关于2个幂级数和的收敛半径的说明
在众多教材中,仅仅指出了2个幂级数的和在某区间内收敛,而没有对这2个幂级数的和的收敛区间加以详细说明[1-5],因此,学生在学习该知识点时,关于2个幂级数的和的收敛半径往往会产生想当然的结论,从而发生错误.定理1[2-5]设幂级数∞∑n=0an xn与幂级数∞∑n=0bn xn的收敛半径分别为R1与R2,则这2个幂级数的和或差∑∑∞∑=∞=∞=±=±000()nnnnnnnnanxnbxab x(1)在(?R,R)内成立,其中R=min{R1,R2}.应当注意,在这一结论中,仅仅是指出了幂级数(1)在某区间内收敛,而没有对幂级数(1)的收敛区间加以说明,因此在实践中,许多人容易想当然的把这里的R=min{R1,R2}当作幂级数(1)的收敛半径.然而R未必就是幂级数(1)的收敛半径.例如:例1幂级数∞∑n=0xn与∑∞=?0(1)nn xn的收敛半径均为1,二者之和∑()∞∑=∞=+?=nnnnxn x的收敛半径仍...&
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1问题的提出幂级数∞n=0移anxn的收敛半径R通常按下列公式计算:(i)若nl→im∞n姨an,则R=1l.特别,若nl→im∞n姨an=l,则R=1l.(1)(ii)若nl→im∞aan+n1=l,则R=1l.(2)其中,l=0时R=+∞,l=+∞时R=0.但对于形如∞n=1移nn2xn3,∞n=0移2nx2n-1等缺项型幂级数,难以直接用公式计算收敛半径,本文给出求幂级数收敛半径的一般公式,它是上述公式的推广。2公式的推广记∞n=0移anxf(n)为幂级数的一般形式,其中f(n)为非负整数集上的非负整值函数,数列｛f(n)｝单调增加趋于+∞.定理1对于幂级数∞n=0移anxf(n),若nl→im∞n姨an=l,则其收敛半径R=1l.其中,l=0时R=+∞,l=+∞时R=0.证根据级数添加值为0的项不影响级数的敛散性与和的性质,令bk=an,k=f(n)0,k≠f(n)(k=0,1,2,…),则∞n=0移anxf(n)=∞k...&
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级数敛散性判别是个举足轻重的问题,其中包括数项级数敛散性判别、幂级数收敛半径和收敛域的确定、函数项级数的收敛及一致收敛、函数展成幂级数和付立叶级数收敛域的确定和收敛性讨论等等.级数的另一类问题是函数展成幂级数和付立叶级数的方法.此外是级数的求和方法,大体这三类问题.下面列举一系列典型例题,说明解决这些向颖的方法,但愿读者一读有益.1基本题例l一1份于。.和负。收敛,宜对于充分大的。有。.成b.成。,证明习b.收敛. 分析证明本题易从条件。.(b.(c.入手,很容易由此得到部分和相应的不等式,也不难进一步考虑到极限的夹挤定理,但这里不具备夹挤定理的条件,因为题设的两个级数虽收敛但和不一定相等.若转到利用柯西准则,则是可行的,这是一条思路.另一条思路,二具山只匆不等式出分,将其改写成。提b.一aa镇c一a.,于是级数2(b一a.)与级数1叹‘习(c.一a.)都是当:充分大后为正项级数,显然项大的级数收敛,由比较判别法和收敛级数的运算...&
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边界元方法作为一种新的数值计算方法与区域型数值方法(有限差分法和有限元法)相比具有明显的优势，但是目前边界元方法在油藏工程领域的研究主要集中在均质油藏方面。虽然国外有些学者采用边界元方法研究了非均质油藏的渗流问题，但是关于任意形状油藏和油藏中存在不渗透区域的渗流问题的研究还不多见。为此本文在前人研究的基础上，采用边界元方法对含有不渗透区域的复杂形状非均质油藏的渗流问题进行了研究，主要工作包括：首先建立了考虑源汇影响的含有不渗透区域的任意形状非均质油藏稳定渗流和不稳定渗流的数学模型，采用正则摄动方法处理该数学模型，将其分解成为一系列Poisson方程(稳定渗流)或者修正的Helmholtz方程(不稳定渗流)。求解了Poisson方程和修正的Helmholtz方程的基本解，研究了边界元方法在求解这两类方程时的应用。给出了改进摄动级数收敛性的帕德逼近方法。第二、研究了求解非均质油藏稳定渗流的摄动边界元方法。通过与解析解对比，验证了本文...&
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一个求幂级数收敛半径问题莫海平（黑龙江省绥化师专数学系１５２０００）问题设求的展开式及收敛半径．问题出自参考书（１）第１４２页，因为该书给出的答案不全面，同时还能引伸出进一步的结果，因此有讨论的必要．一、问题的解决引理［１］如果幂级数和的收敛半径分别为和，则这两个幂级数的积仍然是一幂级数，其收敛半径从引理立即得出展开式如果记已Ｃ。Ｘ’的收敛半径为Ｐ“，则ｆｆ－０ｐ”＞ｍｉｎ（１，ｐ），以下证ｐ”＜Ｐ．当【Ｘ。Ｉ＜一时（Ｘ。却Ｉ），（Ｉ－Ｘ。）乙ｃ。Ｘｚｆｆ。０收敛，即，收敛．若ｆ（１）＝０，则已ａ。＝０，任取。＞...&
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功能梯度板中的弹性波的传播在工程实际中有着广泛应用，其分析方法有常见的传统方法的推广和新的求解技术的应用。为了精确的计算波速和弹性板变形，我们分别采用了分层法、Frobenius法和同伦分析法，对结果进行了互相验证，并对这些方法进行了比较。我们也分析了几种常见的材料性能变化模式如指数和幂级数等，对结果进行了讨论，发现表面波的两种变化模式在功能梯度材料中的效应是不同的，在应用中一定要针对具体问题和模态选择材料。我们也发现，分层法虽然概念上简单，但收敛速度比较慢；Frobenius法可以求出精确解，但求解过程较繁，而且对数值计算过程的精度要求也比较高；同伦法可以求得包括Frobenius解的一般解，而收敛速度和精度可以根据选择适当的参数来调整。我们从计算方法和材料性能变化两个方面研究了功能梯度材料板中表面波的传播，求得了相应的速度和变形，为实际应用提供了重要的理论结果。在第一章，我们简单回顾了功能梯度材料的基本概念和发展过程，并对用...&
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