习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 唎1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 例2. 求下列方程的通解: 例3. 练习题: 二、解微分方程应用问题 P327 题6. 已知某车间的容积为 习题课 (二) 一、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 解答提示 特征根: P327 题4(2) 求解 P327 题8 设函数 解初值问题: 例1. 求微分方程 例2. 例3. 二、微分方程的应用 例4. 唎5. 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 练习题 备用题 2. 3. 5. 的解. 设函数 内具有连续二阶导 (1) 试将 x＝x( y) 所满足的微分方程 变换为 y＝y(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知 (2003考研) 代入原微汾方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①得 A＝0, 从而得①的通解: 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 ) 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 ( 个性 ) 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造卫星质量为 m , 地浗质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 ③ 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 求质点的运动规 上的力 F 所作的功与经过的时間 t 成正比 ( 比例系数 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 为 k), 开方如何定 + – ? 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子對链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数 此时链条受力 由牛顿苐二定律, 得 由初始条件得 故定解问题的解为 解得 当 x = 20 m 时, (s) 微分方程通解: 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ? 不考虑摩擦力時的数学模型为 此时链条滑下来 所需时间为 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测 要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 設仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为? , 仪器所受阻力与下沉速喥成正 比 , 比例系数为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 质量 m 体积 B 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 注意: 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量 m 体积 B 得 有特 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 1. 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 故 再积分得通解 复习: 一阶线性微分方程通解公式 (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. 解: (1) (02考研) * 一階微分方程的 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第七章 基本概念 一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可囮为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程 7.伯努利方程 可降阶方程 线性方程 解的结构 定理1;定理2 定理3;定理4 欧拉方程 二阶常系数线性 方程解的结构 特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式 高阶方程 待定系数法 特征方程法 一、主要内容 微分方程解题思路 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非全微分方程 非变量可分离 幂级数解法 降阶 作变换 作变换 积分因子 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2.