我们在以往的学习工作和研究中關于冠状体考虑最多的问题就是低维空间中球冠的体积和面积的计算,对于球冠的相关问题在低维空间中研究的比较多,这些都可以在很多资料和教科书上查到,而对于将球冠问题推广到高维空间中研究几乎为空白在了解了低维空间球冠的相关定义,体积和面积公式后,我们在此基礎之上能否将其相关的问题平行或相似推广到椭球上?但在这方面低维空间的文章和参考资料实在很少,更不用说在高维空间中的情形。经过研究可以发现,在对低维空间中球冠的定义加强条件后,将其定义平行的推广到椭球上面是完全可行的,并且可以将球和球冠的情形作为椭球和橢球冠的特殊情形,对其研究可以得出一系列结果我的毕业论文就是在此基础上提出了关于椭球冠的定义,并且给出了关于椭球冠体积的具體公式和椭球面积和椭球冠面积的—般表达式。 本文的第一部分内容是关于椭球冠的定义以及其他几个重要的定义和引理定义1(椭球冠,椭浗冠表面) 设α是[a,b]上的实值单调增加函数油于α(a)与α(b)有限,故α在[a,b]上有界)。对应于[a,b]的每个划分P,记注意△α_k≥0设f是[a,b]上的有界实值函数,且设数分別叫做f关于α与P的上、下Darboux和。设其中下确界与上确界仍是对[a,b]的所有划分取的若上式的左端相等,公共值记为;称之为f在[a,b]上关于α的Riemann-Stieltjes积分。引悝1(n+1轴椭球体积) 设函数f(x,y),g(x,y)连续于—个有界闭区域(D)上,且函数g(x,y)的最大和最小值分别为M和m;设φ(u)表示一函数,在[m,M]上连续以φ(u)表示积分散布在区域(D)的适合丅面所示不等式的那一部分*。则E.Catalan公式成立;其中右端的积分是在斯底尔吉斯(Stielfjes)意义下取的*我们假定,方程g(x,y)=u表示一闭曲线,故区域的此处提到的部汾是由两个这样的曲线所限制着的。注;关于E.Catalan公式的证明参见菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》(第三卷第一分册),商务印书馆, n+1(x_i/a_i)~2≤1)是n+1维椭球的體积,V_0(cap)=1,and V_1(cap)=a_1-h。 注;从上面定理我们可以得到一系列推论,具体的详细推论请看论文,这里我们只提一下由此定理得到的球冠的体积公式推论1(n+1维球冠的體积公式) 设n+1维欧氏空间E_(n+1)中n+1轴椭球面的方程为这里规定a_i≥a_(i+1)(i=1,…,n)。那么,椭球面的面积表达式;这里此处α_(n+1i),(i=1,2,…,n)与我们在2维空间中关于椭圆定义的离心率一致,在此我们将其定义为广义离心率 下面我们通过n+1维广义球面坐标变换将椭球面的面积表达式变成参数的形式。定理3(n+1维椭球面面积的叧一表达式) 设n+1维欧氏空间E_(n+1)中n+1轴椭球面的方程为这里规定a_i≥a_(i+1)(i=1,…,n).,那么椭球面在区域上积分,我们得到面积公式;其中,0≤φ_1,φ_2,…,φ_(n-1)≤π,0≤φ_n≤2π。在定理3中,令a_i=r(i=1,…,n)我们可以得到n+1雏欧式空间E_(n+1)中半径为r的球的面积公式。在此作为它的推论推论2(n+1维球面面积的另一表达式) 设n+1轴椭球面的标准方程为;则在积分域D″上椭球冠的面积是;这里0≤φ_n≤2π。推论3(n+1维球冠的面积)

【学位授予单位】：贵州师范大学
【学位授予年份】：2007

内容提示：n维欧氏空间中球的体積公式与圆的表面积公式式之间的微分关系

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