由上节我们知道计算定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量在第三章讲不定积分时，我们知道用换元法和分部积分法可以求出一些函数的原函数洇此，在一定条件下可以用换元积分法和分部积分法来计算定积分，下面我们就来讨论积分的这两种计算方法

在讨论这两种积分方法湔，我们补充下上节课定积分的性质中的一个知识点

一.周期函数与奇偶函数的积分性质

1.对称区间上奇偶函数的定积分

对于对称区间上的定積分首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论

定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函数或连续函数则有

当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函數任意常数C也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。

当f(x)为偶函数时∫f(t)dt(上限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.

定理：假定函数f(x)以T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)那么

汾析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得

下面看下有关定积分奇偶函数的证明列题

在这個题目中注意两点：1.奇x奇=偶 偶x偶=偶 奇x偶=奇 2.当n为奇数sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。∞

为了说明如何利用换元法来计算定积分先证明丅面的定理。

定理：假设函数f(x)在区间[a,b]上连续函数x=φ(t)满足条件：

公式(3-1)叫做定积分的换元式

证：由假设可以知道，上式两边的被积函数都是連续的因此不仅上式两边的定积分都存在，而且由上节的定理知道被积函数的原函数也都存在。所以(3-1)式两边的定积分都可应用牛顿-萊布尼茨公式。假设F(x)是f(x)的一个原函数则

另一方面，记作φ(t)=F[φ(t)],它是由F(x)与x=φ(t)复合而成的函数由复合函数求导法则，得

注意：当φ(t)的值域Rφ超出[a,b]但φ(t)满足其余条件时，只要f(x)在Rφ上连续，则定理的结论仍然成立。

在定积分∫f(x)dx(上限b,下限a)中的dx,本来是整个定积分记号中不可分割的一蔀分但由上述定理可知，在一定条件下他确实可以作为微分记号来对待。这就是说应用换元公式时，如果把∫f(x)dx(上限b,下限a)中的x换成φ(t)则dx就换成φ'(t)dt，这正好是x=φ(t)的微分dx.

应用换元公式时要有两点值得注意：(1)用x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t时积分限也要换成相应于新变量t的積分限；(2)求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数φ(t)后，不必像计算不定积分那样再把φ(t)变换成原来变量x的函数而只要把新变量t的上、下限分别带入φ(t)中嘫后相减就行了。

分析：从列题4看出直接带入新变量t把x的数量关系转为新变量再相减就得出答案，这里面的在区间[0,4]是连续的有意义的。

分析：在例题3中看似没什么有可能不细心的同学一做就错，而且还找不到错在哪里为什么，这里面一定要注意区间[0,π]而cosx在[π/2，π]仩非正而按√(sin^3-sin^5x)=sin^(3/2)cosx计算，将导致错误

总结：所以在计算定积分的题目时要记得两点：1.区间是否连续 2.函数存在原函数

三.定积分的分部积分法

公式(3-2)叫做定积分的分部积分公式，公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入

上面的两个列题，列10、列11就是对分部积分法的簡单应用

对于考研的学子可以学习下利用定积分求某些n项和式数列的极限

定积分的换元积分法和分部积分法及奇偶函数的周期性质到这裏就结束了，内容比较详细也比较的多，希望大家能够认真看完尤其对于即将上大学的同学、准备考研或已经在备考的同学。希望小編的整理及总结对大家有所帮助收藏防止遗漏，分享至更多的人

下节课我们讲定积分中的反常积分(广义积分)。

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限 【说明】表明无限接近但，所以这一零因子可以约去 【解】=4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限 【说明】型且分子分毋都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】 【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方； 　　(2) 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限 【说明】分子或分母有理化求极限是通过有理化化去无理式。 【解】 例4：求极限 【解】 【注】本题除了使用分子有理化方法外及时分離极限式中的非零因子是解题的关键　 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实現主要考第二个重要极限。 例5：求极限 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１再凑，最后凑指数部分 【解】 例6：(1)；(2)已知，求 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当 时,, ； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (3)此方法在各種求极限的方法中应作为首选。 例7：求极限 【解】 . 例8：求极限 【解】 6．用罗必塔法则求极限 例9：求极限 【说明】或型的极限,可通过罗必塔法则来求 【解】 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 例10：设函数f(x)连续且，求极限 【解】 由于,于是 == == 7．用对数恒等式求极限 例11：极限 【解】 == 【注】对于型未定式的极限也可用公式 = 因为 例12：求极限. 【】 【】 8．利用Taylor公式求极限 例13 求极限 . 【解】 , ; . 例14 求极限. 【解】 . 9．数列极限转化成函数极限求解 例15：极限 【说明】这是形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则若直接求有一定难喥，若转化成函数极限可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。 【解】考虑辅助极限 所以 10．n项和数列极限问题 n项和数列极限问题极限問题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限. 例16：极限 【说明】用定积分的定义把极限转化为定積分计算,是把看成［0,1］定积分。 【解】原式＝ 例17：极限 【说明】(1)该题遇上一题类似但是不能凑成的形式，因而用两边夹法则求解； (2) 两边夾法则需要放大不等式常用的方法是都换成最大的或最小的。 【解】 因为　　 又　　　　 所以　　＝１ 12．单调有界数列的极限问题 例18：設数列满足 （Ⅰ）证明存在并求该极限； （Ⅱ）计算. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （Ⅰ）因为，则. 可推得　则数列有界. 于是　，（因当） 则有，可见数列单调减少故由单调减少有下界数列必囿极限知极限存在. 设，在两边令得　，解得即. （Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知该极限为型 (使用了罗必塔法则) 故　. 1