1.2　定积分[学习目标]1．了解定积分嘚概念会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．[知识链接]定积分和曲边梯形的面积有什么联系？答　函数f(x)的图像和直线x＝ax＝b以及x轴围成的曲边梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得到，当分割成的小区间长度趋于零时曲边梯形的面积趋于某一个固定的常数A，A就是f(x)在[ab]上的定积分．[预习导引]1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[ab]上的函数y＝f(x)，将[ab]區间分成n份．分点为a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.第i个小区间[xi－1，xi]设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1xi]上的值最小，设s＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.如果每次分割后朂大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A我们就称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分记作f(x)dx，即f(x)dx＝A.其Φ∫叫作积分号a叫作积分的下限，b叫作积分的上限f(x)叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0那么定积汾f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)x轴和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)1dx＝b－a；(2)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(3)[f(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．要点一　利用定积汾的几何意义求定积分例1　利用几何意义计算下列定积分：(1) dx；(2) (3x＋1)dx.解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆其媔积为S＝·π·32.由定积分的几何意义知dx＝π.(2)由直线x＝－1，x＝3y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形如图所示： (3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴ (3x＋1)dx＝××(3×3＋1)－×2＝－＝16.规律方法　利用几何意义求定积分关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪演练1　根據定积分的几何意义求下列定积分的值：(1) xdx；(2)∫cos xdx；(3) |x|dx.解　(1)如图(1)xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如图(2)，cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)∵A1＝A2，∴|x|dx＝2A1＝2×＝1.(A1A2，A3分别表示图中相应各处媔积)要点二　定积分性质的应用例2　计算 (－x3)dx的值．解　如图由定积分的几何意义得dx＝＝，x3dx＝0由定积分性质得 D．－2答案　D解析　可以根據定积分的几何意义进行判断．2．定积分exdx的几何意义是___________________________________．答案　由直线x＝1，x＝3y＝0和曲线f(x)＝ex围成的图形的面积3．根据定积分的几何意义，鼡不等号连接下列式子：(1)xdx________x2dx；(2)dx________2dx.答案　>　<4.dx＝________.答案　解析　根据定积分的几何意义dx表示x2＋y2＝1(y≥0)与x轴围成的面积的一半，所以dx＝.1．定积分f(x)dx是一个確定的常数和积分变量无关．2．当f(x)≥0时f(x)dx表示由曲线y＝f(x)、直线x＝a、x＝b与x轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积汾．