点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）
（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．
（1）（2）根据平行四边形的判定性质求证．
（3）把结论当做已知条件，由结论推出已知．
证明：（1）∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G
∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线
∴DG∥BC& EF∥BC DG=BC& EF=BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：成立，
理由是：如图所示，
∵由（1）知，DG∥BC& EF∥BC DG=BC& EF=BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；
（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形．
由三角形中位线性质得DE=EF，
所以平行四边形DEFG是菱形．在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC,BD相交于点O，E是线段AC上一点，过点A作直线BE的垂线，垂足为点G，交直线OB于点F，OE与OF有怎样的关系写出你的猜想并给予证明
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC,BD相交于点O，E是线段AC上一点，过点A作直线BE的垂线，垂足为点G，交直线OB于点F，OE与OF有怎样的关系写出你的猜想并给予证明
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证明：∵正方形ABCD&&&& &∴OA=OD=OB，∠BAD=90°，AB=AD，∠AOB=90°&&&& &∴∠OAB=ODA=45°&&&&& ∵∠BAD=∠BAG+∠FAD=90°&&&&& ∵AG⊥BE&&&&& ∴∠AGB=90°&&&&& ∴∠BAG+∠ABG=90°&&&&& 又∵∠BAD=∠BAG+∠FAD=90°&&&&& ∴∠FAD=∠ABG&&&&& 在△BAE和△ADF中&&&&&&&&& ∠ABE=∠DAF&&&&&&&&& BA=AD&&&&&&&&& ∠BAE=∠ADF&&&&& ∴△BAE≌△ADF&&&&& ∴AE=DF&&&&& ∴AO-AE=OD-DF，即OE=OF
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题：
在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，画出图形（如图），
给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定△ABC是等腰三角形．
请你用序号在横线上写出所有情形．答：①③，①④，②③和②④；（4分）
（2）选择第（1）题中的一种情形，说明是△ABC等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择①④．（6分）
解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∴∠OBC=∠OCB．
又∵∠DBO=∠ECO，
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：①③，①④，②③和②④；①④．
（1）要证△ABC是等腰三角形，就要证∠ABC=∠ACB，根据已知条件即可找到证明∠ABC=∠ACB的组合；
（2）可利用△DOB与△EOC全等，得出OC=OB，再得出∠OCB与∠OBC相等，就能证明∠ABC与∠ACB相等．如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y=kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过点A，C两点的直线解析式；（2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由；（3）如果将直线AC作向上平移，交Y轴于点C′，交AB于点A′，连接DC′，过点E作EF′∥DC′，交A′C′于点F′，那么能否使四边形C′DEF′成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由．
（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式；（2）D在OB上移动，设出D点坐标，根据矩形性质CD⊥DE，从而有一个斜率关系，代入可求出D点坐标，从而求出直线DE；（3）在第二问的基础上继续延伸，使其成正方形，要求C′D=DE就可以了，列出方程解出直线DE解析式，再求出边长就解决问题了．
（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（4，8），C（0，5），∴$\left\{\begin{array}{l}{8=4k+b}\\{5=b}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{3}{4}$，b=5，∴直线AC的解析式为：y-5=$\frac{3}{4}$x，即y=$\frac{3}{4}$x+5；（2）设D（m，0），∵${k}_{AC}=\frac{3}{4}$，AC⊥CD，∴k=kCD=-$\frac{4}{3}$，∴$\frac{5-0}{0-m}=-\frac{4}{3}$，∴m=$\frac{15}{4}$，∴点D（$\frac{15}{4}$，0）代入y=kx+b，∴b=$-\frac{45}{16}$，k=$-\frac{4}{3}$；（3）假设存在这样的正方形则由题意：将直线AC作向上平移，则可设直线AC的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+5+c，∵A′C′∥DE，∴k=$\frac{3}{4}$直线DE的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+b，令y=0，得x=$-\frac{4}{3}$b，设D（$-\frac{4}{3}$b，0），C′（0，5+c），又∵E点横坐标为4，∴E（4，3+b），∵DC′⊥DE，∴${k}_{DC′}=-\frac{4}{3}$，∴$\frac{5+c}{\frac{4}{3}b}=-\frac{4}{3}$，①∵由题意使四边形C′DEF′成为正方形，∴C′D=DE，∴$\sqrt{{（5+c）}^{2}+{（\frac{4}{3}b）}^{2}}$=$\sqrt{（{3+b）}^{2}+（{4+\frac{4}{3}b）}^{2}}$，②由①②解出b=$-\frac{9}{7}$（正值已舍），c=$\frac{19}{7}$，∴边长为$\sqrt{{（5+c）}^{2}+{（\frac{4}{3}）}^{2}}$=$\frac{20}{7}$，∴正方形的面积S=$\frac{20}{7}×\frac{20}{7}=\frac{400}{49}$．线段OA⊥OB，且OA=OB，将线段OA绕点O顺时针旋转角α至OC，连接AC、BC，点P为AC_百度知道
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（1）①AOC和BOC均为等腰三角形，故∠ACO=90º-½∠AOC、 ∠BCO=90º-½∠BOC.得：∠ACB=∠ACO+∠BCO=(90º-½∠AOC)+(90º-½∠BOC)=180º-½(∠AOC+∠BOC)=135º.②OP为等腰三角形AOC底边上的中线，即是顶角平分线，故∠POC=½∠AOC。又∠POC+∠NOC=∠PON=45°=½∠AOC+½∠BOC,得：∠NOC=½∠BOC则知ON为等腰三角形BOC的顶角平分线，即是底边上的中线。连接AB，则PN为三角形ABC的中位线，得：PN=½AB=(√2/2)AO。（2）①同上理，∠ACB=∠BCO-∠ACO=(90º-½∠BOC)-(90º-½∠AOC)=½(∠AOC-∠BOC)=45º②连接AB，同理可得(过程从略)：则PN为三角形ABC的中位线，得：PN=½AB=(√2/2)AO。
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