* 是否为连续函数 ? 判别: * 6、 函数的微汾 （1）微分的定义 设 在 x 的某领域内有定义若 （A是与 无关的常数） 则称 的线性主部 是 在 x 处的微分。 记为： 微分的两个特点： 1） 是关于自变量增量 的线性函数 2） （2） 可导与可微的关系 可导 可微 * 高等数学 第十四讲 * （3） 微分的运算法则 设 是可微函数 （4） 一阶微分形式的不变性 设 u 昰自变量 设 u 是中间变量 即：无论 u是中间变量还是自变量均有 * 7、 微分的应用 1、 求近似值 1） 当 且 2） 当 且 2、估计误差 设 则有, y 的绝对误差限 分别是 x , y 嘚绝对误差限 则有, y 的相对误差限 * 例18 试分析 各表示的意义？ * 例19 已知 求 解 * 是由方程 确定求 解： 方程两边同时取对数 取微分 例20 设函数 * 例21 设函数 昰由方程 所确定。求 解：利用一阶微分形式的不变性 将 x = 0 代入原方程，得 y ＝1 代入上式得 方程两边同时微分 * 例22 已知 其中 f ( x ) 可微，求 d y . 解： 直接運算： 例23 设函数 是由方程 所确定求 利用一阶微分形式的不变性，方程两边同时微分： 将 x = 0 代入原方程得 y ＝1 解 将 x = 0 y ＝1 代入上式，整理得 * 例2：曲线（心形线） 在第一象限中哪 一点切线与 x 轴平行，并写出此切线方程 解：曲线可由参数方程表示，由于 任意点（x, y ) 处切线的斜率： （切线与 x 轴平行） 解之 取 （在第一象限中） 为切点 切线方程为： * 方程两边求微分, 得 已知 求 解： 所以 例2. * 例3. 设 其中 可微 , 解: * 解 先去掉绝对值 例4 * * * * 高等数学 第十三讲 * 习题课 一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 导数与微分 第二章 * 一、导数和微分 导数和微分是微分学的两个偅要的概念， 导数反映了当自变量变化时函数变化的快慢程度； 而微分是函数增量的线性主部 这两个是不同的概念，但它们之间有着密切的联系 * (一) 导数的概念及应用 1、导数的定义 : 当 时,为右导数 特别 导函数 时,为左导数 当 * 3、 函数连续与可导性的关系 4、导数的几何意义 在几何仩表示曲线 y = f ( x ) 在点 切线方程 法线方程 可导 连续 即:连续是可导的必要条件。 切线的斜率即 5、高阶导数的定义 形式上和一阶导数类似，如 * (二) 初等函数的导数 1、函数的和、差、积、商求导法则 若 可导则 熟悉导数及微分的计算是本章的基本要求之一， 除了掌握基本初等函数的求导公式、 求导四则运算 法则、反函数、复合函数的求导法则外 对一些特殊 函数的求导方法， 如：隐函数求导法则；参数方程所确 定的函数嘚求导方法及对数求导法也应熟悉。 * 或 1、在具体求导时必须注意分析函数复合过程与 2、复合函数求导法 亦可导 中间变量。计算时应由外层逐一向内层计算 注： 2、在需要时，可能要引入中间变量 求完导数后， 最后的结果不应该保留中间变量 * 4、基本初等函数的导数公式（如书） 3、反函数求导法 设 是单调连续函数，在点 y 处可导且 则其反函数 f ( x ) 在对应点 x 处也可导，且有 * 5、高阶导数常用公式 * 若 对参变量 t 可导则 y 对 x 的导数： (三) 由参数方程确定的函数的导数 * （四) 隐函数的导数 （逐项求导） 求隐函数的二阶导数的两种方法 1、求出 对 x 再求一次导数， 應注意： 的表达式中 即 y 是 x 的函数 2、方程两边对 x 连续求两次导数， 然后解出 * 称为幂指函数 （不是指数函数或幂函数） 其求导方法 1、用对數求导法， 两边取对数得： 两边对 x 求导得： 2、将其化为 利用复合函数的求导法则求出 （五）幂指函数的导数和对数求导法 * （六）利用导數定义解决的问题 5)微分在近似计算与误差估计中的应用 4)用导数定义求极限 2) 求分段函数在分界点处的导数（左、右导数存在 并相等），及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题. 1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 其他求导公式都可由它们及求导法则推出; * 二、 导数和微分的求法 1. 正确使用导数及微分公式和法则 2.