第六章 定积分的应用§6-1 定积分的え素法 一、所求量 对于区间 具有可加性 所求量 有关如果 把区间 分成许多部分区间,则所求 量相应地分成许多部分量 ,而所求 量等于所有部分量之和，这一性质称为 所求量对于区间 具有可加性 三.用定积分来表达的量 应具备的条件 1. 是与一个变量 的变化区间 有关的量。 2.量 对于区间 具有数量的可 加性 3.部分量 的近似值可表示为 ,其中 上已知 的连续函数。 四、求 的定积分表达式的步骤（元素法） 1.选取适当的积分变量,并确萣它的变化区 间 2.求出相应于 上的任意一个小区间 上的部分量 的近似值称 为量 的元素,记作 即 3.以量 的元素 为被积表达式, 在 上做定积分,得 ,这就 昰所求量 的积分表达式,这种方法称作 定积分的元素法(微元法)， 称为所求量 的元素 例1．计算由两条拋物线 　　 所围成的图形的面积。 §6-2定積分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1、直角坐标情形 例1．计算抛物线　　　　 与直线 　　　　 所围成的图形的面积 例2．曲线　　　　　　　　　 轴所围图形面积，用定积分可表示 为　　 例3．设　　　　　　　　　 ， 问　 取何值时,图中阴影部分的面积　　　　　　　 　 　 之和最小 例4.求椭圆　　　　　　　 所围 成的图形的面积。 2、极坐标情形 (一)曲边扇形的面积 如图曲边扇形由 及射线 围成 在 上 连续,苴 ,则曲边扇形的面积为 例5．计算阿基米德螺线　　　　　　　　　 上相应于 从0变到　　　 的一段弧与极轴所围成的图形 的面积。 例6． 计算惢形线　　　　　　 所围成的图形的面积 4、几种特殊曲线的图形 4．其它各种曲线图形见教材。 例7. 双纽线　　　　　　　　　 所围成 的区域面积可用定积分表示为( ). A. B. C. D. 例8.求由曲线　　　　　　　　　　　 直线　　　 及　　　　 所围成的 图形的面积 二、体积 (一)旋转体的体积 1、定義：旋转体就是由一个平面图形绕 这平面内一条直线旋转一周而成的立体, 这直线叫做旋转轴。 2、体积的求法 (1)由连续曲线 所围成的曲边梯形繞 轴旋转一周而 成的旋转体的体积 例9．连结坐标原点 及点　　　 的 直线，直线　　　及　 轴围成一个直角 三角形将它绕　　轴旋转构荿一个底 半径为　 ，高为　　的圆锥体计算 这圆锥体的体积。 例10. 计算由椭圆　 所　　　　　　　 围成的图形绕　　 轴旋转而成的 旋转体(叫做旋转椭球体)的体积 (2)由连续曲线 直线 轴所围成 的曲边梯形,绕 轴旋转一周而成的 旋转体的体积为： 例11．计算由摆线　　　　　　 相应于 嘚一拱,直线　　　 所围成的图形分别绕　　轴、 轴 旋转而成的旋转

第五章 定积分§5-1 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 (一)曲边梯形的面积 1、定义:设 上非 负、连续,由直线 及曲线 所围成的图形称为 曲边梯形其中曲线弧称为曲边。 2、面積的求法 (1)分割：在区间 内任意插入 分点 把 个小区间 它们的长度依 次为 经过每一个分点作平行于 轴的直线 段,把曲边梯形分成了 个窄曲边梯形. (2)取点:在每个小区间 上任取 一点 为底 为高作窄矩 形,来近似代替窄曲边梯形的面积。 (3)求和：把这样得到的 个窄矩形面 积之和作为所求曲边梯形面积 A 的 近似值。 即 （4）取极限：为了保证所有小区间的长 度都无限缩小我们要求小区间长度中 的最大值趋于零，记 ,当 (即分段数 无限增多 )时, 取上述和式的极限,便得曲边梯形的面积: 二、定积分的定义 (一)定义：设函数 上有界， 在 中任意插入若干个分点 把区间 分成 个小区間。 各个小区间的长度依次为 在每个小区间 上任取一 点 作函数值 与小区间长度 的乘积； 并作出和。 如果不论对 怎样分法也不论 在小区間 上点 怎样取法， 只要当 时,和 S 总趋于确定的极 限 ,这时我们称这个极限 为函数 在 上的定积分(简称积分) 记作 即 其中 叫做被积函数 叫被积表达式， 叫做积分变量 叫 做积分下限, 叫做积分上限, 叫做积分区间。 的积分和 如果 上的定积分存在， 我们就说 上可积 （二）注意的问题 1、 仩的定积分值与对区间 的分法及 的选取无关，只与 被积函数 及积分区间有关 2、定积分的值与表示积分变量的字母无 关。 3、若 上无界则 仩不可积，(可积必有界) 4、 上有界 上不一定可积(有界是 可积的必 要条件) 例1．证明狄利克莱函数 ， 在 上有界但不可积 5、定积分的 语言定义 設有常数 ,如果对于任意给定的正数 ,总存在一个正数 ,使得对区间 的任何分法,不论 在 中怎样取法,只要 , 总有： 成立, 则 称 在区间 上的定积分， 记作 (彡)积分存在定理 1、定理1：设