数学 复变函数的积分 积分

河北工业大学 工程数学教研室
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&&&&&&&&&&&复变函数与积分变换课程介绍&
&&&&&&复变函数与积分变换是一门内容丰富、应用广泛的数学学科,它的建立和发展与解决实际问题的需要联系密切,其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领域,是机械、电子工程、控制工程,理论物理与流体力学,弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具。
课程包含2部分内容:向量分析与场论,复变函数论与积分变换。本课程的目的,是使学生掌握向量分析与场论,复变函数论,积分变换的基本理论、基本概念与基本方法,使学生在运用向量分析与场论,复变函数论,积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方面得到系统的培养和训练,为在后继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&复变函数与积分变换教学大纲
复变函数与积分变换(二)课程教学大纲
课程名称(中文):复变函数与积分变换(二)
课程名称(英文):Complex Analysis and Integral translation
课程代号:课程类型:必修
学时: 64学时
适用对象:机、电类本科各专业
先修课程:高等数学,线性代数
一 课程性质、目的与任务
复变函数与积分变换(二)是一门内容丰富、应用广泛的数学学科,它的建立和发展与解决实际问题的需要联系密切,其理论与方法被广泛应用在自然科学的许多领域,是机械、电子工程、控制工程,理论物理与流体力学,弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少的数学工具。
课程包含2部分内容:向量分析与场论,复变函数论与积分变换。本课程的目的,是使学生掌握向量分析与场论,复变函数论,积分变换的基本理论、基本概念与基本方法,使学生在运用向量分析与场论,复变函数论,积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方面得到系统的培养和训练,为在后继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础。
课程的任务是向学生系统的讲授向量分析与场论,复变函数论,积分变换的基本概念、基本理论和基本方法。内容包括:向量与向量值函数分析,数量场,向量场,三种重要的向量场:保守场,管形场和调和场,复数与复变函数,解析函数,复变函数的积分,解析函数的级数表示,参数及其应用,保形映射,拉普拉斯变换,傅里叶变换。
二.教学基本要求
向量与向量值函数:介绍几何向量的概念,介绍几何向量的加法、数乘、数量积、向量积等运算,熟悉向量的混合积与三重向量积,理解向量值函数的定义,掌握向量值函数的加法、数乘、复合、数量积等运算,理解向量值函数的极限、连续、导数的概念,会计算向量值函数的导数,理解向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分等概念。熟悉高斯公式和斯托克斯公式。
数量场:知道数量场的等值面,理解数量场的方向导数、梯度的概念,会计算数量场的方向导数、梯度,掌握哈米尔顿算子的用法。
向量场:知道向量场的向量线,理解向量场的通量,理解、会求向量场的散度,理解向量场的环量,理解、会求向量场的环量面密度、旋度,了解向量场场函数的导数与向量场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。
三种特殊形式的向量场:理解保守场的概念,知道保守场与无旋场、有势场的等价性,会求保守场的势函数,理解管形场的概念,了解管形场的向量势,理解调和场的概念,知道调和场的调和函数。
复数与复变函数:熟练掌握复数的各种表示方法,了解复平面上邻域、聚点、开集、闭集、孤立点、边界点、边界、连通集、区域、单连通区域、多连通区域等概念,理解复变函数、复变函数的极限和连续等概念。
解析函数:理解复变函数的导数等基本概念。理解复变函数解析的概念,熟练掌握复变函数解析的柯西—黎曼定理。熟练掌握复变初等函数(指数函数,对数函数,幂函数,三角函数)的定义和基本性质。
复变函数的积分:理解复变函数的积分的定义,了解积分的性质,熟练掌握柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式和利用柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式计算复变函数积分的方法。
解析函数的级数表示:理解复数项级数收敛、绝对收敛的概念,理解幂级数收敛圆和收敛半径的概念,知道幂级数在收敛圆内的性质。掌握泰勒级数和一些简单初等函数的泰勒展开式的求法。理解解析函数的零点的概念,掌握判断零点阶数的方法,掌握罗朗级数和一些常见函数罗朗展开式的求法,能够利用罗朗展开式对复变函数的孤立奇点进行分类。
残数及其应用:理解复变函数在一点的残数的概念,掌握残数基本定理,残数的求法,利用残数求积分的方法。
保形映射:了解复变函数的导数的几何意义,理解保形映射的概念,掌握线性映射的基本性质,知道常用的几个保形映射的性质,会求一些简单区域之间的保形映射。
拉普拉斯变换:
掌握拉普拉斯变换的定义,掌握拉普拉斯变换的基本性质,会求像函数的拉普拉斯逆变换,掌握拉普拉斯变换的卷积定理,会用拉普拉斯变换的求解微分、积分方程。
傅里叶变换:掌握傅里叶变换、傅里叶逆变换的定义,熟悉傅里叶变换的共轭性质、线性性质、位移性质、相似性质、微分性质、积分性质、卷积定理、相关定理,掌握-函数及其傅里叶变换公式。
三.课程内容、学时分配及基本要求
向量分析与场论部分
第一章 向量与向量值函数分析 学时:4
几何向量,几何向量的加法、数乘、数量积、向量积,向量的混合积与三重向量积,向量值函数的定义,向量值函数的加法、数乘、复合、数量积运算,向量值函数的极限、连续,向量值函数的导数,向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分,高斯公式,斯托克斯公式。
第二章 数量场 学时:2
数量场的等值面,数量场的方向导数、梯度的概念,哈米尔顿算子的用法。
第三章 数量场 学时:6
向量场的向量线,向量场的通量,向量场的散度,向量场的环量,向量场的环量面密度、向量场的旋度,向量场场函数的导数与向量场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。
第四章 三种特殊形式的向量场 学时:4
保守场,保守场的旋度,保守场的势函数,管形场,管形场的向量势,调和场,调和函数。
复变函数与积分变换部分
第一章:复数与平面点集 学时:2
复数的直角坐标表示法,三角表示法,指数表示法。复数的模和辐角,复数的四则运算。平面区域,邻域,聚点,闭集,孤立点,边界点,边界,连通集,区域,单连通区域,多连通区域。
第二章:解析函数 学时:6
复变函数的概念,复变函数的几何表示。复变函数的极限,连续性,复变函数可导和解析的概念,复变函数解析的条件,复变初等函数(指数函数,对数函数,幂函数,三角函数)的定义和性质。
第三章:复变函数的积分 学时:6
复变函数积分的定义及其性质,柯西定理,复连通区域内的柯西定理,柯西积分公式,解析函数无穷次可导的性质。
第四章:级数 学时:6
复数项级数,复数项级数收敛、发散、绝对收敛的概念,收敛圆的概念和幂级数收敛半径的求法,幂级数在收敛圆内的性质。解析函数的台劳展式,解析函数的零点,零点的阶数。罗朗展式,解析函数罗朗展式的求法,利用罗朗展式对孤立奇点进行分类。
第五章:残数 学时:2
残数的概念,残数基本定理,残数的求法,利用残数计算积分。
第六章:保形映射 学时:6
导数的几何意义,保形映射,分式线性映射,初等保形映射的性质,一些简单区域之间的保形映射的求法。
第七章:拉普拉斯变换 学时:8
拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的性质,拉普拉斯逆变换,卷积,拉普拉斯变换的简单应用。
第八章:傅里叶变换 学时:8
傅里叶积分及收敛的条件,傅里叶变换,傅里叶逆变换,傅里叶变换的性质,卷积,互相关函数,-函数及其傅里叶变换,傅里叶变换的简单应用。
四.学时分配
向量分析与场论部分
复变函数与积分变换部分
&五.教材及参考书
《向量分析与场论(第二版)》,杨永发,徐勇主编,南开大学出版社,2006年9月
《复变函数与积分变换》,于慎根,杨永发,张相梅编,南开大学出版社,2006年9月
修订大纲的指导思想:以邓小平理论为指导,坚持历史唯物主义和辩证唯物主义的观点和立场,注重教学内容的科学性,先进性,向学生展现本学科研究问题的基本思路和基本方法。
本课程与先修课及后继课的联系与分工:本课程以高等数学为先修课,用到高等数学课程的大部分内容,必须在高等数学课程以后开设。一些专业课程,例如,电磁场与电磁波,电路,自动控制,信号系统等,应该在本课程后开设,本课程为某些专业课提供必备的数学理论与数学基础。
七:考核方法:闭卷考试
大纲制定者:李景和
大纲审定者:杨永发
大纲批准者:
大纲校对者:
制定日期: 日
复变函数与积分变换课程教学计划(64学时)
第一章 向量及向量函数分析
§1.1向量及其运算
§1.2向量值函数的概念
§1.3向量值函数的极限与连续性
§1.4向量值函数的导数
§1.5向量值函数的积分
第二章 数量场
§2.1数量场的几何描述,等值面
§2.2数量场的方向导数和梯度
第三章 向量场
§3.1向量场的几何描述,向量线
§3.2向量场的通量和散度
§3.3向量场的环量和旋度
3.3.2环量面密度和旋度
3.3.3场函数的导数与梯度、散度和旋度的关系
第五章 三种特殊形式的向量场
§5.1保守场
§5.2管形场
§5.3调和场
第七章 复数与平面点集
第八章 解析函数
§8.1复变函数
§8.2复变函数的极限与连续性
§8.3解析函数
§8.4初等函数
8.4.1指数函数
8.4.2三角函数
8.4.3根式函数
8.4.4对数函数
8.4.5一般幂函数
8.4.6反三角函数
第九章 复变函数的积分
§9.1积分及其性质
§9.2柯西定理
§9.3柯西公式
第十章 复变函数的级数表示
§10.1复数项级数
§10.2复变函数项级数
§10.3幂级数
§10.4泰勒级数
§10.5罗朗级数
第十一章 残数及其应用
§11.1残数的一般理论
第十二章 保形映射
§12.1保形映射的概念
§12.2保形映射的基本理论
§12.3线性映射
§12.4初等保形映射
第十五章 傅里叶变换
§15.1傅里叶变换的概念
§15.2傅里叶变换的性质
§15.3函数及其傅里叶变换
第十六章 拉普拉斯变换
§16.1拉普拉斯变换的概念
§16.2拉普拉斯变换的性质
§16.3拉普拉斯逆变换
§16.4卷积定理
§16.5拉普拉斯变换的应用
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&& &复变函数与积分变换课堂教材
1.《向量分析与场论(第二版)》,杨永发,徐勇主编,南开大学出版社,2006年9月
2.《复变函数与积分变换》,于慎根,杨永发,张相梅编,南开大学出版社,2006年9月 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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工程数学(2)复变函数?积分变换?线性代数?数值方法
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《工程数学(2)复变函数
数值方法》在编写过程中力求做到以应用为目的,以“必须、够用”为原则,以讲清概念和方法为前提,强调应用为重点,在保留传统体系的基础上力求创新,特别注重应用。另外,配有教学参考书《工程数学习题与解答》供教师、学生参考使用。本套《工程数学》是为高等学校计算机、电子、通信类专业编写的数学教材,共分3册。第2册内容包括复变函数、积分变换(傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换)、线性代数以及数值方法。
《工程数学(2)复变函数
数值方法》可供高等学校工科和其他非数学类专业学生使用,也可作为其他层次院校的工程数学课程的教材或参考书。
复变函数第1章
复数的概念1.1.1
复数的定义1.1.2
复数的几何表示法1.2
复数的三种形式习题一1.3
共轭复数及复数的模的运算性质1.4
复数的三角形式的运算1.4.1
乘法与乘方1.4.2
除法1.4.3
开方习题二1.5
复数的应用1.5.1
复数与三角函数1.5.2
复数与不等式1.5.3
复数与方程1.5.4
复数与数列1.5.5
复数与几何第2章
复变函数2.1
区域的概念2.2
复变函数2.3
复变函数的连续性和可导性2.4
复变函数的解析性2.5
其他习题第2篇
积分变换伙第3章
傅里叶变换3.1
傅里叶级数3.1.1
三角级数、三角函数系的正交性3.1.2
函数展开成傅里叶级数3.1.3
奇函数、偶函数的傅里叶级数习题一3.2
周期为22的周期函数的傅里叶级数习题二3.3
傅里叶变换3.3.1
傅里叶级数的复指数形式3.3.2
傅里叶变换的定义3.3.3
几种典型非周期信号的频谱习题三3.4
傅里叶变换的性质3.4.1
线性性质3.4.2
位移性质3.4.3
微分性质3.4.4
积分性质习题四3.5
卷积定理3.5.1
卷积的概念3.5.2
卷积定理习题五第4章
拉普拉斯变换4.1
拉普拉斯变换的基本概念4.1.1
拉普拉斯变换的概念4.1.2
几种常用函数的拉普拉斯变换4.1.3
拉普拉斯变换简表习题一4.2
拉普拉斯变换的性质4.2.1
线性性质4.2.2
平移性质4,2.3
微分性质4.2.4
积分性质习题二4.3
拉普拉斯逆变换4.3.1
简单像函数的拉普拉斯逆变换4.3.2
较复杂像函数的拉普拉斯逆变换习题三4.4
卷积和卷积定理4.4.1
卷积的概念4.4.2
卷积定理习题四4.5
利用拉普拉斯变换解微分方程(组)习题五第3篇
线性代数第5章
行列式5.1
二、三阶行列式5.1.1
行列式的定义5.1.2
二、三阶行列式的性质与计算5.2
n阶行列式5.2.1
排列(i1,i2,,in)的逆序5.2.2
n阶行列式的定义5.2.3
n阶行列式的性质5.2.4
n阶行列式的计算5.3
n个方程n个元的线性方程组习题第6章
线性方程组6.1
高斯消元法6.2
n维向量6.2.1
n维向量及其线性运算6.2.2
向量的线性相关与线性无关6.3
矩阵的秩6.4
线性方程组的解习题第7章
矩阵的线性运算7.2
矩阵的乘积7.3
矩阵的逆矩阵7.4
转置矩阵7.5
矩阵经运算后秩的变化7.6
分块矩阵习题第8章
线性空间与线性变换8.1
线性空间的定义8.2
线性空间的基向量的坐标8.3
线性变换8.3.1
线性变换的定义及其基本性质8.3.2
线性变换在一组基下的对应矩阵8.4
矩阵的特征值与特征向量,矩阵化为对角矩阵的问题8.4.1
矩阵化为对角矩阵的问题8.4.2
矩阵化为对角矩阵的应用习题第9章
欧氏空间与二次型9.1
两个向量的内积9.2
n维欧氏空间的度量矩阵9.3
二次型9.3.1
二次型化为最简形式的表示9.3.2
正定二次型9.4
二次型通过正交变换化为标准型的问题,对称矩阵化为对角矩阵的问题习题第4篇
数值方法第10章
算术运算中的误差分析第11章
解线性方程组的直接方法第12章
解线性方程组的迭代方法第13章
解非线性方程的数值方法第14章
插值法第15章
数值积分参考文献
数十年来,我一直感到计算机专业学生在大学期间要学“大学数学”3学期,“概率与统计”1学期,“数值方法”1学期,“离散数学”1学期,累计共有6学期的数学课,占用的学时太多,并且教材内容过于强调理论推导,而后继专业课需要的一些知识如复变函数、积分变换却很少涉及。结果教师难教,学生难学,教学效果差。造成这种结果的原因很多,其中之一是缺少一本好的涉及面宽、结合实际、比较直观、由浅入深、适于培养应用型人才和工程型人才的《工程数学》教材。这类教材国外较多。2005年南京大学金陵学院院长姚天扬教授一行访问英国时,Essex大学赠送给他们的一本该校所用的《工程数学》就是这样的教材。
南京大学金陵学院为了推动“大学数学”和“离散数学”等课程的改革,特邀具有丰富教学经验、长期从事“大学数学”、“线性代数”、“离散数学”和“数值方法”等课程教学工作的南京大学数学系王国英教授主持这项工作。王国英教授等经过多年苦心钻研和一年多在金陵学院计算机专业的试教,编著了这套《工程数学》教材。本教材有下列特色:
(1)它是根据国内工程类专业和应用类专业的需求,结合实际教学情况,参考国外新近出版的《工程数学》教材写成的。它强调打好应用基础,为后继专业课服务,而不是像过去有关教材那样只是从数学到数学,缺少与工程类专业和应用类专业有关知识的联系。
(2)内容结合实际、涉及面宽。它由微积分、复变函数、积分变换、线性代数、数值方法、概率与统计,以及离散数学等内容组成,每章均配有例题和习题,几乎涵盖了工程类专业和应用类专业所需的所有数学基本知识。
(3)使用该教材只需要3学期,但对工程类专业和应用类专业的本科生来说,所学的知识已经基本满足需要,这样他们就可以有更多的时间学习其他重要课程。
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复变函数与积分变换(高等数学高等院校精品课程系列规划教材
商品名称:复变函数与积分变换(高等数学高等院校精品课程系列规划教材
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基本信息商品名称:复变函数与积分变换(高等数学高等院校精品课程系列规划教材开本:16开
作者:刘明华//周晖杰页数:248定价:32出版时间:ISBN号:6
印刷时间:出版社:浙江大学出版社版次:1商品类型:图书印次:1 目录:第一章
复数与复变函数
复数及其运算
思考题1.1
复平面的点集与区域
思考题1.2
思考题1.3
思考题1.4
自测题1第二章
解析函数的概念
思考题2.1
解析函数与调和函数的关系
思考题2.2
初等解析函数
思考题2.3
自测题2第三章
复变函数的积分
复变函数积分的概念
思考题3.1
解析函数积分的基本定理
思考题3.2
基本定理的推广——复合闭路定理
思考题3.3
柯西积分公式
思考题3.4
解析函数的柯西导数公式
思考题3.5
自测题3第四章
解析函数的级数表示
复数项级数
思考题4.1
复变函数项级数
思考题4.2
解析函数的泰勒级数
思考题4.3
解析函数的洛朗级数
思考题4.4
自测题4第五章
留数及其应用第六章
共形映射第七章
傅里叶变换第八章
拉普拉斯变换附录习题答案参考文献
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数学物理方法要点与解题:复变函数.积分变换.数理方程与特殊函数
商品名称:数学物理方法要点与解题:复变函数.积分变换.数理方程与特殊函数
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