(∫f(x)coskxdx)^2+(∫f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(x)dx)^2_百度知道
(∫f(x)coskxdx)^2+(∫f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(x)dx)^2
设f(x)在[a,b]上连续且非负证明对任意实数k，都有(∫f(x)coskxdx)^2+(∫f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(x)dx)^2三个都是(a,b)的定积分，
ξ1和ξ2不相等啊，一个是f (x)的中值，一个是f(x)2的中值，而且有反例，f(x)=x,a=0,b=1,(∫f(x)dx)^2等于1/4,而(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx=1/3 对右边用柯西不等式也可以得到(∫f(x)dx)^2≤(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx ， 我证得就是左右都小于(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx，但是不能比较左右的大小... 希望您进一步指点
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可以根据定义来做。将区间〔a，b〕分为等长的n个子区间。设 xi为第i个区间的中点。设 pi＝f（xi）coskxi，qi＝f（xi）sinkxi，ri＝f（xi）．如果我们能证明下式，两边平方和内配上子区间长度，取极限，则结论成立．（p1＋．．＋pn）＾2＋（q1＋．．．＋qn）＾2＜＝（r1＋．．．＋rn）＾2我们知道 pi＾2＋qi＾2 ＝ ri＾2，
ri ＞＝ 0两边展开得：左边为 pi＾2 对i求和2pipj 对i，j求和， i＜j．qi＾2 对i求和2qiqj 对i，j求和， i＜j．右边为 ri＾2 对i求和2rirj 对i，j求和， i＜j．显然： pi＾2 对i求和 ＋ qi＾2 对i求和 ＝ ri＾2 对i求和对剩下的，我们只需证明： 任给 i＜jpipj＋qiqj＜＝ rirj如果 ri或 rj为0，结论显然，否则，令 sinA＝ pi／ri，cosA＝qi／ri，sinB＝pj／rj，cosB＝qj／rj，则所求证不等式为：（sinAsinB＋cosAcosB）rirj＜＝rirj即cos（A－B）＜＝1 ，显然成立。于是原结论成立。
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谢谢，太厉害了
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大一学的，忘光了
答：先证明柯西—布尼亚科夫斯基不等式：{∫(a到b)φ(x)ψ(x)dx}^2&=∫(a到b)φ^2(x)dx*∫(a到b)ψ^2(x)dx证：∫(a到b)φ^2(x)dx*∫(a到b)ψ^2(x)dx-{∫(a到b)φ(x)ψ(x)dx}^2=1/2∫(a到b)φ^2(x)dx*∫(a到b)ψ^2(y)dy+1/2∫(a到b)ψ^2(y)dy*∫(a到b)φ^2(x)dx-∫(a到b)φ(x)ψ(x)dx*∫(a到b)φ(y)ψ(y)dy=1/2∫(a到b){∫(a到b)[φ(x)ψ(y)-ψ(x)φ(y)]dx}dy&=0所以本题不等式左边应用上式定理得：[∫(a到b)f(x)coskxdx]^2+[∫(a到b)f(x)sinkxdx]^2&=∫(a到b)f^2(x)dx*∫(a到b)(coskx)^2dx+∫(a到b)f^2(x)dx∫(a到b)(sinkx)^2dx=∫(a到b)f^2(x)dx*[∫(a到b)(coskx)^2dx+∫(a到b)(sinkx)^2dx]=∫(a到b)f^2(x)dx*[∫(a到b)[(coskx)^2+(sinkx)^2]dx]=∫(a到b)f^2(x)dx*∫(a到b)1dx=(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx
①因为f(x)在[a,b]上连续而且非负，所以由积分中值定理得：∫(a到b)f^2(x)dx=(b-a)f^2(ξ1)
其中a&=ξ1&=b所以①式=(b-a)^2f^2(ξ1)
②而本题原不等式右边用微分中值定理[∫(a到b)f(x)dx]^2=[(b-a)f(ξ2)]^2=(b-a)^2f^2(ξ2)
其中a&=ξ2&=b
③因为(x)=f(x)，所以②式中ξ1=③式中ξ2所以②=③=(b-a)^2f^2(ξ)
其中a&=ξ&=b即原不等式：(∫(a到b)f(x)coskxdx)^2+(∫(a到b)f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(a到b)(x)dx)^2成立。
(∫f(x)coskxdx)^2+(∫f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(x)dx)^2 悬赏分：150 | 离问题结束还有 17 天 8 小时 | 提问者：ttt78952
设f(x)在[a,b]上连续且非负证明对任意实数k，都有(∫f(x)coskxdx)^2+(∫f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(x)dx)^2三个都是(a,b)的定积分，问题补充： ξ1和ξ2不相等啊，一个是f (x)的中值，一个是f(x)2的中值，而且有反例，f(x)=x,a=0,b=1,(∫f(x)dx)^2等于1/4,而(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx=1/3 对右边用柯西不等式也可以得到(∫f(x)dx)^2≤(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx ， 我证得就是左右都小于(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx，但是不能比较左右的大小... 希望您进一步指点
输入内容已经达到长度限制还能输入 9999 字插入图片删除图片插入地图删除地图插入视频视频地图回答即可得2分经验值，回答被采纳可同步增加经验值和财富值参考资料：匿名回答提交回答 回答 共3条 大一学的，忘光了 回答者： 花落y葬 | 二级 |
答：先证明柯西—布尼亚科夫斯基不等式：{∫(a到b)φ(x)ψ(x)dx}^2&=∫(a到b)φ^2(x)dx*∫(a到b)ψ^2(x)dx证：∫(a到b)φ^2(x)dx*∫(a到b)ψ^2(x)dx-{∫(a到b)φ(x)ψ(x)dx}^2=1/2∫(a到b)φ^2(x)dx*∫(a到b)ψ^2(y)dy+1/2∫(a到b)ψ^2(y)dy*∫(a到b)φ^2(x)dx-∫(a到b)φ(x)ψ(x)dx*∫(a到b)φ(y)ψ(y)dy=1/2∫(a到b){∫(a到b)[φ(x)ψ(y)-ψ(x)φ(y)]dx}dy&=0所以本题不等式左边应用上式定理得：[∫(a到b)f(x)coskxdx]^2+[∫(a到b)f(x)sinkxdx]^2&=∫(a到b)f^2(x)dx*∫(a到b)(coskx)^2dx+∫(a到b)f^2(x)dx∫(a到b)(sinkx)^2dx=∫(a到b)f^2(x)dx*[∫(a到b)(coskx)^2dx+∫(a到b)(sinkx)^2dx]=∫(a到b)f^2(x)dx*[∫(a到b)[(coskx)^2+(sinkx)^2]dx]=∫(a到b)f^2(x)dx*∫(a到b)1dx=(b-a)∫(a到b)f^2(x)dx
①因为f(x)在[a,b]上连续而且非负，所以由积分中值定理得：∫(a到b)f^2(x)dx=(b-a)f^2(ξ1)
其中a&=ξ1&=b所以①式=(b-a)^2f^2(ξ1)
②而本题原不等式右边用微分中值定理[∫(a到b)f(x)dx]^2=[(b-a)f(ξ2)]^2=(b-a)^2f^2(ξ2)
其中a&=ξ2&=b
③因为(x)=f(x)，所以②式中ξ1=③式中ξ2所以②=③=(b-a)^2f^2(ξ)
其中a&=ξ&=b即原不等式：(∫(a到b)f(x)coskxdx)^2+(∫(a到b)f(x)sinkxdx)^2≤(∫f(a到b)(x)dx)^2成立。
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出门在外也不愁谁能帮忙求定积分1/(1-根号x)从2积到4,我先令t=根号x,x就=t的平方，接下来我就不会了，
谁能帮忙求定积分1/(1-根号x)从2积到4,我先令t=根号x,x就=t的平方，接下来我就不会了，
急！不好意思有些符号手机打不出来,所以用了文字
换元后注意换掉对应积分上下限，接下来要求定积分先求对应不定积分，用不定积分求出对应函数后（关于t的函数）代入换元后的积分上下限，就可以了，具体过程：原定积分用t换√x后，（t≥0）变成了∫1/（1-t）dt?（积分上下限对应换成2和√2）=∫2t/(1-t)dt=-∫-2t/(1-t)dt=-∫[(2-2t)+2]/(1-t)dt=-∫[2+2/(1-t)]dt=-2[t+∫dt/(1-t)]=-2[t-∫d(-t)/(1-t)]=-2[t-∫d(1-t)/(1-t)]=-2[t-ln|1-t|]∵换元后积分区间变为[√2,2],而t属于此区间时1-t都小于0，∴原定积分求不定积分后所得函数去绝对值后为-2[t-ln(t-1)]代入换元后的积分上下限2和√2，有-2{2-√2-[ln1-ln(√2-1)]}=-4+2√2+2ln(√2+1)≈0.5912
我的答案是-2[t+ln(t-1)]耶！为何最后第二部的ln1到最后没了啊！最后ln(2不是本来减1的吗，怎么加了啊
不好意思，出了点小错误，我把正确的过程重新写了一遍：换元后注意换掉对应积分，接下来要求先求对应，用不定积分求出对应函数后（关于t的函数）代入换元后的积分上下限，就可以了，具体过程：原定积分用t换√x后，（t≥0）变成了∫1/（1-t）dt?（积分上下限对应换成2和√2）=∫2t/(1-t)dt=-∫-2t/(1-t)dt=-∫[(2-2t)-2]/(1-t)dt=-∫[2-2/(1-t)]dt=-2[t-∫dt/(1-t)]=-2[t+∫d(-t)/(1-t)]=-2[t+∫d(1-t)/(1-t)]=-2[t+ln|1-t|]∵换元后积分区为[√2,2],而t属于此区间时1-t都小于0，∴原定积分求不定积分后所得函数去后为-2[t+ln(t-1)]代入换元后的积分上下限2和√2，有-2{2-√2+[ln1-ln(√2-1)]}=-4+2√2-2ln(√2+1)≈-2.934你的问题：∵ln1=0，∴ln1-ln(√2-1)=-ln(√2-1)=ln(√2-1)^(-1)（根据p㏒a(x)（对x取以a为底的）=㏒a(x^p)（对x的p次方取以a为底的对数）=ln1/(√2-1)=ln(√2+1)或者根据同底数对数相减，结果底数不变，真数相除（㏒a(x)-㏒a(y)=㏒a(x/y)）有ln1-ln(√2-1)=ln1/(√2-1)=ln(√2+1)检举
谢谢你！我知道了！呵呵
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导定积分上限1下限-1根号下1-x平方，别用几何意义求。。。。。。急。。_百度知道
定积分上限1下限-1根号下1-x平方，别用几何意义求。。。。。。急。。
求详细过程
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解析：如果不用几何意义求就用换元法！令x＝sint，则当x＝－1时，t＝－π/2，x＝1时，t＝π/2，所以原式＝∫(-π/2，π/2)costdsint＝∫(-π/2，π/2)cos²tdt＝1/2∫(-π/2，π/2)（1＋cos2t）dt＝1/2（t＋1/2sin2t）|(-π/2，π/2)＝π/4－(－π/4)＝π/2.
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令x = sinz，dx = cosz dz当x = - 1、z = - π/2当x = 1、z = π/2∫(- 1→1) √(1 - x^2) dx= ∫(- π/2→π/2) √(1 - (sinz)^2) * (cosz dz)= 2∫(0→π/2) |cosz| * cosz dz，由于偶函数，关于x = 0对称，变为原被积函数的两倍= 2(0→π/2) (cosz)^2 dz= 2∫(0→π/2) (1 + cos(2z))/2 dz= [z + (1/2)cos(2z)] |(0→π/2)= (π/2 + 0) - (0)= π/2
定积分的相关知识
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出门在外也不愁求x分之x的平方-2x-3的定积分，2到1_百度知道
求x分之x的平方-2x-3的定积分，2到1
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1)(x^2-2x-3)&#47,2-2x-3lnx),xdx=∫(2,2)=1&#47,2-4-3ln2)+(1&#47,(2,1)(x-2-3&#47,x)dx=(x^2&#47,1)=-(2^2&#47,2-2)=-(-2-3ln2)+(-3&#47,2+3ln2有不懂欢迎追问,∫(2,
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