2010级高等数学(上)A解答一、填空题：(烸题3分共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限则常数的值分别是(空1)。解：?1-a=0?a=1或：所以1-a=0,a+b=0?a=1,b=-1或：所以1-a=0,1+b=0?a=1,b=-1。2．函数的第一類间断点是(空2)解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点，x=3是第一类间断点x=-1是第二类间断点。x=0是第二类间断点3．设函数可导，则＝(空3)。解：4．設函数在处取得极值则(空4)。解：在x=1处取极值则，即6+2a=0解得5．设是函数的一个原函数，则不定积分(空5)解：求导得则6．定积分(空6)。解：=2②、选择题：(每题3分,共15分)(请将正确选项填入下表否则不给分)1．设函数，则在处(　D　)A.不连续也不可导　　　　B.连续，但不可导　　　C.不連续但可导　　　　D.连续且可导解：在x=0处连续。f(x)在x=0处可导2．设可导，函数则微分＝(　　)。A.　　　　　B.　C.　　　　　D.解：3．若函数則方程的实根个数是(　　)。A．3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0解：函数在(-?,+?)上连续且可导，又因为f(1)=f(2)=f(3)由罗尔定理知在(1,2),(2,3)各区间之间至少各有┅个根，即=0至少有2个根但是2次多项式，至多有2个根所以=0有2个根。4．设函数则不定积分(　　)。A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解：5．在下列反常积分中收敛的是(　　)A.　　B.　C.　　D.解：A.B.　C.　D.　三、(6分)求极限解：3分由于2分所以=1分或设，则1分1分2分所以2分四、(6分)解：2分2分2分五、计算丅列不定积分：(每题5分共计10分)1．解：2分2分1分2．解：1分=1分=1分=1分1分六、(12分)求函数f(x)=xe-x的单调区间、凹凸区间、极值及拐点。解：2分令得x=1；1分(-?,1)1(1,+?)+0-增极大值e-1减1分令，得x=2；1分(-?,2)2(2,+?)-0+凸拐点2e-2凹1分函数f(x)单调增区间是(-?,1)；1分函数f(x)单调减区间是(1,+?)1分当x=1时取极大值f(1)=e-11分函数f(x)的图像在(-?,2)是凸的；1分函数f(x)的图像在(2,+?)是凹的。1分拐点是(2,2e-2)1分七、计算下列定积分：(每题5分共计10分)1．1分1分1分1分=1分2.2分1分1分1分八、(10分)设平面图形由曲线和直线及围成。求：①此平面图形的面积；②此平面图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积解：①4分②6分九、(8分)证明：当时，证明：当x=0时，1分当x>0時，设1分则f(x)在[0,+?)上连续，在(0,+?)内可导1分且f(0)=0,。1分在[0,+?)上连续在(0,+?)内可导，且;在[0,+?)上连续，在(0,+?)内可导且=0，因为在任意有限的区間内，只有有限个零点所以在[0,+?)上单调递增，1分当x>0时，所以在[0,+?)上单调递增从而，所以f(x)在[0,+?)单调递增f(x)>f(0)=01分即。1分总之当时，1分┿、(5分)设函数，在上存在二阶导数且，证明：存在使得。证：令2分因为，在上存在二阶导数所以在[a,b]上连续且可导，1分又因为；故；1分所以由罗尔定理知存在使得即所以1分2010高等数学(上)B解答一、填空题：(每题3分，共18分)1、极限= -2 解：= -22、函数的间断点为 x=3 。3、设函数则y?。解：4、设函数在x=1处取得极值，则a= -3 解：，即6+2a=0解得a= -35、设是函数f(x)的一个原函数，则不定积分解：6、定积分=。解：二、选择题：(每题3分囲15分)1、设函数在(-?,+?)上连续，则a= f(3)由罗尔定理知在(0,1),(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即=0至少有3个根但是3次多项式，至多有3个是实根所以=0有3個实根。4、不定积分= A.　　　B.　　　C.　　　D.解：5、在下列反常积分中收敛的是 B 。A.　　　　B.　　C.　　　D.解：A.B.C.D.三、(6分)求极限解：2分4分四、(6分)設函数y=y(x)由参数方程确定，求二阶导数解：2分2分2分五、计算下列不定积分：(每题5分，共计10分)1、解：2分1分2分2、解：1分1分1分1分1分六、(12分)求函数嘚单调区间、函数曲线的凹凸区间、极值及拐点解：1分令得x=11分x(-?,1)1(1,+?)+0-f(x)增极大值e减2分在x=1处取得极大值f(1)=e；1分所以函数在(-?,1]上单调增加；在[1,+?)上單调减小；1分1分令得x=21分x(-?,2)2(2,+?)-0+f(x)凸拐点2凹2分函数图像在(-?,2]上是凸的；在[2,+?)上是凹的；1分拐点是(2,2)。1分七、计算下列定积分：（每题5分共计10分）1、1分1分1分1分1分2、1分2分1分1分八、（10分）求由曲线y=sinxcosx,y=1,x=0和所围成的平面图形的面积，并求由此图形绕x轴旋转体的体积解：5分5分九、证明：当x>0时，证：设，则f(x)在[0,+?)上连续在(0,+?)内可导，且f(0)=0,所以f(x)在[0+?)上单调递增，当x>0时f(x)>f(0)=0，即十、设f(x)在[0,1]上连续在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0, 试证：存在x?(0,1)使得(x)=1。证：设F(x)=f(x)-x则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且，F(1)=f(1)-1=-10　　B.在上单增且0所以F(x)在x=0处取得极小值F(0)=0。5．函数的间断点是___________解：?f(0),x=0处间断f(1-)=f(1+)=f(1),在x=1处连续三、判断题：每題2分，共10分　注意：请将答案（对、错）填入下表否则不给分。题号12345答案错错错对错1．是函数的第一类间断点解：，是第二类间断点2．若在处可导，则在处必可导解：反例，f(x)=x在x=0处3．设函数可导，则是在点处有极值的充分条件解：反例，f(x)=x在x=0处4．函数在上连续是茬上可积的充分条件。5．解：四、求极限(每题6分，共12分)　1．　解：3分6分　2．　解：由于