? 4? R ? 4? ?225? ?5? . ? ? 4 ?4?2程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。５９程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百三十一】长方体的长、宽、高分别为 2cm 、 2cm 、 3cm ，若该长方体的各顶 点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A． 7? cm 2 C． 17? cm 2【解析】由“神级结论三”之&五& 可知：B． 14? cm 2 D． 56? cm 21 2 a 2 ? b2 1 2 ? 2 ? ? ? 3? 17 R? h ? ? ? . ? 2? ? 4 4 4 4 22 2? 17 ? 故： S ? 4? R ? 4? ? . ? 2 ? ? ? 17? ? ?22【答案】 C【典例一百三十二】 已知三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱两两垂直， 且 SA ? 2 ，SB ? SC ? 4 ， 则该三棱锥的外接球的半径为（ ）A． 3 C． 36B． 6 D． 92 2? 4? ? ? 4? ? 3 1 2 a 2 ? b2 1 2 h ? ? 【解析】 由 “神级结论三” 之&五& 可知： R ? . ? 2? ? 4 4 4 4【答案】 A【典例一百三十三】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA ? 平面ABC ， SA ? 2 3 ， AB ? 1 ， AC ? 2 ， ?BAC ? 600 ，则球 O 的表面积为（）A． 4? C． 16?【解析】由“神级结论三”之&四& 可知： R ?2 故： S ? 4? R ? 4? ? 2 ? ? 16? . 2B． 12? D． 64?2 1 2 1 h ? a2 ? 2 3 ? 12 ? 2 . 4 4??【答案】 C程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６０程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百三十四】点 A 、 B 、C 、 D 均在同一球面上， 其中 ?ABC 是正三角形， AD ? 平面 ABC ， AD ? 6 ， AB ? 3 ，则该球的体积为（ ）A． 32 3? C． 64 3?【解析】由“神级结论三”之&一& 可知： R ? 故： V ?B． 48? D． 16 3?1 2 1 2 1 2 1 2 h ? a ? ? 6 ? ? ? 3? ? 2 3 . 4 3 4 34 4 ? R3 ? ? 2 3 3 3??3? 32 3? .【答案】 A【典例一百三十五】已知正三棱锥 P ? ABC ，点 P 、 A 、 B 、 C 都在半径为 3 的球面 上，若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直，则正三棱锥 P ? ABC 的高为（ ）A．3 3B．2 3 3C． 3D． 2 3【解析】首先：由“侧棱两两垂直” ：故由“神级结论三”之&五& 可知：R?1 2 a 2 ? b2 h ? ? 3 ，即可得： h2 ? a2 ? b2 ? 12 . 4 4其中 h 、 a 、 b 为三条侧棱长，且 h ? a ? b ，故 a ? 2 . 故由勾股定理得：底面边长 a? ? 2 2 .① 其次：由： “正三棱锥” ： 故由“神级结论三”之&六& 可知： R ?a?2 ? 3h?2 ? 3 6h?②其中 a? 表示底面边长， h? 表示高 --也就是点 P 到底面 ABC 的距离（之所以都加个’，是为 了和前面的 a 、 h 区分开来，以免搞混） ，①代入②即可得： 3h? ? 6 3h? ? 8 ? 0 ，2即得： h? ? 【答案】 B2 3 . 3此题与【典例一百二十五】过程相同.程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６１程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百三十六】已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2 ，则这个四棱锥的外接球 的表面积为（ ）A． 12? C． 72?B． 36? D． 108?【解析】由“正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 2 ”可得：高为 3 .a ? 2h 故由“神级结论三”之&七 & 可知： R ? 4h22 故： S ? 4? R ? 4? ? 3? ? 36? . 22?3 2 ? ?2? 2 ? 3?24?3?3.【答案】 B【典例一百三十七】 正四棱锥 V ? ABCD 的五个顶点在同一个球面上， 若其底面边长为 4 ， 侧棱长为 2 6 ，则此球的表面积为（ ）A． 18? C． 72?B． 36? D． 9?【解析】由“正四棱锥的底面边长为 4 ，侧棱长为 2 6 ”可得：高为 4 .a 2 ? 2h 2 ? 4 ? ? 2 ? 4 ? ? ?3. 故由“神级结论三”之&七 & 可知： R ? 4h 4? 42 22 故： S ? 4? R ? 4? ? 3? ? 36? . 2【答案】 B【典例一百三十八】已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4? 的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ 3）A． 6 3 C． 18 3【解析】此题为“正三棱柱”的内切球问题. 由“球体积为B． 12 3 D． 24 34? ”可得： r ? 1 . 3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６２程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人“正三棱柱”的内切球半径： r ? 故： r ?3 a .（ a 为底面边长）. 63 a ? 1 .故： a ? 2 3 .且三棱柱的高 h ? 2r ? 2 . 6 3 2 3 4故：表面积 S ? 2 ? 【答案】 C??2? 6 3 ? 2 ? 18 3 .【典例一百三十九】已知正方体的外接球的体积是4? ，则这个正方体的棱长是（ 3）A． C．2 3 2 2 3B． D．4? ”可得： R ? 1 . 33 3 2 3 3【解析】由“外接球的体积是由“神级结论三”之&五 & 可知： R ?1 2 a 2 ? b2 h ? ? 1 .且正方体： h ? a ? b . 4 4故： a ?2 3 . 3【答案】 D【典例一百四十】设一个球的表面积为 S1 ，它的内接正方体的表面积为 S2 ，则 等于（ ）S1 的值 S2A． C．2? ?6B． D．6? ?2【解析】由“神级结论三”之&五& 可知：R?1 2 a 2 ? b2 3 h ? a. .且正方体： h ? a ? b . 故： R ? 4 4 2程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６３程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人? 3 ? S 3? a 2 ? 2 故： S1 ? 4? R ? 4? ? .而 S2 ? 6a2 ，故： 1 ? ? . a ? 3 ? a ? ? 2 ? S2 6a 2 2 ? ?22【答案】 D【典例一百四十一】一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3? ， 则该正方体的表面积为___________. 【解析】由“外接球的体积是 4 3? ”可得： R ? 3 . 由“神级结论三”之&五 & 可知： R ?1 2 a 2 ? b2 h ? ? 3 .且正方体： h ? a ? b . 4 422 故： a ? 2 . 故：正方体的表面积 S ? 6a ? 6 ? 2 ? ? 24 .【答案】 24【典例一百四十二】在三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中，已知 AA? ? 平面 ABC ， AA? ? 2 ，BC ? 2 3 ，?BAC ?A． C．32? 3 25? 3?2， 且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上， 则球的体积为 （）B． 16? D．31? 2【解析】由“神级结论三”之&五& 可知：R?1 2 a ?b 1 2 h ? ? ? 2? 4 4 42 2?2 3? ?42? 2.故： V ?4 4 32? 3 ? R3 ? ? ? 2 ? ? . 3 3 3【答案】 A程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６４程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths中国高考数学、物理创新教学与研究第一人【典例一百四十三】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上， AB ? 6 ，BC ? 2 3 ，四棱锥 O ? ABCD 的体积为 8 3 ，则球 O 的表面积为（A． 8? C． 32? B． 16? D． 64?）【解析】注意：此题并非是“外接球”问题，而是“外面的球”问题.即“以球心为顶点”. 由“体积为 8 3 、 AB ? 6 、 BC ? 2 3 ”可得： O ? ABCD 的高 h? ? 2 . 故由“神级结论三”之&五 &的“小弟”可知：a 2 ? b2 2 ? 故： R? ? h ? 42? 2?2?? 6?2? 2 3 4??2? 4.2 故： S ? 4? R? ? 4? ? 4 ? ? 64? .【答案】 D【典例一百四十四】已知正方形 APP 1 2P 3 的边长为 2 ，点 B 、 C 分别为边 PP 1 2 、P 2P 3 的中 点，沿 AB 、 BC 、 CA 折叠成一个三棱锥 P ? ABC （使 P ，则 1、P 2 、P 3 重合于点 P ） 三棱锥 P ? ABC 的外接球体积为（ ）A． C．6? 4 6? 2B．6? 3D． 6?【解析】折叠成的新三棱锥 P ? ABC 其实就是“侧棱两两垂直的三棱锥” ，且“三条侧棱 长分别为 2 、 1 、 1 ” （自己稍微想象一下就 OK 了）. 由“神级结论三”之&五 & 可知： R ?1 2 a 2 ? b2 1 12 ? 12 6 2 h ? ? ? . ? 2? ? 4 4 4 4 24 4 ? 6? 3 故： V ? ? R ? ? ? ? ? ? 6? . 3 3 ? ? 2 ?【答案】 D3程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。６５
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