由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察

。如果所研究的关联性是

的，那么称这个问题为线性问题。历史上

的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的

理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。

线性代数有三个基本计算单元：

(组)，矩阵，行列式，研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与

和线性变换，构建向量空间和欧式空间。

的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是

的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由

发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的

为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。

1750 年，瑞士数学家

(G.Cramer,) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的

每一项符号的方法进行了系统化，利用

概念指出了如何判断一个

总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解

，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。

在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,) 。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为

科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的

的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，

在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。

继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家

。 1815 年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的

定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式

的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。

19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到

的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个 次和一个 次的

中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的

这一结果，但没有给出证明。

之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家

”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的

公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式

理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。

是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于

而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

(A.Cayley,) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的

提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究

下的不变量相结合，首先引进

以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，

）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，

大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。

类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施(A.Clebsch,) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了

的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入

的概念并给出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小

等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了

化为标准型的问题。 1892 年，

的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、

论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。

线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术 方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的

行变换从而消去未知量的方法，即

。在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由

开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。

在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为

不久也发表了这个法则。 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了 元

19 世纪，英国数学家

(C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广

和非增广矩阵的概念，后者证明了 个未知数 个方程的方程组相容的

相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在

P上的 n元二次齐次多项式称为数域 P上的n元二次型。二次型是我们

教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从 18 世纪开始的，它起源于对

的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的

变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 世纪引进的。

在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被

重新发现和证明。 1801 年，

在《算术研究》中引进了二次型的

、负定、半正定和半负定等术语。

的进一步研究涉及二次型或

的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，

组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的

在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在

的任何变换下不变性。后来，他又证明了 个变数的两个二次型能用同一个

1851 年，西尔维斯特在研究

的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的

因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。

对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个

也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到

求根问题是方程理论的一个中心课题。 16 世纪，数学家们解决了三、

的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。

到了 18 世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了

的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼 (Ruffini,) 也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的

那里取得了很大进展。阿贝尔 (N.K.Abel,) 只活了 27 岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。 1824 年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般

不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊

可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有

解，是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。

伽罗瓦 (E.Galois,) 仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的

是置换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是

的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝， 1832 年 5 月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅 21 岁。

的概念和结论是最终产生

的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是

(A.Kayley,) 关于有限抽象群的研究工作。另外，

和其他类型的无限群， 19 世纪 70 年代，李 (M.S.Lie,) 开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。

(W.vondyck,) 的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到 19 世纪 80 年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。

20 世纪 80 年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、

及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、

、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、

等方面，都有重要作用。