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二年级奥林匹克数学 找规律法习题
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奥数讲座(2年级-下)(15讲)
二年级奥数讲座（二）目录 第一讲 机智与顿悟 第二讲 数数与计数 第三讲 速算与巧算 第四讲 数与形相映 第五讲 一笔画问题 第六讲 七座桥问题 第七讲 数字游戏问题（一） 第八讲 数字游戏问题（二） 第九讲 整数的分拆 第十讲 枚举法 第十一讲 找规律法 第十二讲 逆序推理法 第十三讲 画图显示法 第十四讲 等量代换法 第十五讲 等式加减法第
一讲 机智与顿悟数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟． 例 1 在美国把 5 月 2 日写成 5/2，而在英国把 5 月 2 日写成 2/5．问在一年之中， 在两国的写法中，符号相同的有多少天？ 解：一年中两国符号相同的日子共有 12 天． 它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7 二月二日 2/2 八月八日 8/8 三月三日 3/3 九月九日 9/9 四月四日 4/4 十月十日 10/10 五月五日 5/5 十一月十一日 11/11 六月六日 6/6 十二月十二日 12/12注意由差异应当想到统一， 有差异就必须有统一， 仔细想一想这道题就会有所领悟． 例 2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口 人？ 解：全家共有 5 口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹．如果你列出算式： 1 个妈妈+3 个男孩+3 个妹妹=7 口人那就错了． 为什么呢？请你想一想． 例 3 小明给了小刚 2 支铅笔， 他们俩的铅笔数就一样多了， 问小明比小刚多几支铅 笔？ 解：小明比小刚多 4 支铅笔． 注意，可不是多 2 支；如果只多 2 支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多 2 支，不会一样多了． 例 4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票 的人数是买票的人数的 2 倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？ 解： 最少 1 人． 因为售票员和司机是永远不必买票的， 这是题目的“隐含条件”． 有 时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗． 例 5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如 2+3+4 比 2×3×4 小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这几个数相加的和大还是相乘的积 大？ 解：和大．注意：“0”是个很有特点的数． ①0 加到任何数上仍等于这个数本身； ②0 乘以任何数时积都等于 0； 把它们写出来就是： 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 0×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0 所以，应当重视特例． 例 6 两个数的和比其中一个数大 17，比另一个数大 15，你知道这两个数都是几？ 你由此想到一般关系式吗？ 解：这两个数就是 17 和 15． 因为它们的和比 15 大 17，又比 17 大 15． 由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．此题可能引起你如下联想： 和-15=17， 那么和=15+17． 一般和=一个数+另一个加数， 或写成：和-一个加数=另一个加数， 或写成：被减数-减数=差， 也可写成：被减数-差=减数． 以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了． 学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通． 例 7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买 的数学本的本数是小明买的作文本的 2 倍． 又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价 钱的 2 倍，请问他俩谁用的钱多？ 解：他俩花的钱一样多． 可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的 2 倍，所以把买作文本的钱用来买数学 本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的 2 倍，这刚好与题意相符．可见两人花的 钱一样多． 结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证 明”，这是同学们现在就可以知道的． 例 8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三 天下雨了，你说再过 36 小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？ 解：不会出太阳．因为从中午起再过 36 个小时正好是半夜．而阴雨天和夜里是不 会出太阳的． 注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”？“问 什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你 走路没有目标， 结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当 思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提 高你的解题效率． 例 9 一位画家想订做一个像框， 用来装进他的立体画． 他画了一张像框的尺寸图拿 给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求 一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）．解：不管多长的材料，像框也无法做成． 从每一部分来说， 这个图看来是合理的， 但从整体上看， 这个图是“荒谬的”、 “失 调的”．用一句普通的话说，就是“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点 不对劲的感觉是创造性的起因．习题一1．如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人 数的一半．老师很生气．你知道这天共来了多少学生吗？ 3．小林和小蓉两人口袋里各有 10 元钱．两人去书店买书．买完书后发现，小林花 去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？ 4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添 水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？ 5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺 4 角 2 分钱．若用他俩的钱 合买这本书，钱还是不够．请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？ 6．一个骑自行车的人以每小时 10 公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同 时，另一个人步行，以每小时 5 公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后 他们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？ 7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1 角钱 1 斤．”买葱的说：“我要 都买了．不过要切开称．从中间切断，葱叶那段每斤 2 分，葱白那部分每斤 8 分．你卖不卖？”卖葱的一想：“8 分+2 分就是 1 角”．他就同意全部卖了．但是卖后一算账， 发现赔了不少钱．小朋友，你知道为什么吗？ 8． 一天鲍勃用赛车送海伦回家． 汽车在快车道上急驶． 鲍勃看到前面有辆大卡车． 灵 机一动，突然向海伦提出了一个巧妙的问题．鲍勃说：“海伦，你看！前面那辆大卡车 开得多快！但是我们可以超过它．假定现在我们在它后面正好是 1500 米，它以每分钟 1000 米的速度前进，而我用每分钟 1100 米的速度追赶它，我们这样一直开下去，到时 候肯定会从后面撞上它．但是，海伦，请你告诉我，在相撞前一分钟，我们与它相距多 少米？”聪明的海伦略加思考立刻回答了鲍勃的问题．小朋友，你也能回答吗？ 9．小明家附近有个梯形公园，公园中有 4 棵树排成了一行，如图所示．小明每天 放学回家都要到公园里去玩一会儿．有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不 能把公园分成大小和形状都相同的 4 块，而且每一块上保留一棵树？”回到家以后，他 又和爸爸妈妈一块儿讨论，终于像小明想的那样分好了，小明非常高兴．小朋友，你也 回家与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？10．小莉在少年宫学画油画．一天，他找到了一块中间有个圆孔的纸板．他想把这 块板分成两块，重新组合成一块调色板，如下图，小朋友看该怎么切才好呢？ 注意： 回顾由第 9 题到第 10 题的解题思路， 这里有一个克服“思维定势”的问题． 在 做第 9 题时，你可能费了很大劲，把大梯形这样划分，那样划分，试来试去，最终得到 了满意的结果．做完了第 9 题后这种思考问题的方式方法就可能深深地在你的头脑中扎根了． 当你 着手解第 10 题时，你可能还是沿着原来的思路，按原来的思维方式处理面临的新问题， 这种情况心理学上就叫做“思维定势”． 思维定势不利于创造性的发挥，从这个意义上讲，有人说学习的最大障碍是头脑中 已有的东西，是有一定道理的，你在做第 10 题时，对此大概也有体会了吧！今后要以 此为训．对本讲其它各题，在你做完以后也希望你做一些回顾和总结，以便发现些更有价值 的东西，使自己变得更聪明起来．习题一解答1．解：一共只有 5 只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁．2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是老师，所以说学生占教室 里全体人数的一半． 3．解：他们两人此时一共还有 10 元．如下图所示．4．解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后 来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了． 5．解：这本书的价钱就是 4 角 2 分钱．小黄有 4 角 1 分钱（所以买书还差 1 分）， 小兰 1 分钱都没有，所以他若买这本书，还差 4 角 2 分钱；小兰若是有 1 分钱的话，他 俩的钱合起来也就够买这本书了． 6．解：相遇后，两人就在一处了，此时二人离城自然一样远． 7．解：按照买葱人的说法，葱叶那段每斤 2 分，葱白那段每斤 8 分，合起来确是 1 角．但是这样合起来后是 2 斤卖 1 角，不再是一斤 1 角钱，所以卖葱的人赔了钱． 8．解：相撞前一分钟赛车落后卡车 100 米． 海伦思考的窍门是倒着想．鲍勃的赛车比卡车每分钟快 100 米（即 1100 米-1000 米=100 米），所以碰车前的 1 分钟它们相距 100 米． 9．解：划分方法如右图所示．每一块都是个小梯形，四个小梯形大小相等，形状相同． 小梯形和大梯形之间是大小不等、形状相似． 10．解：方法不止一种． ①从中切下一条，倒换个位置放进去．（见图）②在需要开孔的位上开一个小圆孔，把切下的部分填到中间的孔中去．（见图）第二讲 数数与计数从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律． 例 1 数一数，下面图形中有多少个点？解：方法 1：从上到下一行一行地数，见下图．点的总数是： 5+5+5+5=5×4． 方法 2：从左至右一列一列地数，见下图．点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．因为不论人们怎样数， 点数的多少都是一定的， 不会因为数数的方法不同而变化． 所 以应有下列等式成立： 5×4=4×5 从这个等式中，我们不难发现这样的事实： 两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变． 这就是乘法交换律． 正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘 数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 如果用字母 a、 表示两个因数， b 那么乘法交换律可以表示成下面的形式： a×b=b×a． 方法 3：分成两块数，见右图．前一块 4 行，每行 3 个点，共 3×4 个点． 后一块 4 行，每行 2 个点，共 2×4 个点． 两块的总点数=3×4+2×4． 因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不 同而变化．所以应有下列等式成立： 3×4+2×4=5×4． 仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系： 3+2=5 所以上面的等式可以写成： 3×4+2×4=（3+2）×4 也可以把这个等式调过头来写成： （3+2）×4=3×4+2×4． 这就是乘法对加法的分配律． 如果用字母 a、 c 代表三个数， b、 那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式： （a+b）×c=a×c+b×c分配律的意思是说： 两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的 积加上第二个数与第三个数的积之和． 进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子： 计算（3-2）×4 和 3×4-2×4． 解：（3-2）×4=1×4=4 3×4-2×4=12-8=4． 两式的计算结果都是 4，从而可知： （3-2）×4=3×4-2×4 这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况． 如果用字母 a、b、c（假设 a&b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b） ×c=a×c-b×c． 正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为 乘法分配律． 例 2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？解：方法 1：从上至下一层一层地数，见上右图． 第一层 4×2 个 第二层 4×2 个 第三层 4×2 个 三层小长方体的总个数（4×2）×3 个． 方法 2：从左至右一排一排地数，见下图．第一排 2×3 个第二排 2×3 个 第三排 2×3 个 第四排 2×3 个 四排小长方体的总个数为（2×3）×4． 若把括号中的 2×3 看成是一个因数， 就可以运用乘法交换律， 写成下面的形式： 4× （2×3）． 因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不 同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）． 这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同． 或是说， 三个数相乘， 先把前两个数相乘再乘以第三个数， 或者先把后两个数相乘， 再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律． 如果用字母 a、b、c 表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下： （a×b）×c=a× （b×c）． 巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速． 从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式． 例 3 数一数，下图中有多少个点？解：方法 1：从上至下一层一层地数，见下图．总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 方法 2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点 群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）： 三角形点数=长方形点数÷2因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9 而长方形点数=10×9=（1+9）×9 代入上面的文字公式可得： 1+2+3+4+5+6+7+8+9 =（1+9）×9÷2=45．进一步把两种方法联系起来看： 方法 1 是老老实实地直接数数． 方法 2 可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形 点群的点数就可以用乘法算式计算出来了． 即 1+2+3+4+5+6+7+8+9 =（1+9）×9÷2． 这样从算法方面讲， 拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的 乘除算式了．这种方法在 700 多年前的中国的古算书上就出现了．习题二下列各题至少用两种方法数数与计数． 1．数一数，下图中有多少个点？2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？3．数一数，下图中有多少个小正方形？4．数一数，下图中共有多少个小三角形？习题二解答1．解：方法 1：从上至下一行一行地数，共 4 行每行 5 个点，得 5×4=20． 方法 2：分成两个三角形后再数，见下图．得：（1+2+3+4）×2=20． 发现一个等式： 1+2+3+4＝（1+4）×4÷2． 2．解：方法 1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55． 方法 2：用拼补法，如图所示：11×10÷2=55． 发现一个等式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2． 3．解：方法 1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20． 方法 2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．（1+2+3+4）×2=20． 发现一个等式： 1+2+3+4=（1+4）×4÷2． 4：解：方法 1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200． 方法 2：分成两个三角形来数： （1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2 =200． 发现一个等式： 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19第三讲 速算与巧算利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅 速． 例 1 2×4×5×25×54 =（2×5）×（4×25）×54 （利用了交换 =10×100×54 律和结合律） =54000 例 2 54×125×16×8×625 =54×（125×8）×（625×16） （利用了 =54× 交换律和结合律） = 例 3 5×64×25×125 将 64 分解为 2、4、8 =5×（2×4×8）×25×125 的连乘积是关键一 =（5×2）×（4×25）×（8×125） 步． =10×100×0例 5 37×48×625 =37×（3×16）×625 注意 37×3=111 =（37×3）×（16×625） =111×10 例 6 27×25+13×25 逆用乘法分配律， =（27+13）×25 这样做叫提公因数 =40×25 =1000 例 7 123×23+123+123×76 注意 123=123×1；再 =123×23+123×1+123×76 提公因数 123 =123×（23×1+76） =123×100 =12300 例 8 81+991×9 把 81 改写（叫分解因 =9×9+991×9 数）为 9×9 是为了下 =（9+991）×9 一步提出公因数 9 =00 例 9 111×99 =111×（100-1） =111×100-111 = =10989 例 10 23×57-48×23+23=23×（57-48+1） =23×10 =230 例 11 求 1+2+3+?+24+25 的和． 解：此题是求自然数列前 25 项的和． 方法 1：利用上一讲得出的公式 和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+?+24+25 =（1+25）×25÷2 =26×25÷2 =325 方法 2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？ 例 12 求 8+16+24+32+?+792+800 的和． 解：可先提公因数 8+16+24+32+?+792+800 =8×（1+2+3+4+?+99+100） =8×（1+100）×100÷2 =8× 例 13 某剧院有 25 排座位， 后一排都比前一排多 2 个座位， 最后一排有 70 个座位， 问这个剧院一共有多少个座位？ 解：由题意可知，若把剧院座位数按第 1 排、第 2 排、第 3 排、?、第 25 排的顺 序写出来，必是一个等差数列． 那么第 1 排有多少个座位呢？因为：第 2 排比第 1 排多 2 个座位，2=2×1 第 3 排就比第 1 排多 4 个座位，4=2×2 第 4 排就比第 1 排多 6 个座位，6=2×3这样，第 25 排就比第 1 排多 48 个座位， 48=2×24． 所以第 1 排的座位数是：70-48=22． 再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数： 和=（22+70）×25÷2 =92×25÷2 =1150．习题三计算下列各题： 1．4×135×25 2．38×25×6 3．124×25 4．1 5．35×53+47×35 6．53×46+71×54+82×54 7．①11×11 ②111×111 ③ ④1 ⑤×．①12×14 ②13×17 ③15×17 ④17×18 ⑤19×15 ⑥16×12 9．①11×11 ②12×12 ③13×13 ④14×14 ⑤15×15 ⑥16×16 ⑦17×17 ⑧18×18⑨19×19 10．计算下列各题，并牢记答案，以备后用． ①15×15 ②25×25 ③35×35 ④45×45 ⑤55×55 ⑥65×65 ⑦75×75 ⑧85×85 ⑨95×95 11．求 1+2+3+?+（n-1）+n 之和，并牢记结果． 12．求下列各题之和．把四道题联系起来看，你能发现具有规律性的东西吗？ ①1+2+3+?+10 ②1+2+3+?+100 ③1+2+3+?+1000 ④1+2+3+?+10000 13．求下表中所有数的和．你能想出多少种不同的计算方法？习题三解答1．解：4×135×25=（4×25）×135 =100×135=13500． 2．解：38×25×6=19×2×25×2×3 =19×（2×25×2）×3 =19×100×3 =0．3．解：124×25=（124÷4）×（25×4） =31×100=3100． 4．解：1 =132476×（100+10+1） = =． 或用错位相加的方法：5．解：35×53+47×35=35×（53+47） =35×100=3500． 6．解：53×46+71×54+82×54 =（54-1）×46+71×54+82×54 =54×46-46+71×54+82×54 =54×（46+71+82）-46 =54×199-46 =54×（200-1）-46 =54×200-54-46 = =10700． 7．解：①11×11=121 ②111×111=12321 ③=1234321 ④1= ⑤× =54321． 8．解：①12×14=12×（10+4） =12×10+12×4=12×10+（10+2）×4 =12×10+10×4+2×4 多次运用乘法分配 =（12+4）×10+2×4 律（或提公因数） =160+8 =168 ②13×17=13×（10+7） =13×10+13×7 多次运用乘法分配 =13×10+（10+3）×7 律（或提公因数） =13×10+10×7+3×7 =（13+7）×10+3×7 =200+21 =221 发现规律：求十几乘以十几的积的速算方法是：用一个数加上另一个数的个位数， 乘以 10（即接着添个“0”），再加上它们个位数字的积． 用这个方法计算下列各题： ③15×17=（15+7）×10+5×7 =220+35=255 ④17×18=（17+8）×10+7×8 =250+56=306 ⑤19×15=240+45=285 ⑥16×12=180+12=192． 9．解：作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请牢牢记住：10．解：①15×15 注意矩形框中 =15×（10+5） 式子 =15×10+15×5 =15×10+（10+5）×5 =15×10+10×5+5×5 =（15+5）×10+5×5 = =225 ②25×25 =25×（20+5） =25×20+25×5 =25×20+（20＋5）×5 =25×20+20×5+5×5 =（25+5）×20+5×5 注意矩形框中 = =625 发现规律：几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加 1 的积，再在其后写上 25． 如 15×15 的积就是 1×2 再写上 25 得 225． 25×25 的积就是 2×3 再写上 25 得 625． 用这个方法写出其他各题的答案如下： ③35×35=3×4×100+25=1225 ④45×45=4×5×100+25=2025 式子⑤55×55=5×6×100+25=3025 ⑥65×65=6×7×100+25=4225 ⑦75×75=7×8×100+25=5625 ⑧85×85=8×9×100+25=7225 ⑨95×95=9×10×100+25=9025 要牢记以上方法和结果．要知道，孤立的一道题不好记，但有规律的一整套的东西 反而容易记住！ 11．解：有的同学问：“n 是几？” 老师告诉你：“n 就是末项，你说是几就是几”．用头尾相加法求，自然数列的前 n 项之和．12．解：请注意规律性的东西． ①1+2+3+?+10 =（1+10）×10÷2=55 ②1+2+3+?+100 =（1+100）×100÷2=5050 ③1+2+3+?+1000 =（1+1000）×500 ④1+2+3+?+10000 =（1+10000）×105000． 13．解：方法 1：仔细观察不难发现把每列（或每行）的 10 个数相加之和按顺序排 列起来构成一个等差数列，它就是： 55，65，75，85，95，105，115，125，135，145 ∴总和=（55+145）×10÷2=1000．方法 2：首先各行都按第一行计数，得 10 行 10 列数字方阵的所有数之和为 55×10=550．但第二行比第一行多 10，第三行比第一行多 20，?，第十行比第一行多 90．总计共多： 10+20+30+40+50+60+70+80+90=450． 所以原题数字方阵的所有数相加之和为： 550+450=1000． 方法 3：仔细观察可发现，若以数字 10 所在的对角线为分界线，将该数字方阵折叠 之后，它就变成下述的三角形阵（多么巧妙！） 20 20 20 20 20 20 20 20 20 10 20 20 20 20 20 20 20 20 10 20 20 20 20 20 20 20 10 20 20 20 20 20 20 10 20 20 20 20 20 10 20 20 20 20 10 20 20 20 10 20 20 10 20 10 10 总和=20×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100 =20×55-100 =1000． 方法 4：找规律，先从简单情况开始可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000．看！方法多么简捷；数学多么 微妙！第四讲 数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣 的例子． 例 1 最初的数和最简的图相对应．这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的． 例 2 我国在春秋战国时代就有了“洛图” （见下图） 图中也是用“圆点”表示数， ． 而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自 然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．例 3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘． 比如他把 1， 6， 15， 3， 10， ? 叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从 1 开始的 n 个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数． 第一个数：1=1 第二个数：3=1+2 第三个数：6=1+2+3 第四个数：10=1+2+3+4 第五个数：15=1+2+3+4+5 ? 第 n 个数：1+2+3+4+5+?+n指定的三角形数．比如第 100 个三角形数是：例 4 毕达哥拉斯还发现了四角形数， 见下图． 因为用圆点按四角形数可以堆垒成正 方形，因此它们最受 毕达哥拉斯及其弟子推崇．第一个数：1=12=1 第二个数：4=22=1+3 第三个数：9=32=1+3+5 第四个数：16=42=1+3+5+7 第五个数：25=52=1+3+5+7+9 ? 第 n 个数：n2=1+3+5+9+?+（2n-1）． 四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从 1 开始的几 个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数． 例 5 类似地，还有四面体数见下图．仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几 个三角形数相加得到： 第一个数：1 第二个数：4=1+3 第三个数：10=1+3+6 第四个数：20=1+3+6+10 第五个数：35=1+3+6+10+15． 例 6 五面体数，见下图．仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由 几个四角形数相加得到： 第一个数：1=1 第二个数：5=1+4 第三个数：14=1+4+9 第四个数：30=1+4+9+16 第五个数：55=1+4+9+16+25． 例 7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数， 可以得出一系列等式， 进而可猜想 到一个重要的公式． 由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法 1：先算空心点，再算实心点： 22+2×2+1． 方法 2：把点图看作一个整体来算 32． 因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出： 22+2×2+1=32．方法 1：先算空心点，再算实心点： 32+2×3+1． 方法 2：把点图看成一个整体来算：42． 因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出： 32+2×3+1=42．方法 1：先算空心点，再算实心点： 42+2×4+1． 方法 2：把点图看成一个整体来算 52． 因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出： 42+2×4+1=52． 把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式： 22+2×2+1=32 32+2×3+1=42 42+2×4+1=52 ? n2+2×n+1=（n+1）2． 利用这个公式，也可用于速算与巧算． 如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100 992+2×99+1=（99+1）2 =．习题四1．第 25 个三角形数是几？ 2．第 50 个三角形数是几？ 3．第 1000 个三角形数是几？ 4．三角形数的奇偶性是很有规律的，想一想，这是为什么？ 5．观察下列图形，你能发现什么？6．第 99 个与第 100 个三角形数的和等于多少？ 7．每一个四角形数（或叫正方形数）（除 1 外）都能拆成两个三角形数吗？比如， 100 是哪两个三角形数的和？ 8．第 8 个三角形数恰是第 6 个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗？（这事比较困难） 9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第 n 个五（六）角形数 拆成以 1 为首页、有 n 项的等差数列之和的形式． 10．写出前 10 个四面体数． 11．写出前 10 个五面体数． 12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一 个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．（可参考本讲例 7） 13．模仿例 7，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列 等式，进而猜想出一个重要的公式．习题四解答1．解：1+2+3+?+25 =（1+25）×25÷2=325． 2．解：1+2+3+?+50 =（1+50）×50÷2=1275． 3．解：1+2+3+?+1000 =（1+1000）×500． 4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的规律： 第 1 个数=1?奇数； 第 2 个数=第 1 个数+2?奇数+偶数=奇数； 第 3 个数=第 2 个数+3?奇数+奇数=偶数； 第 4 个数=第 3 个数+4?偶数+偶数=偶数； 第 5 个数=第 4 个数+5?偶数+奇数=奇数． 5．解：相邻的两个三角形之和是一个四角形数（或叫正方形数），或是说，一个 四角形数，可以拆成两个三角形数之和．或者根据第 6 题，=第 100 个四角形数=100×100=10000． 7．解：能拆．100=55+45． 8．解：寻找这样的例子比较困难．有人找到第 49 个三角形数是第 35 个四角形数， 因为： （49+1）×49÷2=．9．解：五角形数如下图所示：第一个数：1=l 第二个数：5=1+4 第三个数：12=1+4+7 第四个数：22=1+4+7+10 第五个数：35=1+4+7+10+13 六角形数如下图所示：第一个数 1=1 第二个数 6=1+5 第三个数 15=1+5+9 第四个数 28=1+5+9+13 第五个数 45=1+5+9+13+17．第五讲 一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔， 信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几 个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔 划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔 画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成； （2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一 笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘 呢？小明进一步又提出了如下问题： 如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么 呢？ 能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用 试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”， 可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线 的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的 点与两条线相连，有的点与 3 条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也 就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线， 而在于点和线的连接情况如何――一个 点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图） （1）两个点，一条线.每个点都只与一条线相连. （2）三个点.两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图） （1）五个点，五条线. A 点与一条线相连，B 点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.（2）六个点，七条线.（“日”字图） A 点与 B 点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是 A 点（或 B 点），而终点则定是 B 点（或 A 点）. 第三组（见下图）（1）四个点，三条线. 三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连. （2）四个点，六条线. 每个点都与三条线相连. （3）五个点，八条线. 点 O 与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连. 第三组的三个图形都不能一笔画出来.习题五1.下面的各个小图形都是由点和线组成的.请你仔细观察后回答：①与一条线相连的有哪些点？ ②与二条线相连的有哪些点？ ③与三条线相连的有哪些点？ ④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点？ 2.若把与奇数条线相连的点叫做奇点，把与偶数条线相连的点叫偶点，那么请你回 答： ①有 0 个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些？ ②有 2 个奇点的图形有哪些？ ③有 4 个或 4 个以上奇点的图形有哪些？ ④连通图形有哪些？不连通图形有哪些？ 3.如果笔在纸上连续不断、又不重复地一笔画成的图形叫一笔画，自己动笔实际画 画看，然后回答： ①哪些图形能够一笔画成？ ②哪些图形不能一笔画成？ 4.把以上各向联系起来看，进行归纳，找出规律然后回答： ①如果把各部分连结在一起的图形叫做连通图形， 那么能一笔画出的图形必定是连 通图形；而不是连通图形必定不能一笔画出.这句话说得对吗？ ②有 0 个奇点（即全部是偶点）的连通图形一定可以一笔画出来（画时可以以任一 点为起点，最后必能回到该点），这句话对吗？ ③只有两个奇点的连通图形也能一笔画出来，但要注意画时必须以一个奇点为起 点，而以另一个奇点为终点，这句话对吗？ ④奇点个数超过两个的图形不能一笔画出来.这句话对吗？ 5.从画图过程的角度，进一步理解所发现的一些规律.习题五解答1.解：见下图 ①与一条线相连的点有：（在图中画成黑点，下同.）②与两条线相连的点有：③与三条线相连的点有：④与四条及四条以上的线相连的点有：2.解：①有 0 个奇点（即全部是偶点）的图形是：（1）、（5）、（10）； ②有 2 个奇点的图形是： （2）、（3）、（6）、（7）； ③有 4 个奇点的图形是：（4）、（9） 有 6 个奇点的图形是：（8）. ④（1）～（10）是连通图形，（11）不是连通图形.3.解：①一笔画有： （1）、（5）、（10）、（2）、（3）、（6）、（7）. ②不能一笔画出的图形是： （4）、（8）、（9）、（11）. 4.解：①对；②对；③对；④对. 5.解：（略）请看书.第六讲 七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很 多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了. 今天，我们小学生也要大胆地研究研究它. 这个问题叫做“七座桥问题”. 当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这 些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话 说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题： 如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这 七座桥怎么个走法？好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走. 你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去， 像当年的游人那样亲自步行过桥上 岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛， 也没有桥，但在你面前却有一张图！ 可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些 线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说， 这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”. 这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说 呢？因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个 小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去， 想像成了你自身的经历， 有位教育家曾说“强 烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！ 让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥 的亲身经历， 这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的 话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地 画了出来. 在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响. 在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题 的实质.在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还 是显得复杂. 在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何 图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题 1 中的图（9））是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有 4 个奇点，由上一讲得 到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.这样七桥问题就得到了圆满的解决. 这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就 是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实 质的东西.就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东 西.最后，再把解决七桥问题的要点总结一下： ①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了. ②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图 形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥. ③由前述判定法则可知， 0 个奇点或 2 个奇点的图形是一笔画， 有 超过两个奇点时， 图形就不能一笔画出来. 模仿这种思路，也能解决类似好多问题.习题六1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）. 过桥问题： 可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？ 例：仿此例依次判断出：2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥 吗？ （每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）3.在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意 是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了 15 座桥把两个 小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有 的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门 吗？请说明你的理由. 如果售厅出口在 4 号房间由你设计再开一个门， 使顾客从入口进去后一次不重复地 走遍各个门，再从 4 号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？习题六解答1.解：见下图 过桥问题： 可否一次通过所有的桥 （每座桥只能走一次）一笔画问题： 可否一笔画成图形（笔不能抬起，不能重复）2.解： 见下两图， 可知不能一次不重复地走遍所有的小桥， 因为下右图有 4 个奇点.3.解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸 的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都 只走一次而到达另外一个岸.画出图来就能一目了然了.见下图.因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画. 所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸. 4.解： 从入口进入售货厅后， 也就是从 1 号房间开始不能一次不重复地走遍各个门， 因为虽然整个图形（见下图）只有 2 个奇点，但点 1 是偶点. 当出口在 4 号房间时，如再在 1 号和 3 号房间之间开一个门，则从 1 号房间开始后 就能一次不重复地走遍各个门.因为点 1 变成了奇点， 4 仍为奇点， 点 而整个图形只有 2 个奇点，因此可以从 1 号房间进，4 号房间出.见下图（进入售货厅后先从 1 号房间进入 3 号房间即可）.第七讲 数字游戏问题（一）数字游戏问题是数学游戏中的一类.它要求从数字以及数字间的运算中发现规律， 然后按照这个规律去填数或填写运算符号.解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规 律. 一、找规律填写数列里面的数 例 1 在□中填入适当的数. 1 9 2 8 3 7 4 □ 分析 题中共有 8 个数，前 7 个已经知道.最后一个需要填写.8 个数中 1+9=10， 2+8=10，3+7=10，所以最后两个数是 4+□=10.这样，□里应填 6. 解：1 9 2 8 3 7 4 例 2 在□中填入适当的数. 15 14 12 11 9 8 □ □ 分析 题中的数是按照从大到小的规律排列的.每两个数为一组，每两这道题也可以这样分析：15-1=14，14-2=12，12-1=11，11-2=9，9-1=8，8-2=6， 6-1=5. 解： 例 3 在（ ）里填数. 2 0 2 2 4 6 10（ ）分析 观察发现 2+0=2，0+2=2，2+2=4，2+4=6，4+6=10.即前两个数相加的和是后 面的数.这样最后一个数应是 6+10=16.（ ）里应填 16. 解：2 0 2 2 4 6 10 （16） 二、找规律填写表格中的数 例 4 在空格中填入合适的数.分析 表格中的数分上下两排，每一排的数各有自己的规律.上排的数这样最后一个数应是 13+5=18.下排的数是从 5 开始依次加 4，加 6，加 8 得这样下排最后一个数应是 23+10=33. 解：例 5 在空格中填入合格的数.分析 数字分成三组，前二组中的三个数字的和是 20∶7+12+1=20，8+9+3=20，所以 第三组中应是□+2+5=20，空格中的数是 13. 解：例 6 在空格中填入合适的数.分析 1 九个数分成三组，第一组中有 8+18=2×13，即第一个数与第三个数的和是 中间那个数的二倍，同样第三组中 16+30=2×23.所以中间一组 2×□=12+24，□中应填 18. 分析 2 将这九个数横的作一排，第一排中有 8+4=12，12+4=16.即后面的数比前面 的数大 4.第三排中有 18+6= 24，24+6=30，后面的数比前面的数大 6.再看第二排应是 13+5=18，18+5=23，所以空格中应填 18. 解：图表中的填数一般来说，既要注意横排，也要注意竖排.大部分问题是横竖结合寻 找规律. 三、找规律填写图形中的数 例 7 在空白处填入合适的数.分析 每个图中都有三个圈，每个圈中填有数字.这三个数字之间有某种关系.分析 第一个图发现 6-5=1，1×2=2，分析第二个图同样有 7-4=3，3×2=6，所以第三个图应 该是 8-3=5，5×2=10.第三个图中空白处应填 10. 解：从以上几种填数游戏中，我们发现填数的过程就是找规律的过程.在找规律中一是 要注意数字排列的顺序，看清它们所在的位置.二是把已经知道的数字进行简单变形， 如相加，相减，乘 2，乘 3，除 2 等.三是发现规律之后按这个规律进行运算求出所需要 的结果.习题七1.1，2，3，3，2，1，4，5，6，6，5，□. 2.4，6，10，16，26，42，□. 3.4，6，10，16，24，34，□. 4.5.6.7.8.9.习题七解答1.解：.每三个数一组，前后两组数是对称排列的. 2.解： .从第 3 个数开始，后面的数是它前面两个数的和.4+6=10，6+10=16，10+16=26，16+26=42， ∴26+42=68. 3.解： .从第 2 个数开始，后面的数是它前面的数依次加 2，4，6，8，10，12得到的，即 4+2=6 6+4=，16+8=24，24+10=34 ∴34+12=46. 4.解： ，每一竖排中的三个数按上、下、中的顺序依次排列，所以第 3 列中最下面一个数是 8，第 4 列中间的数为 10? 5.解：14.每个图中，圈左边的数减去圈右边的数再加上圈上边的数得到圈里的数. 6.解： .把横线下面图中的两个数相加减去三角形中的数就得到正方形里的数.7.解：在上排圆中，从第 2 个数开始是把它前面的数依次加上 2，3，4，5 得到.在 下排圆中，从第 2 个数开始是依次把它前面的数依次加上 4，6，8，10 得到.8.解：16.从右上方开始，顺时针方向旋转，依次加上 1，2，3，4，5 得到后面的 数. 9.解：21.从左上方开始.逆时针方向旋转，依次加上 1，3，5，7，9 得到后面的数.第八讲 数字游戏问题（二）一、填写算式中的数 例 1 用○，★，△代表三个数，有： ○+○+○=15，★+★+★=12， △+△+△=18，○+★+△=（ ） 填出（ ）中的数.分析 上面算式中的○、★、△分别代表三个数.根据三个相同加数的和分别是 15、 12、18，可知○=5，★=4，△=6，又 5+4+6=15，所以（ ）内应填 15. 解：○=5，★=4，△=6， ○+★+△=（15）， 例 2 把 2，3，4，6，7，9 分别填到下面六个圆圈中，使三个算式成立. ○+○=10，○-○=5，○+○=8， 分析 1 在 2、3、4、6、7、9 中相加等于 8 的只有 2 和 6，先把 2、6 填在第三个算 式中，剩下的就可填成 3+7=10，9-4=5. 分析 2 六个数中 9 最大，而 9 不能填在第 1 或第 3 个算式中，所以把 9 填在第 2 个算式中作被减数.其余的就好填了. 解：3+7=10，9-4=5，2+6=8. 例 3 把 1～8 八个数字分别填入图中八个空格中，使图上四边正好组成加、减、乘、 除四个等式.分析 观察这幅图，用 8 个数组成四个等式.从左上角开始先作减法和除法，得出结 果之后再分别作加法和乘法得到右下角的数字.所以问题的关键是左上角的数字与右下 角的数字.它们应该是较大的且能够作乘法与除法的数.即 8 和 6，不妨取左上角是 8， 右下角是 6，再试填其他数字.也可取左上角是 6，右下角是 8，再试填其他数字. 解：二、填写运算符号 例 4 在合适的地方填写“+”或“-”，使等式成立.1 2 3 4 5 6=1. 分析 把六个数分组， 试加会发现 1+2+3+5=11， 4+6=10， 这样在 4， 前面填上“-”， 6 其他地方填上“+”，等式成立. 解：1+2+3-4+5-6=1. 例 5 在合适的地方填写“+”或“-”，使等式成立. 1 2 3 4 5 6=2. 分析 按上题方法试加减， 发现无论如何也得不到 2， 于是想到是否其中有一个两位 数，而两位数只能是 12，再试就能够成功. 解：12-3+4-5-6=2. 例 6 从+、-、×、÷、（ ）中挑选合适的符号，填入适当的地方，使下面等式成 立. ①5 5 5 5 5=1 ②5 5 5 5 5=2 ③5 5 5 5 5=3 ④5 5 5 5 5=4. 分析 在加减乘除运算中，有 5÷5=1，（5+5）÷5=2，5-5=0 这样几个基本关系， 充分利用它们就可以使等式成立，一般来说一个式子可以有多种表达形式. 解：①5÷5+（5-5）×5=1 （5+5）÷5-（5÷5）=1 ②（5+5）÷5+5-5=2 5-（5+5+5）÷5=2 ③5÷5+（5+5）÷5=3 5-5÷5-5÷5=3 ④（5+5+5+5）÷5=4 5-5÷5+5-5=4. 三、填写竖式中的数 例 7 在下列竖式中的空白处填入适当的数，使算式成立.分析 先观察①，这是一个减法算式，被减数是三位数，减数是两位数，差是 1.而 最小的三位数 100 与最大的两位数 99 的差正好是 1（容易知道，只有这一种情形）. 再看②，两个两位数的和是 191.分析两个加数的十位数字，它们都必须为 9，还要 求两个个位数字的和进位才满足 9+9+1=19.这时两个个位数字的和是 11，11 可以写成 11= 9+2=8+3=7+4=6+5.例 8 右面算式中九个字母分别代表 1～9 九个数字，试找出字母 M 和 H 分别所代表 的数字.分析 九个字母分别代表 1～9.在个位数字上 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， 所以 M=5， 同 时向十位进 4.这时十位上 8 个字母中没有 M， 所以十位上的数字和是 40， 再加上个位进 来的四个 10.结果是 44.所以 H=4. 解：M=5，H=4.习题八1.把 2、3、13、18 分别填入下面○里，使等式成立. ○-○=○+○. 2.△、○、★分别代表三个不等于 0 的数字，并且△×★=○，△+△+△=○-△-△， 那么★代表的数字是多少. 3.把 1～9 九个数字填在○里，（每个数字只能用 1 次），组成三道正确的算式. ○+○=○，○-○=○，○×○=○.内填上合适的数字.5.在右式空的格处填上合适的数使算式成立.6.从左下角的 4 开始，依次在数字间填上“+”或“-”，使最后结果等于 10.习题八解答1.18-13=3+2（答案不惟一）. 2.★=5，因为○=5 个△. 3.4+5=9，8-7=1，2×3=6.5.6.第九讲 整数的分拆例 1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏， 见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共 打中 6 环，小军共打中 5 环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知 道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知小兵两发子弹打中 6 环，要求每次打中的环数，可将 6 分拆 6=1+5=2+4； 同理，要求小军每次打中的环数，可将 5 分拆 5=1+4=2+3. 由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是： 小兵打中的是 1 环和 5 环，小军打中的是 2 环和 3 环. 例 2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币 1 分、2 分、4 分、8 分各 一枚，如果他想买 7 分钱的一件商品，他应如何付款？买 9 分、10 分、13 分、14 分和 15 分的商品呢？他又将如何付款？ 解：这道题目的实质是要求把 7、9、10、13、14、15 各数按 1、2、4、8 进行分拆. 7=1+2+4 9=1+8 10=2+8 13=1+4+814=2+4+8 15=1+2+4+8 外星人可按以上方式付款. 例 3 有人以为 8 是个吉利数字， 他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好. 现有 200 块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案. 解：可以这样想：因为 200 的个位数是 0，又知只有 5 个 8 相加才能使和的个位数 字为 0，这就是说，可以把 200 分成 5 个数，每个数的个位数字都应是 8. 这样由 8×5=40 及 200-40=160， 可知再由两个 8 作十位数字可得 80×2=160 即可. 最后得到下式：88+88+8+8+8=200. 例 4 试将 100 以内的完全平方数分拆成从 1 开始的一串奇数之和. 解：1=1×1=12=1（特例） 4=2×2=22=1+3 9=3×3=32=1+3+5 16=4×4=42=1+3+5+7 25=5×5=52=1+3+5+7+9 36=6×6=62=1+3+5+7+9+11 49=7×7=72=1+3+5+7+9+11+13 64=8×8=82 =1+3+5+7+9+11+13+15 81=9×9=92 =1+3+5+7+9+11+13+15+17 100=10×10=102 =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19. 观察上述各式，可得出如下猜想： 一个完全平方数可以写成从 1 开始的若干连续奇数之和， 这个平方数就等于奇数个 数的自乘积（平方）. 检验：把 11×11=121，和 12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述 猜想. 121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 结论:上述猜想对 121 和 144 两个完全平方数是正确的. 例 5 从 1～9 九个数中选取， 11 写成两个不同的自然数之和， 将 有多少种不同的写 法？ 解：将 1～9 的九个自然数从小到大排成一列： 1，2，3，4，5，6，7，8，9. 分析 先看最小的 1 和最大的 9 相加之和为 10 不符合要求. 但用次大的 2 和最大的 9 相加，和为 11 符合要求，得 11=2+9. 逐个做下去，可得 11=3+8，11=4+7，11=5+6. 可见共有 4 种不同的写法. 例 6 将 12 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把 它们一一列出. 解：可以做如下考虑：若将 12 分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数 应为 1，其次是 2，那么第三个数就应是 9 得：12=1+2+9. 下面进行变化，如从 9 中取 1 加到 2 上， 又得 12=1+3+8. 继续按类似方法变化，可得下列各式： 12=1+4+7=2+3+7， 12=1+5+6=2+4+6. 12=3+4+5. 共有 7 种不同的分拆方式.习题九1.把 15 分拆成不大于 9 的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出. 2.将 15 分拆成不大于 9 的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一 列出. 3.将 15 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一 列出. 4.将 15 分拆成不大于 9 的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请 一一列出.5.将 15 分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出. 6.把 15 个玻璃球分成数量不同的 4 堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小 学数学奥林匹克试题）. 7.七只箱子分别放有 1 个、2 个、4 个、8 个、16 个、32 个、64 个苹果.现在要从 这七只箱子里取出 87 个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎 么取法？ 8.把 100 个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有 6 字，想想 看，应该怎样分？ 9.把 1000 个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字 8 组成，请你想 一想该怎样分？ 10.美国硬币有 1 分、5 分、10 分和 25 分四种.现有 10 枚硬币价值是 1 元钱，其中 有 3 枚 25 分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学 奥林匹克试题）. 11.（1，1，8）是一个和为 10 的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把 （1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为 10 的自 然数组共有多少个？习题九解答1.解：共有 2 种不同的分拆方式： 15=9+6 15=8+7 2.解：共 8 种.3.解：共 12 种.4.解：共 6 种. 15=9+3+2+1 15=8+4+2+1 15=7+5+2+1 =7+4+3+1 15=6+5+3+1 =6+4+3+2 5.解：同第 4 题答案. 6.解：同第 4 题答案. 7.解： 可这样想： 总数要 87 个， 最先取数最多的一箱 64 个苹果， 这样还差 87-64=23 个苹果； 再取则不能取装有 32 个苹果的那箱， 只能取装有 16 个的那箱， 这样还差 23-16=7 个苹果；再取装有 1 个、2 个、4 个的三箱苹果，正好： 87=64+16+4+2+1. 8.解：从已有经验中可知 6×6=36，这样就可以把每个盒里装 6 个馒头，共装 6 个 盒，还有一个盒装 100-36=64 个馒头.64 个这个数，刚好含有数字 6，满足题目要求. 即得 100=64+6+6+6+6+6+6. 9.解：仿例 7 解法，得下列分拆式： +8+8+8. 10.解：由于有 3 枚 25 分的硬币，它们的价值是： 25×3=75（分）. 所以其余的 7 枚硬币的价值是： 100-75=25（分）. 将 25 分拆成 7 个数之和，（注意没有各数不同的限制） 25=1+1+1+1+1+10+10. 所以这 7 枚硬币是 5 枚 1 分，2 枚 10 分.11.解：共 8 个.它们是（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5）， （2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，4）.第十讲 枚举法例 1 如右图所示，ABCD 是一个正方形，边长为 2 厘米，沿着图中线段从 A 到 C 的 最短长度为 4 厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.解：将各种路线一一列出，可知共 6 条，见下图.注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交 点处的数字表示到达该点的路线条数，如 O 点处的数字 2，表示由 A 到 O 有 2 条不同的 路径，见上图中的（1）和（2）；又 H 点处的数字 3 的意义也如此，见上图中的（1）、 （2）、 （3）可知有 3 条路径可由 A 到 H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系， 如 O 点的 2 等于 F 点和 E 点的数字相加之和，即 1+1=2，又如，C 点的 6 等于 G 点和 H 点的数字相加之和，即 3+3=6.例 2 在 10 和 31 之间有多少个数是 3 的倍数？ 解：由尝试法可求出答案： 3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21 3×8=24 3×9=27 3×10=30 可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27 和 30 共 7 个. 注意，倘若问 10 和 1000 之间有多少个数是 3 的倍数，则用上述一一列举的方法就 显得太繁琐了，此时可采用下述方法： 10÷3=3 余 1，可知 10 以内有 3 个数是 3 的倍数；
余 1，可知 1000 以内有 333 个数是 3 的倍数； 333-3=330，则知 10～1000 之内有 330 个数是 3 的倍数. 由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围. 例 3 两个整数之积为 144，差为 10，求这两个数？ 解：列出两个数积为 144 的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来： 1 2 3 4 6 8 9 12 144 72 48 36 24 18 16 12 可见其中差是 10 的两个数是 8 和 18，这一对数即为所求.习题十1.一个长方形的周长是 22 米，如果它的长和宽都是整米数，问： ①这个长方形的面积有多少可能值？ ②面积最大的长方形的长和宽是多少？ 2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不 同钱数？3.三个自然数的乘积是 24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个？如（1，2， 12）就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1， 2，12）和（2，12，1）是同一数组. 4.小虎给 3 个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果 3 个小朋 友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能？ 5.一个学生假期往 A、B、C 三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城 市.假如他第一天在 A 市，第五天又回到 A 市.问他的游览路线共有几种不同的方案？ 6.下图中有 6 个点，9 条线段，一只甲虫从 A 点出发，要沿着某几条线段爬到 F 点. 行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？7.小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用卡片做 了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成 3 对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和， 你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗？比如说下面 是其中一种： 黄 蓝 黄 蓝 黄 蓝8.五个学生友 1，友 2，友 3，友 4，友 5 一同去游玩，他们将各自的书包放在了一 处.分手时友 1 带头开了个玩笑，他把友 2 小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也 都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式？习题十解答1.解：这个长方形的长和宽之和是 22÷2=11（米），由长方形的面积=长×宽，可 知：由上表可见面积最大的长方形的长是 6 米、宽是 5 米，面积是 30 平方米. 猜想：由本讲的例 1 和习题 1 这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相等 或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例. 2.解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：数一数可知， 能组成 15 种不同的钱数.注意它们是从 1 到 15 的 15 个自然数： 2， 1， 3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15. 3.解：不计数组中数的顺序，所有乘积为 24 的三个数所组成的数组共有 6 组，枚 举如下： （1，1，24），（1，2，12），（1，3，8）， （1，4，6），（2，2，6），（2，3，4）.4.解：把三封信编号为 1 号、2 号、3 号； 把三个小朋友编号为友 1、友 2、友 3；1 号、2 号、3 号信应该分别发给友 1、友 2、 友 3。 按题意，友 1 没有收到给自己的 1 号信，他只可能收到 2 号或 3 号信. 当友 1 收到 2 号信时，友 2 只可能收到 3 号信，则友 3 收到 1 号信； 当友 1 收到 3 号信时，友 2 只可能收到 1 号信，则友 3 收到 2 号信. 可见共有 2 种可能的错装情况，列表更为清楚，5.解：请看下面的树形图.可见他第五天回到 A 市的不同游览路线共有 6 种，分别是： ①A→B→A→B→A ④A→C→A→B→A ②A→B→A→C→A ⑤A→C→A→C→A ③A→B→C→B→A ⑥A→C→B→C→A. 6.解：经过 E 点的有 3 条路线，不经过 E 点的有 2 条路线，共有 5 条不同的路线， 见下图.7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式：可见共有 6 种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况（可叫做同序配对）各乘 积之和最大，第⑥种情况（可叫做逆序配对）各乘积之和最小. 如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗？我们再进一步探讨一下：结果和上述相同. 2.假如黄蓝卡片各有 4 张，不同的配对方式有很多. （4×3×2×1=24 种，这点同学们以后就会明白！） 我们找几种情况试一试：可见：同序配对，各乘积之和最大：30 逆序配对，各乘积之和最小：20 交叉配对，各乘积之和居中：大于 20 小于 30. 猜想：两个项数相同的数列配对相乘积之和，同序配对时最大，逆序配对时最小， 交叉配对时在最小值和最大值之间. 8.解：设友 1、友 2、友 3、友 4、友 5 的书包分别是 1 号、2 号、3 号、4 号、5 号. 因为友 1 拿了 2 号书包，那么友 2 就有拿 1 号、3 号、4 号和 5 号书包的四种可能.如果 友 2 拿了 1 号书包，友 3 拿了 4 号书包，友 4 拿了 5 号书包，友 5 拿了 3 号书包，这就 是一种错拿方式.其他方式看如下的树形图.数一数，共有 11 种不同的错拿方式.第十一讲 找规律法观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事件的奥秘，是 人类智力活动的主要内容. 数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力. 例 1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第 100 项来？ 1，3，? 解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：仔细观察， 可发现该数列的第 6 项同第 1 项， 7 项同第 2 项， 8 项同第 3 项， 第 第 ? 也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含 5 项. 100÷5=20. 可见第 100 项与第 5 项、 10 项一样 第 （项数都能被 5 整除） 即第 100 项是 51234. ， 例 2 把写上 1 到 100 这 100 个号码的牌子， 像下面那样依次分发给四个人， 你知道 第 73 号牌子会落到谁的手里？解：仔细观察，你会发现： 分给小明的牌子号码是 1，5，9，13，?，号码除以 4 余 1； 分给小英的牌子号码是 2，6，10，14，?，号码除以 4 余 2； 分给小方的牌子号码是 3，7，11，?，号码除以 4 余 3； 分给小军的牌子号码是 4，8，12，?，号码除以 4 余 0（整除）. 因此，试用 4 除 73 看看余几？ 73÷4=18?余 1 可见 73 号牌会落到小明的手里. 这就是运用了如下的规律：用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学们自己再试一试. 例 3 四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在 1、2、3、4 号位子 上（如下图所示）.第一次它们上下两排换位，第二次左右换位，第三次又上下交换， 第四次左右交换.这样一直交换下去，问十次换位后，小兔坐在第几号座位上？解：为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见下图.盯住小兔的位置进行观察： 第一次换位后，它到了第 1 号位； 第二次换位后，它到了第 2 号位； 第三次换位后，它到了第 4 号位； 第四次换位后，它到了第 3 号位；第五次换位后，它又到了第 1 号位； ? 可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位置，利用这个规律以及 10 ÷4=2?余 2，可知： 第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，即在第二号位. 如果再仔细地把换位图连续起来研究研究，可以发现，随着一次次地交换， 小兔的座位按顺时针旋转， 小鼠的座位按逆时针旋转， 小猴的座位按顺时针旋转， 小猫的座位按逆时针旋转， 按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位. 例 4 从 1 开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这列数的第 100 个数是多 少？ 1，4，7，10，13，? 解：不难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻的前一项大 3，即公差=3， 还可以发现： 第 2 项等于第 1 项加 1 个公差即 4=1+1×3. 第 3 项等于第 1 项加 2 个公差即 7=1+2×3. 第 4 项等于第 1 项加 3 个公差即 10=1+3×3. 第 5 项等于第 1 项加 4 个公差即 13=1+4×3. ? 可见第 n 项等于第 1 项加（n-1）个公差，即按这个规律，可求出： 第 100 项=1+（100-1）×3=1+99×3=298.例 5 画图游戏先画第一代，一个△，再画第二代，在△下面画出两条线段，在一条 线段的末端又画一个△，在另一条的末端画一个○；画第三代，在第二代的△下面又画 出两条线段，一条末端画△，另一条末端画○；而在第二代的○的下面画一条线，线的 末端再画一个△；?一直照此画下去（见下图），问第十次的△和○共有多少个？解：按着画图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中找出图形的生成规律，见 下图.数一数，各代的图形（包括△和○）的个数列成下表：可以发现各代图形个数组成一个数列，这个数列的生成规律是，从第三项起每一项 都是前面两项之和.按此规律接着把数列写下去，可得出第十代的△和○共有 89 个（见 下表）：这就是著名的裴波那契数列.裴波那契是意大利的数学家，他生活在距今大约七百 多年以前的时代. 例 6 如下图所示，5 个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下、小的在上的次序 套在木桩上构成了一座圆盘塔.现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上.规定移动时要遵守一个条件，每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘.假如 还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用.问把这 5 个圆盘全部移到另一个木桩上至少需 要搬动多少次？（下图所示）解：先从最简单情形试起. ①当仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次（见下页图）.②当有两个圆盘时，只需搬动 3 次（见下图）.③当有三个圆盘时，需要搬动 7 次（见下页图）.总结，找规律： ①当仅有一个圆盘时，只需搬 1 次. ②当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大圆盘搬到中间桩后，小圆 盘还得再搬回来到大圆盘上.所以小的要搬两次， 下面的大盘要搬 1 次.这样搬到两个圆 盘需 3 次. ③当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上，见上图中的 （1）～（3）.由前面可知，这需要搬动 3 次.然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩 上， 见图 （4） 之后再把上面的两个搬到中间桩上， ， 这又需搬 3 次， 见图中 （5） （7） ～ . 所以共搬动 2×3+1=7 次. ④推论，当有 4 个圆盘时，就需要先把上面的 3 个圆盘搬到临时桩上，需要 7 次， 然后把下面的大圆盘搬到中间桩上（1 次），之后再把临时桩上的 3 个圆盘搬到中间桩 上，这又需要 7 次，所以共需搬动 2×7+1=15 次. ⑤可见当有 5 个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共需要： 2×15+1=31 次.有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像前一个公式那样进行递推了. 题十一 1.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式： ①1×9+2= ②9×9+7= 12×9+3= 98×9+6= 123×9+4= 987×9+5= ＝ = ? ? 2.先计算下面的奇妙算式，找出规律，再继续写出一些算式： 19+9×9= 118+98×9= = ×9= 65×9=? 3.先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式： 1×1= 11×11= 111×111= = 1= ? 4.有一列数是 2、9、8、2、?，从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数相乘 积的个位数字（比如第三个数 8 就是 2×9=18 的个位数字）.问这一列数的第 100 个数 是几？ 5.如果全体自然数按下表进行排列，那么数 1000 应在哪个字母下面？6.如果自然数如下图所示排成四列，问 101 在哪个字母下面？7.3×3 的末位数字是 9， 3×3×3 的末位数是 7， 3×3×3×3 的末位数字是 1.求 35 个 3 相乘的结果的末位数字是几？习题十一解答1.①1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111=×9+6=456×9+7==4=. ②9×9+7=88 98×9+6=888 987×9+5=×9+4=×9+3=654×9+2==.19+9×9=100 118+98×9=7×9=+000 65×9=×9=3×9=6= . 3. 1×1=1 11×11=121 111×111=× 1== 111=321×321 4.解：按数列的生成规律再多写出一些数来，再仔细观察，找出规律： 2、9、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、8、2、6、2、2、4、? 可见，除最前面的两个数 2 和 9 以外，8、2、6、2、2、4 这六个数依次重复出现. 因此，可利用这个规律，按下面的方法找出第 100 个数出来： 100-2=98， 98÷6=16?2. 即第 100 个数与这六个数的第 2 个数相同，即第 100 个数是 2. 5.解： 不难发现， 每个字母下面的数除以 7 的余数都是相同的.如第 1 列的三个数 1、 8 和 15，除以 7 时的余数都是 1；第 2 列的三个数 2、9 和 16，除以 7 时的余数都是 2； 第 3 列的三个数 3、10 和 17，除以 7 的余数都是 3；?.利用这个规律，可求出第 1000 个自然数在哪个字母下面： 2?6 所以 1000 在字母 F 的下面. 6.解：可以这样找出排列的规律性：全体自然数依次循环排列在 A、B、C、D、D、C、 B、A 八个字母的下面，即依上题解题方法： 101÷8=12?5. 可知 101 与 5 均排在同一字母下面，即在 D 的下面. 7.解：从简单情况做起，列表找规律：仔细观察可发现，乘积的末位数字的出现有周期性的规律：看相乘的 3 的个数除以 4 的余数，余 1 时，积的末位数字是 3， 余 2 时，积的末位数字是 9， 余 3 时，积的末位数字是 7， 整除时，积的末位数字是 1， 35÷4=8?3 所以这个积的末位数字是 7.第十二讲 逆序推理法逆序推理法，也叫逆推法或倒推法.简单说，就是调过头来往回想. 例 1 老师心中想了一个数，对他的学生说：“给这个数加上 9，再取和的一半应是 5.”他叫学生们把这个数算出来.你会算吗？ 解：用逆推法求解，就是这样想：因为老师想的数加上 9 后之和的一半是 5，那么 和就应是 5×2=10；再往前逆推，在没有加上 9 之前应是 10-9=1，这就是老师心中想的 数. 让我们再从另一种思路去想： 首先，把老师想的数用□代表，顺着题意列式应有： （□+9）÷2=5，我们可以叫它做顺序式. 然后，再把前面的逆推过程写成算式，就应有： 5×2-9= ，“1”就是方框所代表的数，所以把它写在方框里.我们可以把这个算式叫做逆序式.把两式进行对照比较（如下图如示）可见：①顺序的运算结果（或最后结论）是逆序式的已知数据（或起始条件）； ②顺序式中除以 2 变为逆序式中乘以 2； ③顺序式中加上 9 变为逆序式中减去 9； ④顺序式中起始未知数变为逆序式中最后运算结果； 总之，逆序式恰为顺序式的逆运算. 这就是逆推法的由来和实质.例 2 某数加上 6，乘以 6，减去 6，除以 6，最后结果等于 6.问这个数是几？ 解：依题意，写出顺序式，再接着写出逆序式， [（某数+6）×6-6]÷6=6?顺序式 （6×6+6）÷6-6=某数?逆序式 经计算可知“某数”=1. 例 3 小勇拿了妈妈给的零花钱去买东西.他先用这些钱的一半买了玩具，之后又买 了 1 元 5 角钱的小人书，最后还剩下 3 角钱.你知道妈妈给小勇多少钱吗？ 解：可以这样倒着想：小勇最后剩下 3 角钱，在买书之前的钱应是 3 角+1 元 5 角=1 元 8 角.这个数目是他买玩具后剩下的， 买玩具前的钱数应当是： 元 8 角×2=3 元 6 角. 1 这就是妈妈给他的钱数. 若画出下面的图就更清楚了.例 4 小亮拿着 1 包糖，遇见好朋友 A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友 B，把 剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友 C，把这时手中所剩下的糖的一半又分 给了 C，这时他自己手里只有一块了.问在没有分给 A 以前，小亮那包糖有几块？ 解：采用逆推法--从最后结果往前倒着推算.小亮最后手里只剩下一块糖，这是分 给 C 一半后所剩的数，则知遇见 C 之前小亮有糖： 1×2=2（块）. 同理，遇到 B 之前有糖：2×2=4（块）. 遇到 A 之前有糖：4×2=8（块）. 即小亮未给小朋友前，那包糖应有 8 块. 例 5 农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又 1 个，第二次又卖掉剩下的一半又 1 个， 这时篮中还剩 1 个.问原来篮中有蛋几个？ 解：逆推：篮中最后（即第二次卖后）剩 1 个； 第二次卖前篮中有（1+1）×2=4 个；第一次卖前篮中有（4+1）×2=10 个； 即篮中有 10 个蛋. 例 6 某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大 1 倍，20 天恰好遮住整个水池，问若 只遮住水池的一半需要多少天？ 解：倒着想.若是今天睡莲把整个池面遮满了，那么昨天睡莲只遮住了水面的一半. 今天是第 20 天，昨天就是第 19 天，也就是说睡莲遮住一半池面需 19 天. 例 7 文化用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少 12 本；这一周 售出的本数比所剩的一半多 12 本；结果还有 19 本.问这批日记本有多少？ 解：由图上可见本周未售出时的一半是： 19+12=31（本）； 本周未售出时的总数是： 31×2=62（本）； 总数的一半是： 62-12=50（本）； 总本数是： 50×2=100（本）. 列出综合算式： [（19+12）×2-12]×2=100（本）. 答：这批日记本共有 100 本. 例 8 现有一堆棋子， 把它分成三等份后还剩一颗； 取出其中的两份又分成三等份后 还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗.问原来至少有多少颗棋子？ 解：题中有“至少”这一条. 用逆推法从最后的最少棋子情况逆推.先画线段图依次表示分棋子的过程， 见下图：假设第三次分时，三等份中每分是 1 个棋子（最少）， 则此次分前应是 3+1=4 个；4÷2=2，则第二次分前应是 2×3+1=7 个，注意 7 是奇 数（第二次分前的棋子是第一次分后的两份，应是偶数所以不应是 7，可见前面假设不 对）. 再假设第三次分时每等份是 2 个棋子，也不行. 又假设第三次分时每等份是 3 个棋子，则有 3×3+1=10； 10÷2=5，5×3+1=16； 16÷2=8，8×3+1=25； ∴原来有棋子至少是 25 个.习题十二1.一个数加上 8，乘以 8，减去 8，除以 8，结果还是 8，求这个数？ 2.一个数加上 100，乘以 100，减去 100，除以 100，结果还是 100，求这个数. 3.某个数加上 2，减去 3，乘以 4，除以 5，结果等于 12，这个数是几？ 4.有一次小云去买玩具，他买了一架小飞机用去了他带去的钱的一半；之后他又用 2 元钱买了一个小汽车，最后还剩下 5 角钱.问小云最初带了多少钱？ 5.妈妈给小华买了一袋糖，小华决定把糖分给大家吃.第一个看见了妹妹，就把糖 的一半分给了妹妹；第二个看见了哥哥，又把剩下的糖的一半分给了哥哥，这时他自己 还剩 4 块糖.请问，妈妈给小华的这袋糖共有多少块？ 6.一个农妇卖鸡蛋，第一次卖了篮中的一半又半个，第二次又卖了剩下鸡蛋的一半 又半个，这时篮中还剩一个鸡蛋.问篮中原来有几个鸡蛋？ 7.三棵树上共有麻雀 60 只.如果从第一棵树上飞 4 只到第二棵树上去， 又从第二棵 树上飞 7 只到第三棵树上去，那么三棵树上的麻雀都是 20 只.问原来每棵树上各有几 只？8.一条小虫， 身长每天增大一倍， 天长到 20 厘米.问它从开始长到 5 厘米时是第 10 几天？ 9.甲、乙、丙三人共有 750 元钱.如果乙向甲借 30 元，又借给丙 50 元，结果三人 所持有的钱相等.问甲、乙、丙三人原来各有多少元钱？ 10.小明有几本小人书已记不清楚了，只知道： 小芳借走一半加 1 本；小容又借走剩下的书的一半加 2 本；再剩下的书，小军借走 一半加 3 本，最后小明还有 2 本书.请问小明原有几本小人书？习题十二解答1.解：逆推.从最后结果 8 开始： 不除以 8 时，应是 8×8=64； 不减去 8 时，应是 64+8＝72； 不乘以 8 时，应是 72÷8=9； 不加上 8 时，应是 9-8=1； 所以，可知此数为 1. 2.解：先写出顺序式.设此数为 x，依题意： [（x+100）×100-100]÷100=100， 据此写出逆序式，再进行计算： （100×10O+100）÷100-100=x. 所以 x=（100×100+100）÷100-100 =10 =101-100 =1. 总结：由习题 1 和 2 以及前面例题 2，答案都是 1.这难道是偶然的吗？还是其中必 有原因？ 假设“某数”是 1，加上 a，乘以 a，减去 a，除以 a，其结果仍为 a. 其中 a 为任何自然数，比如 a=6，8，100，都可以. 因为[（1+a）×a-a]÷a=a×a÷a=a 3.解：先写出顺序式.设此数为 x，则有： （x+2-3）×4÷5=12， 再写出逆序式： 12×5÷4+3-2=x， 所以 x=16.6.解：篮中原来共有 7 个鸡蛋.见下图.从图中可见，剩下的 1 个加上半个即 1 个半鸡蛋就是第一次卖后所剩的一半，所以 第二次未卖之前篮中有 3 个鸡蛋.这 3 个鸡蛋加上半个即 3 个半鸡蛋是总数的一半，因 此篮中鸡蛋总数是 7 个. 7.解：逆推.最后每棵树上的麻雀都是 20 只.∴最初三棵树上分别有 24，23，13 只麻雀. 8.解：见下图逆推：可见小虫从开始长到第 8 天时，身长是 5 厘米. 9.解：三人钱数相等时，各有钱数为： 750÷3=250（元）， 若甲未借出，则有 250 元+30 元=280 元； 若乙未向甲借，也未借给丙，则有 250-30+50=270（元）； 若丙未借乙的钱，则原有 250-50=200 元； 即甲、乙、丙原有钱数分别为 280 元、270 元、200 元. 10.解：逆推： 小军借走书之前，小明的书是： （2+3）×2=10（本）. 小容借走书之前，小明的书是： （10+2）×2=24（本）. 小芳借走书之前，小明的书是： （24+1）×2=50（本）（原有书的本数）. 列成综合算式是： {[（2+3）×2+2]×2+1}×2=50（本）. 答：小明原有 50 本书.第十三讲 画图显示法在有些数学题中， 数量之间的关系不容易看出来； 可是只要画个图就能显示清楚了. 同学们要学会这种画图方法. 例 1 小明比小英小 5 岁，小方比小明大 2 岁.那么小英和小方差几岁？ 解：先画个图看看： ①表示小明比小英小 5 岁，②表示小方比小明大 2 岁， 由图可见，小英比小方大 3 岁.注意：画这个图时，由题意应以小明为基准.习题十三1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少 2 角 5 分，李明的钱少 3 角 1 分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱？王强和李 明各有多少钱？ 2.大、小二数之和为 10，之差为 2，求大、小二数各多少？ 3.小军、小方和小雄共有 12 本小人书，小军比小方多 2 本，小方比小雄多 2 本， 问他们三人各几本？ 4.今年弟弟 8 岁，哥哥 14 岁.问当两人的年龄和是 30 岁时，两人各几岁？ 5.两个桶里共盛水 30 斤.如果把第一个桶里的水倒 3 斤给第二个桶里， 两个桶里的 水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水？ 6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的 2 倍时，称得重为 5 千克；把水加到原来 的 4 倍时，再称一称重为 9 千克，问原来水有多少千克？ 7.一筐鲜鱼，连筐共重 56 千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐 还重 17 千克.原来这筐鲜鱼重多少千克？ 8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井 外还留有 15 米；小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有 1 米.请问，这口枯 井有多少米深？习题十三解答1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.依题意，“两人钱合在一起，刚好买这本书”. 就是说，如图所示，实线段（表示李明的钱）按图线可以向上移到短的虚线处（表 示王强缺的钱）接起来刚好等书价.也就是说一本书的书价是： 2 角 5 分+3 角 1 分=5 角 6 分. 王强有 3 角 1 分，李明有 2 角 5 分. 2.解：画线段图用长线段表示大数，用短线段表示小数，用差线段表示两数之差， 见图：由图显见，若在虚线处再加上一段“差线段”，那就显然得到了两条等长的长线段. 这就表示，和加差等于两个大数， 即（和+差）÷2=大数. 反之，如果去掉那段“差线段”，则得到两条等长的短线段.这就表示，和减差等 于两个小数， 即（和-差）÷2=小数. 注意，此题就叫“和差问题”，以上两式就叫和差问题公式. 把题给的具体数值代入这两个公式，可得： 大数=（10+2）÷2=6， 小数=（10-2）÷2=4. 3.解：画线段图如下：与上题类比，采用添加差线段的方法可得：（12+2×3）÷3=6（本）（小军）； 6-2=4（本）（小方）； 4-2=2（本）（小雄）； 同样也可采用去掉差线段的方法得： （12-2×3）÷3=2（本）（小雄）； 2+2=4（本）（小方）； 4+2=6（本）（小军）. 4.解：此题叫年龄问题，它的特点是年龄差保持不变.此题可归纳为和差问题：哥 弟年龄之差为 14-8=6（岁），和为 30 岁，求哥弟各几岁？ （30+6）÷2=18（岁）（哥） （30-6）÷2=12（岁）（弟）. 5.解：此题的实质也是和差问题.和为 30 斤，差：3×2=6（斤），由和差问题公式 得： （30+6）÷2=18 斤（大桶）； （30-6）÷2=12 斤（小桶）. 6.解：画线段图如下：由图可见，线段③-线段②=2 倍小线段， 即一条小线段表示（9-5）÷2=2（千克）， 即 原来瓶中水重是 2 千克. 7.解：画线段图如下：由图可以看出总重减去最后剩下的（包括筐重和鱼）等于第一次和第二次卖出的鲜 鱼总数.又知第一次卖出的是第二次卖出的 2 倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的 3 倍，即得第二次卖出鱼的总量为（56-17）÷3=13 千克.原来鲜鱼总数为 13×4=52 千克. 8.解：画示意图如下：小秋第二次把绳子对折量，井外留 1 米长的双股绳相当实际绳长 2 米，比第一次单 股绳测时，井外少了 15-2=13（米），因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为 13 米.第十四讲 等量代换法例 1 已知：△+○=24， ○=△+△+△， 求△=？○=？ 解：将两个等式编号： △+○=24 （1） ○=△+△+△ （2） 将（1）式中的○用（2）式中的 3 个△代替 得△+△+△+△+=24 ∴△=24÷4=6， 又○=6+6+6=18. 例 2 已知：（见下图）求：一个□等于几个○. 解：由已知的天平图改写成等式： 2×△=6×○ （1） 3×□=3×△ （2） 由（1）式得：△=3×○ （3）由（2）式得：□=△ （4） 将（3）式代入（4）式得：□=3×○， 即一个□等于 3 个○. 例 3 已知：（见下图）求：最大的球的重量是多少克？ 解：由图（1）得：3●=2●+48， 所以●=48（克）. 由图（2）得：3○=2●， 即：3○=2×48， 所以○=2×48÷3=32（克）. 由图（3）得：○=4○=4×32=128（克）. 例 4 一支钢笔的价钱是一支活动铅笔价钱的 5 倍.问买 30 支活动铅笔的钱能买几支 钢笔？ 解：方法 1：列出下列等式： 1 支钢笔=5 支铅笔 （1） 改写 30 支铅笔=6×5 支铅笔 （2） 把（1）式代入（2）式得： 30 支铅笔=6×1 支钢笔=6 支钢笔. 方法 2：用字母 x 代表 1 支钢笔的价钱， 用字母 y 代表 1 支铅笔的价钱， 依题意可列出等式： x=5y 因为 30y=6×5y 用 x 代替 5y 得 30y=6x.说明：x＝1×x 省略了 1 和“×”号，即表示 1 个 x；5y=5×y，省略了“×”号， 即表示 5 个 y. 例 5 已知 13 个李子的重量等于 2 个苹果和 1 个桃子的重量，而 4 个李子和 1 个苹 果的重量等于 1 个桃子的重量.问多少个李子的重量等于 1 个桃子的重量？ 解：由题意列等式： 13 李=2 苹+1 桃 （1） 4 李+1 苹=1 桃 （2） 把（2）式代入（1）式得： 13 李=2 苹+4 李+1 苹 即 9 李=3 苹； 即 3 李=1 苹 （3） 把（3）式代入（2）式得 4 李+3 李=1 桃 即 7 李=1 桃 即 7 个李子重量等于 1 个桃子的重量. 例 6 如果鱼尾重 4 公斤， 鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量， 而鱼身重量等于 鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少公斤重？ 解：依题意列出下列等式： 尾=4 （1） 头=尾+身÷2 （2） 身=头+尾 （3） 由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等所以把（2）式两边同乘以 2 得： 2 头=2 尾+身 （4） 把（3）式代入（4）式得： 2 头=2 尾+头+尾 即：头=3 尾=3×4=12（公斤） 身=头+尾=12+4=16（公斤） 全鱼=头+身+尾=12+16+4=32（公斤）.习题十四1.已知：（下图所示为简易天平）求：一个柿子的重量是多少克？ 2.桔子和苹果共有 360 个， 其中桔子数是苹果数的 2 倍， 求桔子和苹果各有多少个？ 3.小红去文具店买了 6 支铅笔和 5 个笔记本，共花了 1 元 3 角 5 分钱.已知 3 支铅 笔的价钱与 2 个笔记本的价钱相等.求 1 支铅笔和 1 个笔记本各要多少钱？ 4.在生物课外活动中，同学们种花生比白薯多 105 棵，又知花生棵数是白薯的 16 倍，求花生、白薯各多少棵？ 5.假若 20 只兔子可换 2 只羊，9 只羊可换 3 头猪，8 头猪可换 2 头牛，那么用 5 头 牛可换多少只兔子？ 6.商店运来两桶油.大桶有油 120 斤，小桶有油 90 斤.两桶油卖出同样多后，大桶 剩的油刚好是小桶剩的油的 4 倍，问两桶各剩油多少斤？ 7.兄弟俩各有书若干本.只知兄的书为弟的书的 3 倍；但若兄给弟 10 本书，则弟的 书将为兄的书的 3 倍.问兄弟二人原有书各多少？习题十四解答1.解：为书写简便，做以下规定： 用字母 x 代表一个柿子的重量； 用字母 y 代表一个苹果的重量； 用字母 z 代表一个梨的重量； 这样就可以用下列等式表示题中的天平图： x=6y （1） 2y=3z （2） 2z=60 克 （3） 由（3）式可得：z=30 克.代入（2）式 得 2y=3×30=90 克 则 y=90÷2=45 克.代入（1）式 得 x=6×45=270（克）. 2.解法 1：桔子个数=2×苹果个数 （1）桔子个数+苹果个数=360 （2） 把（1）代入（2）得： 2×苹果个数+苹果个数=360 即 3×苹果个数=360 ∴ 苹果个数=360÷3=120 个 而桔子个数=2×120=240 个. 解法 2：设桔子为 x 个，苹果为 y 个，由题意列等式： x=2y （1） x+y=360 （2） 把（1）代入（2）式得：2y+y=360 即 3y=360 得 y=360÷3=120（个）（苹果） 而 x=2y=2×120=240（个）（桔子）. 3.解：因为 3 支铅笔的价钱=2 个笔记本的价钱 （1） 那么 6 支铅笔的价钱=4 个笔记本的价钱 （2） 又因为 6 支铅笔的价钱+5 个笔记本的价钱=135（分） 把（2）式代入得： 4 个笔记本的价钱+5 个笔记本的价钱=135（分） 即 9 个笔记本=135（分） ∴ 1 个笔记本=135÷9=15（分） 把 1 个笔记本的价钱代入（1）式得 3 支铅笔=2×15 1 支铅笔=2×15÷3=10（分）. 4.解法 1：依题意列出下列等式： 花生-白薯=105 （1） 花生=16×白薯 （2） 把（2）式代入（1）式，得： 16×白薯-白薯=105（棵） 即 15×白薯=105（棵） 所以 白薯=105÷15=7（棵） 因而 花生=16×7=112（棵）.解法 2：设种花生 x 棵，种白薯 y 棵.将（2）代入（1）式得： 16y-y=105 15y=105 y=7（棵）（白薯） 再将 y 值代入（2）式得： x=16y=16×7=112（棵）（花生） 5.解：依题意列出下列等式：欲求 5 头牛=？只兔 由（3）式可知：1 头牛=4 头猪， 由（2）式可知：1 头猪=3 只羊， 由（1）式可知：1 只羊=10 只兔， 下面依次进行等量代换： 可得：1 头牛=4 头猪=4×3 只羊=12 只羊 =12×10 只兔=120 只兔 5 头牛=600 只兔 注意：上面由 20 只兔=2 只羊把等式两边分别除以 2；得到 10 只兔=1 只羊 等式两边除以同一个数后结果仍相等. 6.解：画下图：因为两桶卖出去的油一样多.所以大桶剩油-小桶剩油=120-90=30（斤） 又知 大桶剩油=4×小桶剩油 所以 4×小桶剩油-小桶剩油= 30（斤）即 3×小桶剩油=30}