为什么一个数的零次幂等于1？
的次方表示，这种算法我是知道的。但为什么的次方，表示个相乘，而个相乘不是等于吗？”这种表达错在哪？
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上面说了这么多。没学代数的人来用“ 群环域 ”解释一下的？a^0=1才能满足群的要求啊。---------------------------------看了题干。0个5相乘再乘2个5相乘 = 25.2个5相乘 = 25.所以0个5相乘必须定义为1了。
我是学渣，发表一下个人的理解，等大神指正。对于不同类型的数的幂，是用不同的方式定义的。「A的B次方就意味着B个A相乘」——这并不是乘方运算的定义，而是一种直观理解而已。这仅仅适用于正整数指数幂，只不过是因为绝大多数人，最初接触乘方运算，都是从2次方3次方这样的正整数指数幂入手的，所以先入为主地形成了这种直观理解。除了正整数指数幂，还有负整数指数幂，分数指数幂，无理数指数幂，虚数指数幂呢……所以说，除了楼主提到的0次方很难理解，x^0.5也不能直观地理解为半个x相乘吧？x^π呢？x^i就更怪了，i个x相乘？根本无法理解嘛！对于正整数指数幂，我们都可以很直观地理解，而且很显然满足(x^a)(x^b)=x^(a+b)，(x^a)/(x^b)=x^(a-b)这样的运算法则。咦，人们发现，上面的第二个公式中，a可以小于b耶，a-b就是个负数啦，用运算法则套一套，x^(a-b)就是x^(b-a)的倒数嘛，并且这种表示方法依然挺科学的呀，顺理成章地，a=b的时候，也就是0次方，代入上面第二个公式，发现分子分母相等，就等于1了呗。为什么我们说0的0次方没有意义？原因也就在这，它是从这个运算法则里推广出来的，就跟分母等于0差不多，所以没意义了。综上，我们就定义，正整数指数幂x^n，就是n个x相乘。而负整数指数幂和零指数幂，根据运算法则可以得出。这样一来，乘方的表示法从正整数推广到了0和负整数，并且这种表示法在运用中不会导致什么错误，非常的棒！下面就讲得浅一点，因为再讲深一点的话我也不懂了。对于分数指数幂，我们定义 x^(p/q)=(x的p次方)开q次方根。很多高中老师会举几个实际的例子（比如2的4次方再开平方，27的平方再开3次方之类的比较直观的），让学生通过观察来增进对分数指数幂的理解。我觉得这么教其实不太好，当然这种方法比较快捷，老师讲一遍学生就可以开始做题了……某种程度上讲，这个规律是从(x^a)^b=x^(ab)这个运算法则中发现的，分数指数幂也满足这个法则。稍加推演，我们会发现，0的正分数指数幂就是0，0的负分数指数幂无意义。综上，很显然，「A的B次方就意味着B个A相乘」这句话无法适用于分数指数幂，语文上讲不通。无理数指数幂，简直太蛋疼了，无理数没办法表示为分数。比如x^π，π是3.14159……无限不循环，这怎么玩？在数轴上，π占据了一个点，而数轴上分布着无数多个点，我用其他的有理数点(记为n吧)不停去逼近π，越靠越近，当这个n与π非常非常接近的时候，x^n与x^π 也非常非常接近了。当然，要问这个n具体等于多少？这个是说不出来的，最终n并不是哪一个具体的有理数，而是一个逼近的过程，也就是说，当有理数n越来越接近π的时候，x^n的值也越来越接近我们要找的那个x^π的值。【多谢评论2楼的@李博扬，指出了我之前表述中的不严谨。】于是我可以理解为，x^a(其中a为无理数)就等于 lim[n→a，n是有理数]x^n，用极限来理解的。很显然，不能用「A的B次方就意味着B个A相乘」来理解无理数指数幂。做到这里，高中生们纷纷如释重负，这个设定还真是科学啊，一定是我打开的方式太正确了，于是定义在实数域上的幂函数就是一条连续的曲线了。虚数指数幂，是用欧拉公式定义的，e^ix=cosx+isinx，推导过程就是把e^y展开成幂级数，然后用xi把y代换掉，把新的幂级数求和。其实学渣我也没学过复分析……不过我想很多人都知道被称为「上帝创造的公式」的 e^πi+1=0很显然，「A的B次方就意味着B个A相乘」这句话，跟虚数指数幂更是八竿子打不着。【多谢评论1楼的@Fan】关于虚数指数幂，我只是很简单地带过，原因有2。首先，因为我不太懂，我大学的专业也还没到要学复分析的程度，加上我数学算是不太好的，顶多用生活化的语言随便聊聊，聊深了我的数学知识甚至数学思维就经不起推敲了。其次，我看到题主提这个问题，第一反应感觉题主似乎是一个高中生。并没有瞧不起的意思，而是我回想起了自己曾经的感受，对于楼主这个问题，我在高中学习幂函数期间，心中也有过类似的疑惑（只可惜当时我觉得题目会做就行了，并没有仔细思考，如果当时就有知乎，可能我也会来提这个问题吧）。而当我高三和高考之后，我觉得自己很厉害呀，高中的数学老子全懂了，幂函数这么简单的呵呵——有这种心态的高中毕业生可能不止我一个吧？有这种心态，也就不会提这种问题了。而大学数学系的，或者需要学高等数学的学生，通常直接就用实分析和复分析的知识来理解这个幂的问题了，也不太会来知乎提问。所以我当时第一反应推测题主可能是高中生，如果他将来学数学，会比我更懂；如果他将来不学数学，我这么简单浅显的回答应该也够了。既然如此，虚数指数幂这么蛋疼的我自己都不太搞得懂的知识，就一笔带过吧，欧拉公式还是很美的，所以我顺便提一提，就当是写作文先摘抄一句名人名言吧。不过多亏了Fan的提醒，有一个东西是要补充的，如果题主真的是高中生，可能对此有所疑问：e^ix=cosx+isinx 这个公式怎么能定义所有的虚数指数幂呢？如果我的底数不是e 怎么办，比如3^i是多少？那就写成这样， 3^i=e^[ln(3^i)]=e^(i·ln3)，形状就跟之前的公式一样了。于是有，e^(i·ln3)=cos(ln3)+i·sin(ln3)，就是这么定义的于是一些比较典型的值，我们都可以自己算着玩玩，加深一下体会，比如1^i总之，虚数指数幂，我本人完全无法在脑中形成图像化的、直观的理解，可能是我空间想象能力比较差，看个地球仪都费劲。综上，「A的B次方就意味着B个A相乘」 这句话，你可以默默留在心里，这有助于理解幂函数的单调性。如果将来不准备成为专业的学者，你不一定要理解得多么透彻，只要心中明白「2的π次方？反正比2的3次方稍微大一点」就行了，至于2的π次方到底是多少，就随它去吧。
简单理解就是5^0=5^(a-a)=5^a/5^a=1
最近刚好在看《程序员的数学》（结城浩 著）一书，书中第一章就是讲“0的故事”， 其中有一节“指数法则”可以很好的解释这个问题。以下是引用该书的内容。重点是对10的0次幂的理解方式：重点是对10的0次幂的理解方式：所以应该这样理解一个数的零次幂。所以应该这样理解一个数的零次幂。再延伸一下，10的-1次幂应该是这样的：
首先回答问题本身：为什么“5的0次方，表示0个5相乘，而0个5相乘不是等于0吗？"错误？1、5的零次方根本不表示0个5相乘。（况且，不严格地来说，对于乘法来说幺元就是1，那么0个5相乘某种意义上来说确实就是1）2、为什么吧5的0次方定义为1？题主说"5^(1-1)=5÷5=1"，这意味着我们承认幂运算满足这样一种规则，就是a^(m+n)=(a^m)(a^n)，而5^0=1是唯一满足这种运算规则的定义。------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------关于幂运算的定义，Rudin的数学分析原理第一章对实数指数幂的问题的细节有比较好的解释。这里算是对 的一个细节上的补充……首先，我们要有一个良定义的实数系统，在Rudin的书中是定义为一个满足确界存在原理的有序数域。然后，对于正整数n，实数x的n次幂x^n就是定义为x*x*x……x. 毫无疑问的，x^n是存在且唯一的。并且由于乘法的性质，x^(n+m)=(x^n)*(x^m)，(ab)^n=(a^n)*(b^n)接下来，我们定义n次方根，这就需要用到确界存在原理了，可以证明，对于一个正实数x和一个正整数n，存在唯一的正实数y使得y^n=x。这样，我们实际证明了开正实数的n次方根是可行的，如果定义这个y=x^(1/n)的话。并且，根据上述整数次幂的性质，我们也能得到(ab)^(1/n)=(a^(1/n))*(b^(1/n))，x^(1/(n+m))=x^(1/n)*x^(1/m)下一步，向有理数指数幂出发。对于一个有理数r=m/n=p/q， m,n.p.q都是正整数，考虑一个正实数b，可以证明，(b^m)^(1/n)=(b^p)^(1/q)。这样，我们就有理由对任意的正有理数r=m/n和正实数b定义b^r=(b^m)^(1/n)，并且这种定义满足这样的性质：对于(b^r)*(b^s)=b^(r+s)，如果r+s都是正有理数。然后我们试图在保持这个性质的同时把这个运算扩展到整个有理数域上：只要定义b^0=1，那么自然地有(b^(-r))(b^r)=1.下面来说说，从有理数到实数次幂，为什么是可行的呢？在于实数域满足确界存在原理而有理数在实数中稠密。对于任意非负实数x和正实数b，定义B(x)={b^t：t&x，t为有理数}。我们看到，由于对于有理数r，b^r=sup B(r)，所以定义对于任意实数x，b^x=sup B(x)也是合理的。并且，由于实数的性质，即确界存在原理，对于任意的实数x,y，(b^x)*(b^y)=b^(x+y)也是满足的。
起床查邮件发现这个问题居然有这么长的一个答案, 数学的美不是简洁的吗? 还是说知乎网的用户一般喜欢比较长的答案?我还是来贡献一下:加法里的单位元(identity element)是0, 对于任何数a, a+0=a乘法里的单位元是什么？显然是1, 对于任何数a, a*1=a而0是零元(zero element),对于任何数0, a*0=0 (加法里没有)所以0个五相乘, 和零个五相加, 是不一样的, 一个对应乘法里的单位元,一个对应加法里的单位元.某楼提到了Rudin可是却说"(况且，不严格地来说，对于乘法来说幺元就是1，那么0个5相乘某种意义上来说确实就是1)"我实在不知道有什么是比原理更严格的了.而某很长的楼的观点"「A的B次方就意味着B个A相乘」——这并不是乘方运算的定义，而是一种直观理解而已。"我想说, 数学不是空中楼阁, 都是从基本原理然后一步步定义的, 从整数域扩展到有理域然后到实数域, 复数域......而「A的B次方就意味着B个A相乘」这个确实就是乘方运算的基本定义, 没有这个基本, 后面的都是空谈
在数学上，我想有两个主要的理由：1）从对数的单叶定义来讲，0-power必须定义成1
另外用Euler公式定义虚数的幂次这极不严谨，这就会导致e^x变成了多值函数，很荒唐的。2）从分析来讲在负无穷处对e^x定义连续延拓，并且解析相容。3）从代数符号体系来讲比较相容，这个理由不太好，也算一个。还请楼上仔细斟酌自己答案。by L
因为定义啊我们看如何来定义的运算，首先从自然数开始定义1(实数的自然数次幂) 设实数，为使升到次幂，我们定义，现递归地假设若对于某自然数已定义，则我们定义由定义可知，对于任何实数有。定义2(实数的整数次幂) 设是不为零的实数，那么对于任何的负整数，我们定义现在我们考虑非整数次幂运算，我们从次根的概念开始定义3 设是正的实数，并设是正的整数，我们定义，叫做的次根为{}我们常把记作注意，我们没有定义零的次根，也没有定义负数的次根，我们就此止步。在我们定义之后，就可以定义这些根了。次根是存在的，并且还有下面性质设是正的实数，并设是正的整数如果，那么反之，如果，那么是正的实数现在我们来定义如何把一个正数升到比例数次幂定义4 设是正的实数，并设是比例数，为定义，我们把写成某整数与某正整数的比，，并定义注意，每个比例数不管是正的，负的，还是零，都可以写成的形状，其中是整数，是正整数最后我们来定义实指数的指数运算定义5(实指数的指数运算) 设是实数， 并设是实数，我们定义为的极限，其中是任何收敛到的比例数序列，即这一定义是良定义(well-defined)，实指数的指数运算有如下性质设是正的实数，设是实数是正的实数，并且
数学中有些定义是为了描述人对自然的认识。有些定义则是抽象出来作为纯粹的工具，从而作为桥梁方便串起来前者的知识。从这个角度来看“一个数的正整数次幂”属于前者，符合人对自然的认识。“一个数的0次幂”“负数次幂”“无理数次幂”“虚数次幂”都应该算后者，它们是人为的定义，人们这样定义它们是发现这样做了以后可以很方便的有它们来串起来前者的知识，或者说借用这样的“记号和运算规则”可以方便其他领域的计算。有人提到的欧拉公式就是一个典型，轻描淡写的说法是“e^ix=cosx+isinx，推导过程就是把e^y展开成幂级数，然后用xi把y代换掉，把新的幂级数求和。”但是为什么可以这么随便用xi来替换y？照理说展开幂级数重要的一点是对它的收敛性的研究，可用i了以后收敛性的定义是什么？用了i以后一阶导数二阶导数等等的定义又是什么意思？这公式太诡异了到底代表自然界的什么意思？实际上欧拉公式应该属于“人为工具类”的公式，人们发现它不仅引入了转换到复数领域的手段从而可以利用复数大大简化计算，而且还很完美的满足转换前后计算结果的一致性。比方说，一个计算在“实数领域”很难计算，但是把它从“实数领域”转换到“复数领域”进行计算却很方便，然后再从“复数领域”转回到“实数领域”，最终拿到的值和一开头硬着头皮直接硬算出来的值还被证明了是一模一样的。所以人们就认为这个定义技巧是有价值的了。有点像寂静岭里面（忘了哪代），你想直接走到某个地方很困难，于是你先找了一面镜子进入了“镜中世界”，然后在“镜中世界”发现路很好走，走到你要的目的地以后再找到一面镜子，从“镜中世界”切换回了“现实世界”，发现这时你就到了目的地了。扯远了，回楼主的题目，一个数的零次幂等于1，这个是人定的规则，之所以这么定是因为这样可以解释的通很多其他有价值的运算规则。同理类似的“0的阶乘为什么要定义成1”也差不多。
0个5相乘，抠字眼的话，这个是无法用乘法相关的数学公式表达的，但也不能说它的结果是0。所以我感觉是n个m相乘这种表达有问题，改成1再乘以n个m相乘，这样就相对来说能讲的圆一点。至于为什么是1，这个是人为规定的吧，它也可能是很多其它东西，但是没有展开。简单来说，乘法公式除了写出来的那些因子外，还可以隐藏着一大堆别的内容，我们把它们省略在1当中，这个1并不因其它因子的消失而消失。
从课本的角度上来说，使用“几个”这样的量词的时候，已经默认了这个“几个”所代表的量应当是一个正整数，如1，2，3这样。而诸如5^0这样的问题，在课本中是以规定的形式告诉学生的。我先来说一下这个知识的来龙去脉。这个知识在课本中出现在二次根式这一章节，学生已经学过了幂的除法，这是学习本知识的必要知识铺垫：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a^b-a^c=a^(b-c)。学生先学习了这个知识，在上课的过程中自然会有部分学生想到，如果b=c又该如何呢？此时，课本给出了规定：任何非0数的0次幂等于1。也就是说，我们不是用运算法则算出来的，而是直接规定出来的。诸如这样的规定还有很多，在几何中最著名的规定即为欧几里得的五原则：1.过两点能作且只能作一直线；
2.线段(有限直线)可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
上了大学我们会学习非欧几何，不在这五原则规范下的几何，又是完全不同的天地。代数亦如此。特别感谢前面几位同学的答案，我在课堂上可以引用给学生，做一些兴趣题。
作为一个真正的学渣，我有必要正式听，让你们这群学霸知道何为数学学渣！我理解为：1不与A相乘。一般情况下，则是1与B个A相乘。当年我就这么说服自己的，于是，我成了数学学渣。
你可以这样理解5的2次方，是5*5*1，同理5的0次方，就是1
0的任何次幂为1，包括0在内；负数无0次幂。
因为乘法的单位元是1。
0的0次幂当然是1 而且意义非常简单！a的b次幂的定义是 1×a×a.........×a。一共b个×a0的b次幂意思是 1×0×0×0×0×0。一共b个×0 那么结果是0a的2次幂意思是 1×a×a，一共2个×a。那么结果是a方a的1次幂意思是 1×a，一共1个×a。那么结果是aa的0次幂意思是 1，一共0个×a。那么结果是 1 0的0次幂意思是 1，一共0个×0。那么结果是 1 a的-1次幂意思是 1/a，因为除法是乘法的逆运算，所以-1个×a是/a。乘法的起点是1 加法的起点是0所谓的a的b次幂的定义是 a×a×a×a 一共b个a，这个定义当然是错的。 后面的a前面都带个×号，就第一个a不带，你不觉得这规律不对第一个a搞特殊化吗？ a的b次幂的定义当然是应该是某个数×a×a×a×a。 一共b个×a。 并且a的1次幂等于这个数×a等于a。那么这个数就是1。
我个人这么理解的，0个1相乘，就是没有乘式，1还是1。
学一下基础的数据分析吧，不然你就用最简单的方法也就是你自己说的方法解释
5的2次方25*5=125
--- 5的3次方125*5=625
5的4次方↓625/5=125
5的3次方125/5=25
5的2次方25/5=5
5的1次方5/5=1
由幂的运算法则可知，则有，其中16.4零整数幂与负整数指数幂，科学记数法教案-数学教案
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16.4零整数幂与负整数指数幂，科学记数法教案
作者： &&加入日期：15-06-27
年华师大(新版)八年级数学下16.4零整数幂与负整数指数幂，科学记数法教案
一、教学目标：
1．知道负整数指数幂 = （a≠0，n是正整数）.
2．掌握整数指数幂的运算性质.
3．会用科学计数法表示小于1的数.
二、重点、难点
1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.
2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.
三、例、习题的意图分析
1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.
2． P24观察是为了引出同底数的幂的乘法： ，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.
3． P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.
4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.
5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数. 用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识. 用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.
6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.
7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.
16.4零整数幂与负整数指数幂，科学记数法教案
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