我们证明对任意正整数 n ，以及任意 a_i>0(i=1,2,\cdots,n) 成立不等式：\color{blue}{\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}} .\rm{Proof:} \rm{Step} \ 1: 先进行特殊情况当 a_1a_2\cdots a_n=1 ，只需要证明 a_1+a_2+\cdots +a_n\geq n .我们用调整法进行证明.\rm{Case} \ 1: 若 a_1=a_2=\cdots=a_n=1 ，结论显然成立.\rm{Case} \ 2: 若 a_j(\forall 1\leq j\leq n) 不全为 1 ，此时一定有 \min\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}<1 (否则 a_1a_2\cdots a_n\geq \left(\min\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\right)^n>1 ，矛盾)，不妨设 a_1=\min\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}<1 ，\max\{a_2,a_3,\cdots,a_n\}>1 (否则 a_1a_2\cdots a_n<1 ，矛盾).于是可设 a_2=\max\{a_2,a_3,\cdots,a_n\}>1 .令 b_1=1,b_2=a_1a_2,b_k=a_k(\forall k\geq 3) ，此时 b_1b_2\cdots b_n=a_1a_2\cdots a_n ，但是 \begin{align} &(b_1+b_2+\cdots+b_n)-(a_1+a_2+\cdots+a_n)\\ =&b_1+b_2-a_1-a_2\\ =&1+a_1a_2-a_1-a_2\\ =&\left(1-a_1\right)\left(1-a_2\right)\\ <&0 \end{align} 即 b_1+b_2+\cdots+b_n<a_1+a_2+\cdots+a_n .如此操作至多 n-1 次， n 个数将全变为 1 ，但每次变化后，这 n 个数的和将一直减小，于是\begin{align} &a_1+a_2+\cdots+a_n\\ >&b_1+b_2+\cdots+b_n\\ >&\cdots+\cdots+\cdots+\cdots\\
>&1+1+\cdots+1\\ =&n . \end{align} \rm{Step \ 2:} 记 {\rm{A}}=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n} ，令 x_i=\dfrac{a_i}{{\rm{A}}}(i=1,2,\cdots,n) ，则 x_1x_2\cdots x_n=1 .由 \rm{Step \ 1} 知道 x_1+x_2+\cdots+x_n\geq n ，即 \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} . \square 由 \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} ，令 a_i=\dfrac{1}{y_i} ，得到 \sqrt[n]{\dfrac{1}{y_1y_2\cdots y_n}}\leq\dfrac{\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}+\cdots+\dfrac{1}{y_n}}{n} ，也就是说 \color{\blue}{\dfrac{n}{\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}+\cdots+\dfrac{1}{y_n}}\leq\sqrt[n]{y_1y_2\cdots y_n}} .最后，我们证明 \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}} ，即证明 \left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2<\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n} ，也即证明 \left({x_1+x_2+\cdots+x_n}\right)^2<n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) ，而 \begin{align} &\left({x_1+x_2+\cdots+x_n}\right)^2-n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{n}x_ix_j-n\sum_{i=1}^{n}x_i^2\\ \leq&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\dfrac{x_i^2+x_j^2}{2}-n\sum_{i=1}^{n}x_i^2\\ =&0 \end{align} 等号成立当且仅当 x_i=x_j,\forall 1\leq i,j\leq n .故 \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}} . \square }

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展开全部在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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展开全部三元均值不等式的成立条件1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3(当且仅当a=b=c是取等号)。2.当abc为定值时,(a+b+c)/3有最小值为三次方根(abc)。三次方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cuberoot).这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。（注意：3√a中的指数3不能省略，要写在根号的左上角。）
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展开全部因为x>0原函数可化为y=x^2+4/x+4/x由均值不等式，原式≥3倍的3次根号下(x^2乘以4/x乘以4/x)括号中为3次根号下的值即函数最小值为3倍的3次根号下16（当x=3次根号下4时取得此值）Word的数学公式写不进来，气死我啦~~~害得我得用汉语打…',getTip:function(t,e){return t.renderTip(e.getAttribute(t.triangularSign),e.getAttribute("jubao"))},getILeft:function(t,e){return t.left+e.offsetWidth/2-e.tip.offsetWidth/2},getSHtml:function(t,e,n){return t.tpl.replace(/\{\{#href\}\}/g,e).replace(/\{\{#jubao\}\}/g,n)}},baobiao:{triangularSign:"data-baobiao",tpl:'{{#baobiao_text}}',getTip:function(t,e){return t.renderTip(e.getAttribute(t.triangularSign))},getILeft:function(t,e){return t.left-21},getSHtml:function(t,e,n){return t.tpl.replace(/\{\{#baobiao_text\}\}/g,e)}}};function l(t){return this.type=t.type
"defaultTip",this.objTip=u[this.type],this.containerId="c-tips-container",this.advertContainerClass=t.adSelector,this.triangularSign=this.objTip.triangularSign,this.delaySeconds=200,this.adventContainer="",this.triangulars=[],this.motherContainer=a("div"),this.oTipContainer=i(this.containerId),this.tip="",this.tpl=this.objTip.tpl,this.init()}l.prototype={constructor:l,arrInit:function(){for(var t=0;t0}});else{var t=window.document;n.prototype.THROTTLE_TIMEOUT=100,n.prototype.POLL_INTERVAL=null,n.prototype.USE_MUTATION_OBSERVER=!0,n.prototype.observe=function(t){if(!this._observationTargets.some((function(e){return e.element==t}))){if(!t
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d==t?(v=!0,g=n):d!=t.body&&d!=t.documentElement&&"visible"!=m.overflow&&(g=o(d)),g&&(r=g,i=p,a=void 0,s=void 0,u=void 0,l=void 0,f=void 0,h=void 0,a=Math.max(r.top,i.top),s=Math.min(r.bottom,i.bottom),u=Math.max(r.left,i.left),l=Math.min(r.right,i.right),h=s-a,!(p=(f=l-u)>=0&&h>=0&&{top:a,bottom:s,left:u,right:l,width:f,height:h})))break;d=c(d)}return p}},n.prototype._getRootRect=function(){var e;if(this.root)e=o(this.root);else{var n=t.documentElement,r=t.body;e={top:0,left:0,right:n.clientWidth
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0:-1,r=e.isIntersecting?e.intersectionRatio
0:-1;if(n!==r)for(var i=0;i0&&function(t,e,n,r){var i=document.getElementsByClassName(t);if(i.length>0)for(var o=0;o展开全部><.5599检验：当x<4^(1/1;x=4*x^(-2)两边同时乘以x^2(其为正数)=>.587时，y最小，且为7.5599中间用分数表示不好运算，约算为小数了;3)时y'，你看看答案对吧;x=4^(1/3)≈1;3)时y'x^3=4=>。好久以前学的知识了.587≈7;0所以极值为极小值故x=1.587将x值代入原方程有极值得;0当x>4^(1/：y=(1.587)^2+8/=2x-8*x^(-2)=0时有极值=>2x=8*x^(-2)=>求y的导数y'展开全部三元均值不等式的成立条件1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3(当且仅当a=b=c是取等号)。2.当abc为定值时,(a+b+c)/3有最小值为三次方根(abc)。三次方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cuberoot).这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。（注意：3√a中的指数3不能省略，要写在根号的左上角。）
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