不定积分的典型例题 (1)_百度文库
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不定积分的典型例题 (1)
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]=-arcsin(1-2x)+C1;u)]+C将u=arcsin√x代入即得∫√[(1+x)&#47.求不定积分,故原式=2∫√[(1+sin²u)]sinucosudu=2∫[√(1+sin&sup2：先求定义域,
dx=2(1-cos&sup2,故 -1≤x&√(x-x&sup2：由(1+x)/u;2)ln[sinu+√(1+sin&sup2：原式＝∫[2dx&#47. 求不定积分;u)]cosudu=2∫[√(1+sin²(1-x)≥0;u)+(1/2){[arcsin√x]√(1+x)+ln[√x+√(1+x)]}+C 2;√[1-(1-2x)&sup2：∫dx/u)&#47,得(x+1)/(1-x))]dx 解;u)]d(sinu)=(u/1.于是可令x=sin²(1-x))]dx ＝(1/2)√(1+sin²]=-∫[d(1-2x)]/) 解;√[1-(1-2x)&sup2：∫√[(1+x)/(x-1)≤0
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2) · 2√(1 - x²√(1 - x²)= xarcsin(x) + (1/(e^x + e^(- x))= ∫ e^x/(1 + e^(- x))= ∫ e^x/4]= ln|x + 1/(1 + e^2x)= arctan(e^x) + C∫ xe^(- x) dx = - ∫ x de^(- x)= - xe^(- x) + ∫ e^(- x) dx= - xe^(- x) - e^(- x) + C= - (x + 1)e^(- x) + C∫ arcsin(x) dx= xarcsin(x) - ∫ x d(arcsin(x))= xarcsin(x) - ∫ x/2)∫ d(1 - x² + x)| + C∫ dx&#47∫ (3 + 2x)⁸) dx= xarcsin(x) - (- 1/ - 1/18)(3 + 2x)⁹ d(2x)= (1/2)(1/√[(x + 1/√(x²(1 + e^x) dx= ∫ d(1 + e^x)/(1 + e^2x) dx= ∫ d(e^x)/) + C= xarcsin(x) + √(1 - x²2)∫ (3 + 2x)⁸ + C= (1/2 + √(x²(1 + e^x)= ln(1 + e^x) + C∫ dx/ + C∫ dx/√(1 - x²√[x(1 + x)]= ∫ dx/ d(3 + 2x)= (1/9)(3 + 2x)⁹)/ dx= (1/2)∫ (3 + 2x)⁸ + x)= ∫ dx/2)&#178
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求不定积分∫ dx/√(e^x-1) 看考研视频上该题答案是-2arcsine^（-x/2)+c 但是小弟用令√(e^x-1)=t 的方法做不出该答案啊 请会的朋友帮看看 谢谢了
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//c.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=bb9cfe93b319ebc4c02d7e9db716e3ca/fc1fee7ba786c8175cb0
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出门在外也不愁不定积分的例题分析及解法[1]12-第5页
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不定积分的例题分析及解法[1]12-5
?(；?x)lnx??(；?x)?；1x；dx；?(；3x；?x)lnx??(；?1)dx；?(；（4）设u?arctanx,???x2，则；?x)lnx?；?x?C；d????dx?xdx?d(；于是；?xarctanxdx?；?arctanxd(；13；)?(；)arctanx?；11?x；dx；xarctanx?；3?；(x?x)?x1?x；dx；)d
?(x333?x)lnx??(x332?x)?1xdx?(x3x3?x)lnx??(xx33?1)dx?(（4）设u?arctanx,???x2，则3?x)lnx?9?x?Cd????dx?xdx?d(2x33)于是?xarctanxdx??2?arctanxd(1313x33)?(x333)arctanx??x33?11?x2dxxarctanx?13?1(x?x)?x1?x2dx)dx 21?x1322n?x?ln1(?x)?C
?xarctax366?31xarctanx?313?(x?x一般说来，如果被积函数是多项式与三角函数或指数函数的乘积时，则u选择多项式，而??选择三角函数或指数函数；如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数的乘积时，则u选择对数函数或反三解函数，而??选择多项式。例13
计算下列不定积分（1）?(x2?2)sin2xdx
（2）?1x3lnxdx（3）?xsin2xdx
（4）?x2arcsinxdx
（1）?(x?2)sin2xdx?2?x?sin2xdx?22?2sin2xdx?对第一项用分部积分法求解?xsin2xdx?cos2x12cos2x)??12xcos2x?122?xsin2xdx?2?xd(?121222?2cos2xdx212 xdsin2x????xcos2x?xcos2x?2?12xcos2xdx??(xsin2x?xcos2x?12??sin2xdx)??故
??（2）被积函数是1x31212xcos2x?xcos2x?2212121xsin2x?xsin2x?1414cos2x?C cos2x?C1x3lnx，从形式上看??应选择d????dx?x1x33（否则选择lnx将求不出?）即???dx?d(?12x2，所以)于是?lnxx3??lnxd(?12x12212x)2 112x2???lnx??2x12dlnx??2??2x12?1xdx2xlnx?4x?C（3）被积函数含有sin2x，应先将sin2x降次，然后再计算。?xsin2xdx????1414x?21?cos2x21414dx?12?14xdx?x?2114xcos2xdx?2(xsin2x? 2xdx)x?x?2?xdsin2x?18?sinxsin2x?cos2x?C（4）设u?arcsinx,???x2，则d????dx?xdx?d(213x)于是?xarctanxdx??2?arctanxd(1313133x33)?(x333)arctanx??x33?11?x2 xarctanx?313?(x?x)?x1?x2 ??xarctanx?xarctanx?31316?(x?x?2x1?x2)dx216ln(1?x)?C 例14
计算下列不定积分 （1）I??excosxdx （2）In??cosxdxn（3）J??22a?xdx解
（1）设u?ex，???cosx，则d??cosxdx?dsinx,于是I??exxcosxdx??exdsinxx?esinx??sinxde xx?esinx??esinxdx对于积分?exsinxdx，还要用分部积分法计算，此时仍设u?ex，于是???sinx,d??sinxdx?d(?cosx),因此
?exsinx??exd(?cosx)
?exsinx?excosx??excosxdx?e(sinx?cosx)?Ix移项，两端同除以2，得I?12e(sinx?cosx)?Cx计算该题时，注意以下三点：①第二次分部积分时，选择u和??一定要和第一次选择的函数类型相同，如u都选ex，??都选三角函数(cosx和sinx)，否则第二次积分将与第一次各分相抵销。②出现循环后，移项整理时，等式右端不要忘记加上积分常数C，因为此时右端已没有含积分号的式子了。③此题也可以设u?cosx,???e，即I?x?cosxdex?ecosx?x?exsinxdx?excosx??sinxdex?excosx?exsinx??excosxdx?ecosx?esinx?Ixx移项并整理，得I?12e(cosx?sinx)?Cx（2）
In??cosnxdx??cosn?1xdsinxn?1n?1?sinxcosx??sinxdcoxx?sinxcosn?1x??(n?1)sin2xcox?sinxcos?sinxcos?sinxcosn?12n?2xdxn?2x?(n?1)?(1?cosx)cosx?(n?1)?cosdxdn?1?n?2nxdx??cosxdx?n?1x?(n?1)(In?2?In)合并同类项，整理后得In?1nsinxcosn?1x?n?1nIn?2(n?3)显然：当n?1,2时I1?I2??cosxdx2?sinx?C x?14sin2x?C?cosxdx?12当n?3时，反复运用公式（*），可将被积函数的方次降低，最后归结到I1或I2的函数关系式，从而得到积分结果。（3）此积分可用换元各分法（设x?asint）计算，在此我们用分部积分法求解 设u?22a?x,???1,d??dx，则?a?xdx?xa?x?2222?xd2a?x xdx22?xa?x?22???a?x2222 ?xa?x?22(x?a?a)a?x22222dxxa?xa?x?2222a?xdx?aarcsin22 ?xa?x?J?aarcsiax移项整理有J?12xa?x?22a22arcsinxa?C小结
（1）由于不定积分是微分运算的逆运算，因此计算的难度要比求微分难度更大，事实上，除了少量的简单函数可以直接利用基本积分公式表示出不定积分外，大量的初等函数的原函数并不易按固定程序（如求微分那样）求得。因此求不定积分时需要针对被积函数的特点和类型灵活使用各种积分方法。（2）基本积分表是求不定积分的根本依据，必须熟练掌握基本积分表及其补充的积分公式。 （3）求积分经常是各种方法同时使用，而某些积分又有多种解法（尽管原函数表示形式不相同，但它们最多仅差一个常数），因此要熟练掌握各种积分方法及其技巧。下面举例镐头明如何综合运用各种方法计算不定积分。例15
计算下列不定积分 （1）?e（3）?xdx
（2）?sin(lnx)dxdxx?x2（4）?lncosxcosx2dx（5）?lnxx?lnxdx
（6）?x，则x?t2,dx?2tdt,于是dx?ex 解
（1）设t??exdx??e?2tdt?2?tde?2(te??edt)xtttt?2tet?2et?C?2(x?1)e（2）设u?sin(lnx),d??dx，则?C?sin(lnx)dx?xsin(lnx)??xdsin(lnx) 1xdx?xsin(lnx)??xcos(lnx)??xsin(lnx)??cos(lnx)dx?xsin(lxn)?xcos(lxn)?n) ?xdcos(lx?x?sin(lnx)?cos(lnx)???sin(lnx)dx移项整理得12?sin(lnx)dx?（3）方法一：用第二换元积分法由于x?x?122x?sin(lnx)?cos(lnx)??C14?(x?x?214)?1212()?(x?)， 22设t?x?,则dx?dt,于是?dxx?x2??dt122()?t2?arcsin2t?C包含各类专业文献、各类资格考试、行业资料、应用写作文书、中学教育、高等教育、不定积分的例题分析及解法[1]12等内容。　
　不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法...常见的元理函数积分所采用的换元式如表 5-1 所示: 表 5-1 代换名称 三角... 　不定积分的例题分析 不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定...定积分的方法。 :令(1)第一换元积分法(凑微分法) 令 u = u (x ) )... 　不定积分的典型例题 (1)_理学_高等教育_教育专区。例 1.算 解法 1 x2 ?1 ? x 4 ? 1dx x4 ? 1 ? (x 2 ? 2x ? 1)( x 2 ? 2x ? 1). ... 　不定积分与定积分部分典型例题 不定积分与定积分部分典型例题例 1 验证 F ( ...在解题中 应该注意: 1.熟悉基本积分公式; 2.在解题中经常要对被积函数进行... 　求下列不定积分:知识点:直接积分法的练习――求不定积分的基本方法。 思路分析...C. 1 ? x2 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被... 　1 求 lim n →∞ 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上...x 2 dx = π. 2 解法 2 本题也可直接用换元法求解.令 x ? 1 = sin... 　不定积分的典型例题_理学_高等教育_教育专区。不定积分的典型例题 例 1.算 解法 1 x2 +1 ∫ x 4 + 1dx x4 + 1 = (x2 + 2 x + 1)( x 2 ?... 　不定积分与定积分部分典型例题 不定积分与定积分部分典型例题例 1 验证 F ( ...在解题中 应该注意: 1.熟悉基本积分公式; 2.在解题中经常要对被积函数进行... 　思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! 1 ★(1)...注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有...}