单纯形法求解线性规划的步骤_中华文本库
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单纯形法求解线性规划的步骤
1> 初始化 将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的 m 列 组成一个 m*m 的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这 m 列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表 格中行用基本变量来表示 2> 最优化测试 如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一 个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为 0 3> 确定输入变量 从目标行的前 n 个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元 列 4> 确定分离变量 对于主元列的每个正单元格,求出θ 比率(如果主元格的单元格为负或为 0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ 比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5> 建立下一张表格 将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的 成绩(除主元行为 1 外,这一步将主元列的所有单元格变成 0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第 一步
为求简单 在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素 SimpleMatrix(introw=0,int col=0); SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始
2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数 化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)
程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零 这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断 col 列中是否全部为正(不包括目标行) 用来判断线性规划是否存在最优解,因为如果最后一列如果有负数的化,就无解了,算法终止
int InColumn();
//确定输入变量
用来判断主元所在的列 int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元) 用来确定主元所在的行 void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为 1 void SubMatrixLine(int row1,int row2,intcol);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减 这个函数是在主元行已经做处理以后调用,目的是是矩阵的其他行主元列的元素变成 0. 其中 row2 为主元所在
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数学中，由发明的单纯形法（simplex algorithm）是问题的的流行技术。有一个算法与此无关，但名称类似，它是或称下山单纯形法，由Nelder和Mead发现（1965年），这是用于优化多维无约束问题的一种数值方法，属于更一般的的类别。
这二者都使用了的概念，它是N维中的N + 1个顶点的，是一个：直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个，等等。
以下为线性规划的标准形式，假设有n个和m个。
所有其他形式的线性规划方程组都可以按照下列方式转化成标准形式：
并非最大化：将所有取负。
约束条件中存在大于或等于约束：将约束两边取负。
约束条件中存在：将其转化为两个（一个大于等于，一个小于等于）
有的变量没有非负约束：加入新变量，并用替换原来的变量
可以将标准形式的线性规划转化为松弛形式，以方便运算。 在原来n个变量，m个约束的线性规划中，加入m个新的变量，将原来的不等式化为等式：
当然，此时依然成立。
我们将这些变量称为非基变量，它们构成的记为N。将 这些变量称为基变量，它们构成的集合记为B。简单地理解，非基变量能够由基变量唯一确定。
在这样的定义下，线性规划的松弛形式可以写为如下形式：
因此，线性规划的松弛形式可以由v, c, A, b, N, B唯一确定，其中v是，c是长度为n+m的，b是长度为m的，A是m*(n+m)的。N, B是集合，分别表示非基变量集合以及基变量集合。
转轴操作是单纯形法中的核心操作，其作用是将一个基变量与一个非基变量进行互换。可以将转轴操作理解为从上的一个走向另一个顶点。
设变量属于B（基变量），变量属于N（非基变量），执行转轴操作pivot(d,e)之后，将变为非基变量，相应地将变为基变量。
具体地说，一开始我们有
如果，我们有
将此式代入其他的约束等式以及目标函数，我们就实现了与在基变量和非基变量上的互换。
如果b向量所有元素非负，则显然我们只需要令所有的变量等于0，就可以得到一个。在这种情况下，通过下述过程，我们可以得到该线性规划的，或者指出该线性规划的最优解为（不存在）。
任取一个非基变量，使得。
选取一个基变量，使得，且
执行转轴操作pivot(d, e)，并转到第一步继续算法。
根据的最小性不难证明pivot(d, e)不会破坏b的非负性。因此将所有变量取0值仍然是可行解。同时，根据，我们发现v一定是不降的。这就达到了更新解的目的。
不难发现，算法终止有两种情况：
对于所有的非基变量，c均非正。
对于某一个e，所有的均非正。
可以证明，对于第一种情况，我们已经得到了该线性规划的最优解。当前的v即为答案。严格证明比较复杂，但是直观上是很容易理解的。因为所有的非基变量都是非负的，而所有的c都是非正的，因此只要某个非基变量不为0，就会使得目标函数更小。
对于第二种情况来说，很容易证明此时线性规划的最优解是无穷大。只要让其他所有变量均为0，变量为正无穷。由于所有的都非正，因此非基变量的非负性得到保证。同时由于，目标函数值为正无穷。
例：解最优化问题：
列单纯形表（即矩阵）：
然后从c所在行的正数中最大的一个所对应的变量作为基变量，因为这里两者一样，不妨选为。
由于拿所在列的正系数去除b所在列的数的结果为，故取离开基变量。
然后对该矩阵进行行变换，使所在列变成单位向量：
接下来令c所在行的其余的正数中最大的一个所在列的变量进入基变量，并且根据，令离开基变量。
继续进行行变换，得到
由于c所在行的所有数都非正，问题结束。最优解为，最优值为。
如果b向量并不全为非负，则我们需要通过初始化过程来找到一个，然后才可以使用过程进行优化。当然，此时原线性规划不一定存在可行解。
具体的方法是，加入一个新的非基变量，并在原线性规划的基础上构造一个新的辅助的线性规划。
注意这里N集合并不包含。
然后，选择一个基变量使得最小，执行转轴操作pivot(d, 0)。不难证明该操作过后所有的b值全部非负。然后，使用前文中所述的最优化过程求解该辅助线性规划。
由于非负，因此该线性规划的答案非正。如果答案为负数，则说明原线性规划不可能让所有的基变量都非负，因此原线性规划无可行解。否则，只要令所有变量为0，并去掉变量，就可以得到可行解。
在从辅助线性规划转化到原来的线性规划的过程中，如果已经是非基变量，则可以将其从约束条件和目标函数中直接去掉。否则，需要任取一个非基变量执行pivot(0, e)，将变为非基变量。由于此时是基变量且，故一定成立，因此这个转轴操作不会破坏b向量的非负性。
在采用Bland's法则选择用于转轴操作的d和e（相同值的情况下取最小）之后，可以证明单纯形法一定能够在有限步之后终止，但是算法的为级别的，而且可以构造出让单纯形法的时间复杂度达到指数级别的具体。不过实践证明在绝大多数情况下单纯形法的效率非常令人满意。
单纯形法的最坏时间复杂度为指数级别，并不意味着不存在级别的算法。和均为解决线性规划的多项式时间算法。
Greenberg, Harvey J., Klee-Minty Polytope Shows Exponential Time Complexity of Simplex Method University of Colorado at Denver (1997)
Frederick S. Hillier and Gerald J. Lieberman: Introduction to Operations Research, 8th edition. McGraw-Hill.
, , , and . Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. . Section 29.3: The simplex algorithm, pp.790–804.
IOI2007国家集训队论文，《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》，作者：李宇骞
作者Spyros Reveliotis（乔治亚理工）。
可以求解线性规划问题。
基于Java的 由Argonne国家实验室提供。
作者Elmer G. Wiens。演示算法细节，使用了单纯形表。
作者Stefan Waner，hofstra.edu。
Mazoo学习网志.第3讲：采用单纯形法求解LP模型_中华文本库
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第3讲：采用单纯形法 求解LP模型
浙江工业大学经贸管理学院
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
? 若LP问题存在可行域，则必然存在最优解
? 若LP问题不存在可行域，则必然不存在最优解
? LP问题的每一个基解对应可行域上的一个顶点 ? 若LP问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解 ? 若LP问题存在最优解，则必然是其可行域上的某个顶点 ? 为使系数矩阵A满秩，一个较好的方法是构建一个单位子矩
阵，并将其作为初始可行基
? 在LP模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，
减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
一、单纯形法求解步骤
① 确定初始基可行解 ② 对其进行最优性检验，是，则为最优解；否， 转步骤(3) ③ 转换可行基，得到相邻的基可行解，转步骤(2)
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
例1 (习题2-1)、某预制厂生产两种构件，每个构件制造时
间大概为一个月(占时)。甲构件每件占地10m2，需要劳动
力150个；乙构件每件占地2m2，需要劳动力25个。该厂 共有生产用地720m2，每月劳动力10000个。并且受到其 他设备限制，每月最多能生产甲构件50件，乙构件200件。 若每个甲构件能创造价值250百元，每个乙构件能创造价值
50百元，要想使创造的价值最多，每月应生产构件甲、乙
各多少件？
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
采用单纯形法求解LP模型(说明)：
? 在以上步骤中，第3步说明了基可行解何时为最优
解；第3、4步解释了基向量的替换过程
? 系数矩阵中，基变矢对应的基为单位基
? 基变量xj对应的检验数σj＝0 ? 采用单纯形法，每次迭代都将使Z得到最快的增长
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
x2 max z = 250 x1+50x2 s.t. 10x1 + 2x2 ≤ 720, x1 ≤ 50, x2 ≤ 200, x1 ≥0 ， x2 ≥0 200 150 100 50
150x1+ 25x2=+ 2x2 = 720
x1 = 50 x2 = 200
150x1 + 25x2 ≤ 10000
?不难得到，最优解为C点
?采用单纯形法求解，得到的基 可行解依次为：O，E，D，C； 而不是：O，A，B，C。Why?
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
例2：P28-例5
max z = 2 x1 + x2
s.t. 5x2 ≤ 15 6 x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥ 0
第3讲：采用单纯形法求解LP模型
2x1+ x2 =8
max z = 2x1 + x2 s.t. x1 + x2 ≤ 5，2x1 + x2 ≤ 8 5x2 ≤ 15， x1 , x2 ≥ 0 采用单纯形法求解，得到的基 可行解依次为：O，D，C； 而不是：O，A，B，C。
x2 6 x1+ x2 =5
z = 2x1 + x2 3
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求解线性规划的单纯形法03
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法是美国数学家Ｇ．Ｂ．丹齐克于１９４７年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是ｎ维向量空间Ｒｎ中 ．的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。
?２单纯形法的基本思想
先不考虑目标甬数，从满足约束条件开始，求得一初始基本可行解；然后求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进 初始解；对目标函数作有限次的改善。当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求得线性规划问题的最优解，单纯形法至此结束。
３单纯形法的一般解题步骤
１）将非标准形式方程转化为标准形式方程： ２）从标准形式中求出初始基本可行解； ３）检验目前的基本可行解是否最优； ４）选取一非基本变量，作为解中的新基本变量； ５）确定被取代的基本变量： ６）用旋转运算求出新的标准形式方程组，并求出一组基本可行解，按步骤２）进行迭代计算。
４通过实例阐述“单纯形法”的求解过程
例题：某工厂生产Ａ、Ｂ、Ｃ三种产品，每种产品可分别获利润１０元、６元、４元：每种产品生产需要消耗原材料１个单位；劳动力 消耗分别为１０个劳动力，４个劳动力，５个劳动力；设备消耗工时分别为２小时，２小时，６小时。现有原材料１００个单位、劳动力６００ 个、设备可消耗工时为３００小时，求一使总利润达到最大的生产计划。 ４．１建立数学模型
根据题意，即求ｘ。，ｘ醛３使ｚ：１０】【撕）眨“酗达到最大
ｘＩ＋ｘ２＋ｘ３≤１００ １０ｘｌ＋４ｘ一５ｘ３≤６００ ２ｘｌ＋２ｘ２＋６ｘ３≤３００
其中ｘ｛≥０，ｊ—ｌ，２，３ ４．２加入松弛变量。化为标准形式 Ｚ＝１０】【Ｉ＋６ｘ２“ｘ３＋ｏｘ４＋０ｘ５＋ｏ）【６达到最大 满足
ｘ１＋ｘ２＋ｘ３ｍ（．＋ｏｘｍ（６：１００
１０】【ｌ“ｘ一５ｘ３＋《ｋ ４＋０嚏５＋０）【６＝６００
２ｘＩ＋２ｘ２＋６ｘ３＋（ｋ?＋０ｘ，刊）】ｌ：６芦３００
收稿日期：２００９一０２—２４
作者简介：徐博龙（１９８０一），男，广东揭东人，助教，研究方向：数据库应用。
本栏目责任编辑：唐一东
第５卷第１２期（２００９年４月）
Ｇ唧咖肘肼忡ａ州『ｅ叻ｍ切毫奠知识与技术
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所示。 其中：Ｚ＝Ｃ由，
１ １０ ２
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