&& 三角形ABC中,角ACB=90,AC=BC,P是三角形ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求角BPC的度数简解 以C为旋转中心,将△CAP旋转90°,使A点和B点重合,P→Q.则CQ=CP,BQ=AP,∠PCQ=90°.∴△PCQ为等腰直角三角形,PQ^2=4+4=8,又∵PQ^2+PB^2=8+1=9=BQ^2∴∠BPQ=90°,故∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°+45°=135°.
&三角形ABC中，角ACB=90，CB=CA,P为BC任一点，求证2CP^2=AP^2 PB^2如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，
练习题及答案
如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=7．请利用旋转的方法求：∠CPA的大小．
所属题型：解答题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，如图，∴∠P′AP=90°，P′A=PA=1，P′C=PB=3，∴△PAP′为等腰直角三角形，∴P′P=2PA=2，∠APP′=45°，在△P′PC中，P′C=3，P′P=2，PC=7，∵（7）2+（2）2=32，∴PC2+P′P2=P′C2，∴△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．
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初中二年级数学试题“如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，”旨在考查同学们对
直角三角形的性质及判定、
勾股定理的逆定理、
图形旋转、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
直角三角形定义：
直角三角形满足毕氏定理（勾股定理），即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各边和角之间的关系也是三角学的基础。
直角三角形的外心是斜边中点；其垂心是直角顶点。
若直角三角形的三边均为整数，称为毕氏三角形，其边长称为勾股数。
直角三角形的面积：
和其他三角形相同，直角三角形的面积等于任一边（底边）乘以对应高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角边）为底边，另一股即为对应的高，因此面积为二股直角边乘积的一半，面积T的公式为
其中a和b是直角三角形的二股。
若内切圆和斜边AB相切于P点，令半周长(a + b + c) / 2为s，则PA = s & a且PB = s & b，面积可表示为
此公式只适用在直角三角形
直角三角形的三边关系：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD)×2=BD·DC，
（2）（AB)×2=BD·BC ， & 射影定理图
（3）（AC)×2=CD·BC 。 & 等积式
（4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明）
(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,
(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
直角三角形的判定方法：
判定1：定义，有一个角为90&的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30&内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90&）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30&角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
考点名称：
勾股定理的逆定理:
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
　说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过&数转化为形&来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
勾股定理定义：
勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理，简称&毕氏定理&，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：
勾股定理是余弦定理中的一个特例[2]。勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理的其它形式：
如果c是斜边的长度而a和b是另外两条边的长度，勾股定理可以写成：
如果a和b知道，c可以这样写：
如果斜边的长度c和其中一条边（a或b）知道, 那另一边的长度可以这样计算：
考点名称：
圆形的旋转定义：
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
图形旋转性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转对称中心
把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做 旋转对称图形，这个定点叫做 旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（旋转角大于0&小于360&）
圆的面积公式：
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是s=ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以&，S=&r²。
圆的周长公式：
学过&等于圆周长（c）：圆的直径（D），圆的半径（R）那圆的周长（c）除以圆的直径（R）等于&，那利用乘法的意义，就等于 &乘以圆的直径（R）等于圆的周长（C），C=&d。而同园的直径（R）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以&乘以圆的半径（r），C=2&r。
圆的表面积：
圆的切线的性质：
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
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如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-安徽模拟
分析与解答
习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（...”的分析与解答如下所示：
（1）由题意可得△ABP∽△BCP，所以PB2=PAoPC，即PB=2√3；（2）在BB'上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．由此可以证明△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'为正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点即费马点；要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．
解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，∴PAPB=PBPC∴PB2=PAoPC=12，∴PB=2√3；（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，∴△PCE为正三角形，∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．∵△ACB'为正三角形，∴AC=B′C，∠ACB'=60°，∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，∴∠PCA=∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，∴P为△ABC的费马点．∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．（3）如下图，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF，∴AF∥MC，∴四边形AMCF是平行四边形，又∵FA=FC，∴四边形AMCF是菱形，∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，∵在△BAC与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM∴∠BAC=∠DAM在△ABC和△ADM中AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM∴△ABC≌△ADM（SAS）故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM=CA，再连接AM、DM、EM （辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）易证△AMC为等边三角形，在△ABC与△MEC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△ABC≌△MEC（SAS），∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，又∵DB=AB，∴DB=ME，∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，∴∠DBC=∠BME，∴DB∥ME，即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，∴四边形DBEM是平行四边形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF．
此题考查了等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
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如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（...
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经过分析，习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（...”主要考察你对“等边三角形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
与“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（...”相似的题目：
在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　）4567
等边△ABC的高为3cm，则△ABC的面积为&&&&．
如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，且满足∠EBD=70°，求∠AEB的度数．
“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，...”的最新评论
该知识点好题
1如图，半径OA等于弦AB，过B作⊙O的切线BC，取BC=AB，OC交⊙O于E，AC交⊙O于点D，则BD和DE的度数分别为（　　）
2给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
3（2012o天门）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　）
该知识点易错题
1给出下列四个结论，其中正确的结论为（　　）
2如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是（　　）
3如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③EQ=DP；④∠AOB=60°；⑤当C为AE中点时，S△BPQ：S△CDE=1：3．其中恒成立的结论有（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．”相似的习题。三角形ABC中,BC=1,角ACB为直角,角ABC=60度.P为三角形内一点,使角APB=角APC=角BPC.求PA,PB,PC._百度作业帮
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三角形ABC中,BC=1,角ACB为直角,角ABC=60度.P为三角形内一点,使角APB=角APC=角BPC.求PA,PB,PC.
三角形ABC中,BC=1,角ACB为直角,角ABC=60度.P为三角形内一点,使角APB=角APC=角BPC.求PA,PB,PC.
由题意,AB=2,AC=根号3,先求三线长度和,设PA=a,PB=b,PC=c,利用余弦定理,可知a^2+b^2+1/2*a*b*cos120度=a^2+b^2+ab=AB^2=4,式（1）a^2+c^2+1/2*a*c*cos120度=a^2+c^2+ac=AC^2=3,式（2）c^2+b^2+1/2*c*b*cos120度=c^2+b^2+cb=CB^2=1,式（3）而且由面积公式可以得出SABC=1/2*sin120度*(ab+bc+ca)=1/2BC*AC,有ab+bc+ca=2,式（4）(1)+(2)+(3)+3*(4)=2(a+b+c)^2=14,所以a+b+c=根号7然后(1)-(3)=(a-c)(a+b+c)=3,(2)-(3)=(b-c)(a+b+c)=1可以得a-c=3倍根号7/7,b-c=根号7/7a=4倍根号7/7,b=2倍根号7/7,c=根号7/7如图所示,在三角形abc中,ab=ac=6,p为bc上任意一点,请用所学知识求 PC 乘 PB 加 PA平方的值用勾股定理_百度作业帮
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如图所示,在三角形abc中,ab=ac=6,p为bc上任意一点,请用所学知识求 PC 乘 PB 加 PA平方的值用勾股定理
如图所示,在三角形abc中,ab=ac=6,p为bc上任意一点,请用所学知识求 PC 乘 PB 加 PA平方的值用勾股定理
过点作AO⊥BC,交BC于点O.∵AB=AC=6 ∴BO=CO ∴△AOP和△AOC均为直角三角形,由勾股定理得：PC×PB+PA²=（CO+OP)(CO-OP)+PA²=CO²-OP²+PA²=PA²-OP²+CO²=AO²+CO² =AC²=36}