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二次函数详解
一般地，把形如y=ax?+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。是图形。对称轴为直线，顶点坐标，交点式为（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是和。& & 注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。二次函数&I.定义与定义表达式&一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：&y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）&则称y为x的二次函数。&二次函数表达式的右边通常为二次三项式。&II.二次函数的三种表达式&一般式：y=ax?;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）&顶点式：y=a(x-h)?;+k [抛物线的顶点P（h，k）]&交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]&注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:&h=-b/2a k=(4ac-b?;)/4a x1,x2=(-b±√b?;-4ac)/2a&III.二次函数的图象&在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，&可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。&IV.抛物线的性质&1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线&x = -b/2a。&对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。&特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）&2.抛物线有一个顶点P，坐标为&P [ -b/2a ，(4ac-b?;)/4a ]。&当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b?-4ac=0时，P在x轴上。&3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。&当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。&|a|越大，则抛物线的开口越小。&4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。&当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；&当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。&5.常数项c决定抛物线与y轴交点。&抛物线与y轴交于（0，c）&6.抛物线与x轴交点个数&Δ= b?-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。&Δ= b?-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。&Δ= b?-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。&V.二次函数与一元二次方程&特别地，二次函数（以下称函数）y=ax?;+bx+c，&当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），&即ax?;+bx+c=0&此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。&函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
下列函数中属于二次函数的是()
A.y=x（x+1）
C.y=2x2-2（x2+1）
D.y=\sqrt{3x^{2}+1}
整理成一般形式后，利用二次函数的定义即可解答．解：A、y=x2+x，是二次函数；B、y=\frac{1&}{x^{2}}，不是二次函数；C、y=-2，不是二次函数；D、不是整式，不是二次函数；故选A．
二次函数的图象是()．
解：∵所有二次函数的图象都是一条抛物线，∴二次函数的图象是一条抛物线．故答案为：一条抛物线． &&
根据二次函数图象的性质直接得出答案即可．
测试题精选
二次函数的图象的顶点坐标是()。
若将二次函数配方为的形式，则()
二次函数的图象的顶点坐标为()。
相关知识点一次函数和二次函数_百度百科
一次函数和二次函数
中学课本中较常研究的两种非周期性函数，分别为直线型和抛物线型。
解析式　y=kx+b(k≠0，x≠R）
k&0：b&0时,过一,二,三象限.　b&0时,过一,三,四象限.
k&0 ：.b&0时,一,二,四象限　b&0时,二,三,四象限
.　k=tanα=△y/△x
奇偶性　当b≠0时 非奇非偶;　当b=0时 奇函数
函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比。
解析式　 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)
定点式：y=a（x-m）2+n（a≠0），其中（m、n）为抛物线的顶点
两根式：y=a（x-x1）（x-x2），对称轴：x=（x1+x2）/2
图象　a&0　a&0
开口向上　开口向下
x离对称轴越远,y值越大　x离对称轴越远,y值越小
值域　（ (4ac-b^2)/4a, +∞）　（-∞, (4ac-b^2)/4a）
单调性　(-∞,-b/2a]上减　(-∞,-b/2a]上增、
[-b/2a,+∞)上增　[-b/2a,+∞)上减
奇偶性　当b≠0时 非奇非偶; 当b=0时 偶函数
周期性　非周期函数
最值 a&0时，函数有最小值是 (4ac-b^2)/4a；a&0时有最大值是 (4ac-b^2)/4a
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二次函数讲义 详细
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你可能喜欢y=ax^2+bx+c在数学中，二次函数（quadratic function）表示形为y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的多项式。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的。 二次函数表达式ax2 + bx + c的定义是一个二次多项式，因为x的最高次数是2。 如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的。
二次函数 - 定义与定义表达式
　二次函数图像一般地，x和y之间存在如下关系： 　　一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。 　　：y=a(x-h)^2+k 　　（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 　　重要知识：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&0时，开口方向向上，a&0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 　　二次函数表达式的右边通常为二次。 　　x是自变量，y是x的二次函数 　　x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函数 - 二次函数的图像
&不同的二次函数图像&&&&& &&&&& 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?的图像， 　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
二次函数 - 抛物线的性质
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。 　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b?)/4a ) 　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b?-4ac=0时，P在x轴上。 　　3.a决定抛物线的开口方向和大小。 　　当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。 　　|a|越大，则抛物线的开口越小。 　　4.b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a&0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a&0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。 　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 　　抛物线与y轴交于（0，c） 　　6.抛物线与x轴交点个数 　　Δ= b?-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　Δ= b?-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 　　Δ= b?-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b?－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 　　当a&0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a；在{x|x&-b/2a}上是减函数，在{x|x&-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b?/4a}相反不变 ，a&0时，函数在x= -b/2a处取得最大值f(-b/2a)=4ac-b?/4a；在{x|x&-b/2a}上是增函数，在{x|x&-b/2a}上是减函数；抛物线开口方向向下。　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0) 　　7.定义域：R 　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b?)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 　　奇偶性：偶函数 　　周期性：无 　　解析式： 　　①y=ax?+bx+c[一般式] 　　⑴a≠0 　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； 　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b?)/4a）； 　　⑷Δ=b?-4ac, 　　Δ＞0，图象与x轴交于两点： 　　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 　　Δ＝0，图象与x轴交于一点： 　　（-b/2a，0）； 　　Δ＜0，图象与x轴无交点； 　　②y=a(x-h)?+t[配方式、顶点式] 　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b?)/4a）； 　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式、两点式] 　　a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点的横坐标，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
二次函数 - 二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax?+bx+c， 　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 　　即ax?+bx+c=0 　　此时，与x轴有无交点即方程有无。 　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 　　1．二次函数y=ax?，y=a(x-h)?，y=a(x-h)? +k，y=ax?+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的及对称轴如下表： 　　解析式 　　y=ax? 　　y=ax?+K 　　y=a(x-h)? 　　y=a(x-h)?+k 　　y=ax?+bx+c 　　 　　顶点坐标 　　(0，0) 　　(0，K) 　　(h，0) 　　(h，k) 　　(-b/2a，sqrt[4ac-b?]/4a) 　　 　　对 称 轴 　　x=0 　　x=0 　　x=h 　　x=h 　　x=-b/2a 　　 　　当h&0时，y=a(x-h)?的图象可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到， 　　当h&0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k的图象； 　　当h&0,k&0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象； 　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象； 　　当h&0,k&0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象； 　　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)?+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 　　2．抛物线y=ax?+bx+c(a≠0)的图象：当a&0时，开口向上，当a&0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b?]/4a)． 　　3．抛物线y=ax?+bx+c(a≠0)，若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a&0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 　　4．抛物线y=ax?+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 　　(2)当△=b?-4ac&0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax?+bx+c=0 　　(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 　　当△=0．图象与x轴只有一个交点； 　　当△&0．图象与x轴没有交点．当a&0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y&0；当a&0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y&0． 　　5．抛物线y=ax?+bx+c的最值：如果a&0(a&0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b?)/4a． 　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 　　6．用待定系数法求二次函数的解析式 　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： 　　y=ax?+bx+c(a≠0)． 　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)?+k(a≠0)． 　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)． 　　7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
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保存二维码可印刷到宣传品二次函数问题_百度知道
二次函数问题
已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件：对称轴是x=1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15-a，则b的值是
写出具体过程
提问者采纳
对称轴是x=1, 则可以表达为y = a(x -1)² + d的形式，取x = 1, y = d = 15y = a(x-1)² + 15 = ax² - 2ax + a +15ax² - 2ax + a +15 = 0时，二根m, n有如下性质：m + n = -(-2a)/a = 2mn= (a+15)/a由题意m²+n² = (m+n)² - 2mn = 2² -2*(a+15)/a = 2- 30/a = 15-aa² - 13a -30 = 0(a-15)(a+2) = 0a = 15，此时b = -2a = -30或a = -2, 此时b = -2a = 4 谢谢恋上3月C 的评论，a=15时，最小值15，抛物线与x轴无交点，a = 15应舍去。
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