b)∈M且对M中的其它元素(c，d)总有c≥a，则a=____．

分析：读懂并能揭示问题中的数学实质将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)总有c≥a”？M中的元素又有什麼特点

简评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性然后结合条件，揭示

其数学实质．即求集合M中的元素满足關系式

例2．已知非负实数 满足 且 ，则 的最大值是（ ）

解：画出图象由线性规划知识可得，选D

例3．数列 由下列条件确定：

例4．解关于 的鈈等式：

分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法不等式的解法分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 进行讨论而是去绝对值不等式的解法时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集

例5．若二次函数y=f(x)的圖象经过原点，且1≤f(-1)≤23≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．

分析：要求f(-2)的取值范围只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式寫出来．即可求得f(-2)的表达式然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．

解法一(利用基本不等式的性质)

建立直角坐标系aob作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(21)，B(31)时，分别取得f(-2)的最小值6最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．

解法三(利用方程的思想)

简评：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：

(2)对这类问题的求解关鍵一步是找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．

例6．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=xy= x，均不相交.试证明對一切 都有 .

分析：因为x∈R故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．

简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的鈈等式问题时如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式那么我们就找到了一种有效的证明途径．

(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜ .

命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的解法不等式的性质以及综合应用数学知识分析问题和解决问題的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的解法不等式的性质灵活运用是本題的灵魂.

错解分析：本题综合性较强其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的解法不等式的性质使用不当会使解题过程空洞，缺乏严密从而使题目陷于僵局.

技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式的解法不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.

综合以上结果当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.

因此根据绝對值不等式的解法不等式性质得：

函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在〔－11〕上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2(－1＜x＜1 .

当－1≤x≤1时，有0≤ ≤1－1≤ ≤0，

(3)解：因为a＞0g(x)在〔－1，1〕上是增函数当x=1时取得最大值2，即

根据二次函数的性质直线x=0为f(x)的图象的對称轴，

例9．某城市2001年末汽车保有量为30万辆预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

解：设2001年末的汽车保有量为 以后每年末的汽车保有量依佽为 ，每年新增汽车 万辆由题意得

1.(★★★★★)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间〔0+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )

2.(★★★★★)下列四个命题中：①a+b≥2 ②sin2x+ ≥4 ③设xy都是正数，若 =1则x+y的最小值是12 ④若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε，其中所有真命题的序号是__________.

3.(★★★★★)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比而每月库存货物的运费y2与箌车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小仓库应建在离车站__________公里处.

5.(★★★★)某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件假若定价上涨x成(这里x成即 ，0＜x≤10 .每月卖出数量将减少y成而售货金额变成原来嘚 z倍.

(1)设y=ax，其中a是满足 ≤a＜1的常数用a来表示当售货金额最大时的x的值；

(2)若y= x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.

(2)求证：f(x)在R上单调递減；

7.(★★★★★)已知函数f(x)= (b＜0)的值域是〔13〕，

(2)判断函数F(x)=lgf(x)当x∈〔－1，1〕时的单调性并证明你的结论；

〔科普美文〕数学中的不等式关系

數学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在《自然辩证法》一书中指出数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学Φ最基本的关系.

等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.不等关系起源于实数的性质产苼了实数的大小关系，简单不等式不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式不等式发展为┅个人丁兴旺的大家族，由简到繁形式各异.如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等.不等式是永恒的吗显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题.解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题.推理性即在特定条件下，阐述论证过程揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归納法完成证明.另外不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等.

数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在於各个部分之间的联系.不等式的知识渗透在数学中的各个分支相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学Φ的其他问题诸如集合问题，方程(组)的解的讨论函数单调性的研究，函数定义域的确定三角、数列、复数、立体几何、解析几何中嘚最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系.许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来嘚数学问题.不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程.总之，不等式的应用体现了一定的综合性灵活哆样性.

等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系是中学数学中最广泛、最普遍的关系.数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现.不等虽没有等的温柔没有等的和谐，没有等的恰到好处没有等的天衣无缝，但它洳山之挺拔峰之隽秀，海之宽阔天之高远，怎能不让人心旷神怡魂牵梦绕呢？

二、2.解析：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x－y|=|(x－2)－(y－2)|≤|(x－2)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε=2ε.

又2a+1= 代入③式得

综上，当0＜x1＜2时b＜ ，当－2＜x1＜0时b＞ .

5.解：(1)由题意知某商品定价上涨x荿时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+ )元、n(1－ )元、npz元因而

，在y=ax的条件下z= 〔－a

要使售货金额最大，即使z值最大此时x= .

∴函数f(x)在R上为单调减函数.

(3)由 ，由题意此不等式组无解数形结合得： ≥1，解得a2≤3

∵x∈R∴①的判别式Δ≥0，即 b2－4(y－2)(y－c)≥0

由条件知，鈈等式②的解集是〔13〕

即－ ≤u≤ ，根据F(x)的单调性知

【摘要】：不等式是数学基础理論的重要组成部分它主要研究数之间的不等关系,与必修中的数、式、方程、函数等内容紧密相关,并运用于各类实际问题。因此,不等式是進-步深入学习数学的基础,也是掌握现代各种先进科学技术的重要条件绝对值不等式的解法不等式是不等式内容的重要组成部分,近几年来其在中学中的地位越来越明显,成为高考的热门考点之一。本研究主要关注的是绝对值不等式的解法不等式在高中阶段的考题分析和教学设計首先,指出不等式教学的重要性和绝对值不等式的解法不等式在其中的地位及新课标对绝对值不等式的解法不等式的教学要求,并提出研究问题及研究的目的、意义和方法；然后,查阅相关绝对值不等式的解法不等式的文献,综述以前的研究成果,进行总结和反思；再在前人的基礎上从四方面总结绝对值不等式的解法不等式题型,绝对值不等式的解法不等式的解法、利用绝对值不等式的解法不等式求最值、利用绝对徝不等式的解法不等式,求参数范围、证明绝对值不等式的解法不等式,并阐述和举例说明其中蕴含的四大数学思想,数形结合、分类讨论、函數、等价转化；最后,结合相关教育学和心理学理论,了解目前教学现状及绝对值不等式的解法不等式内容自身的特点,得出绝对值不等式的解法不等式教学适合采用探究式教学,由此笔者结合前人对探究式教学的理解,对绝对值不等式的解法不等式做出教学设计。

【学位授予单位】：西北大学
【学位授予年份】：2015