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三元基本不等式三元基本不等式
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.
基本不等式在求最值中的应用与完善
杨亚军
函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，
它的重要性不仅在题型的
多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考
应用题几乎都与最值问题有关
, 而基本不等式是解决此类实际问题的有力工
具 . 本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会
. 只
有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，
才能更好地去解
决实际应用问题。
一、
基本不等式的内容及使用要点
1、 二元基本不等式：
2
2
①a，b ∈R时， a +b ≥2ab
（当且仅当 a=b 时“=”号成立）；
②a，b≥0 时， a+b≥2
（当且仅当 a=b 时“ =”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之
内
，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式
及公式的变形： ab≤
，ab≤
。对不等式 ab≤
，
还有更一般的表达式：
ab
≤
。
由数列知识可知，
称为 a，b 的等差中项，
称为 a，b 的
等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数
.
的等比中项不大于它们的等差中项”。
2. 三元基本不等式：
当 a，b，c>0 时，a+b+c≥
，当且仅当 a=b=c 时，等号成立， ……
乃至
n
元基本不等式；当
ai >0
（i=1 ，2，…， n ）时， a1+a2+…+an ≥
。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：
当 a>0，b>0 时，
≥2，a+
≥2 等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，
如 a<0 时，可得到
a+
≤-2 。
基本不等式中的字母
a，b 可代表多项式。
3. 利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要
方法之一。利用基本不等式求函数最值时，
其条件为“一正二定三等”，
“一正”指的是在正实数集合内，
“二定”指的是解析式各因式的和或
积为定值（常数） ，“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，
既可适用于已
学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，
此时不能认为该函数不存在最值，
因为通过化归思想和初等变形手段可
以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数
等。
在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接
法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。
一般说来， “见和想积, 拆低次 , 凑积为定值 , 则和有最小值；
2
见积想和 ,
拆高次 , 凑和为定值 , 则积有最大值。”
二、基本不等式求最值的应用
例 1、已知 a>1，0<b<1，求证： log ab+log ba≤-2 。
解题思路分析：}