微分方程基础知识的复习 一.微分方程中的基本概念 二.线性方程的解的结构 三.一阶线性常微分方程总是可以求出 一般解 四.二阶常系数线性齐次常微分方程总 是可以求出一般解 一.微分方程中的基本概念 1. 微分方程及其阶 2. 常微分方程与偏 微分方程 3. 线性微分方程与 非线性微分方程 4.齐次微分方程与非齐次微分方程 5.常系數微分方程与变系数微分方程 6.微分方程的解与通解 二.线性方程的解的结构 设有二阶线性齐次常微分方程 （5） 定理1 定理2， 定理3 定理4， 三.┅阶线性常微分方程总是可 以求出一般解 四.二阶常系数线性齐次常微分 方程总是可以求出一般解 例 END 1.微分方程及其阶 微分方程是表示未知函數、未知函数的导数与自变量之间关系的方程 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数。 2.常微分方程与偏微分方程 常：未知函数的自变量只有一个的方程 如: 偏：未知函数的自变量有两个或两个以上的方程，物理上常称为数学物理方程 如: 3.线性微分方程与非线性 微分方程 线性：未知函数及其各阶导数在方程中都是一次 如: （1），（2） 非线性：含有未知函数或其各阶导数的二次以上的项或彼此交叉乘积的项， 如: （3） 4.齐次微分方程与非齐次 微分方程 齐次：方程中不含自由项（不含未知函数及其导数的项） 如: （1），（3） 非齐次：方程中含有自甴项 如: （2）， 5.常系数微分方程与变系数 微分方程 常系数：未知函数及其各阶导数的系数为常数（与自变量无关） 如: （4） 变系数：未知函数及其各阶导数项的系数与自变量有关， 如:（1）（3） 6.微分方程的解与通解 能够找出一个函数，把这个函数代入微分方程能使该微分方程成为恒等式这个函数称为微分方程的解。 如果微分方程的解中含有任意常数而且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这个解就稱为微分方程的通解（或一般解） 定理1 如果函数y1与y2是方程（5）的两个解，则 也是方程（5）的解 定理2 如果函数y1与y2是方程（5）的两个线性無关解，则 是方程（5）的通解 定理3 设是y*二阶非齐次线性方程 （6） 的一个特解，Y是与（6）对应的齐次方程（5）的通解则 是二阶非齐次线性微分方程（6）的通解。 定理4 如果已知齐次方程（5）的通解为 可以用常数变易法求得非齐次线性微分方程（6）的通解 * * * *