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将正方形的四个顶点用线段连接起来，怎样的连线最短？研究发现，并非连对角线最短，而是如图的连线更短（即用线段AE、BE、EF、CF、DF把四个顶点连接起来）．已知图中ABCD是正方形，∠BAE=∠ABE=∠FDC=∠FCD=30°，∠AEF=∠DFE且AE=DF．（1）请你证明AD∥EF；（2）设正方形边长为2，计算连线AE+BE+EF+CF+DF的长度．
题型：解答题难度：中档来源：不详
延长EF与CD交于点G，延长FE与AB交于H点，∵∠AEF=∠DFE，∴∠AEH=∠DFG，∵∠EAH=∠FDG，AE=DF∴△AEH≌△DFG，∴AH=DG，（1）∵∠AEF=∠DFE，∠BAE=∠FDC=30°∴∠EAD=∠FDA，且AE=DF∴四边形ADFE是等腰梯形，且EF∥AD，（2）正方形ABCD的边长为2，则在直角△AEH中，AH=BH=1，∴AE=AHcos30°=132=23=233，EH=33，即EF=2-233，故AE+BE+EF+CF+DF，=4×233+2-233，=2+23．答：AE+BE+EF+CF+DF的长度为2+23．
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据魔方格专家权威分析，试题“将正方形的四个顶点用线段连接起来，怎样的连线最短？研究发现，并..”主要考查你对&&正方形，正方形的性质，正方形的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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正方形，正方形的性质，正方形的判定
正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 特殊的长方形。四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形是正方形。有一个角为直角的菱形是正方形。对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。对角线相等的菱形是正方形。正方形的性质：1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直2、内角：四个角都是90°；3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。8、正方形是特殊的长方形。正方形的判定：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 1：对角线相等的菱形是正方形。2：有一个角为直角的菱形是正方形。3：对角线互相垂直的矩形是正方形。4：一组邻边相等的矩形是正方形。5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。有关计算公式：若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；正方形周长计算公式: C=4a 。S正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）
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916452102877170396916429904913100436如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（它有四个顶点，各顶点的点数分别是1至4这四个数字中一个），每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的顶点数作为直角坐标中P点的坐标）第一次的点数作横坐标，第二次的点数作纵坐标）．（1）求P点落在正方形ABCD面上（含正方形内部和边界）的概率．（2）将正方形ABCD平移整数个单位，则是否存在一种平移，使点P落在正方形ABCD面上的概率为；若存在，指出其中的一种平移方式；若不存在，请说明理由．【考点】；；；．【专题】压轴题．【分析】（1）依题意得点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，故点P的坐标共有16种情况，有四种情况将落在正方形ABCD上，所以概率为 ．（2）要使点P落在正方形面上的概率为 ，所以要将正方形移动使之符合．【解答】解：（1）根据题意，点P的横坐标有数字1，2，3，4四种选择，点P的纵坐标也有数字1，2，3，4四种选择，所以构成点P的坐标共有4×4=16种情况．如下图所示：其中点P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种情况将落在正方形ABCD面上，故所求的概率为 ．（2）因为要使点P落在正方形ABCD面上的概率为 ，所以只能将正方形ABCD向上或向右整数个单位平移，且使点P落在正方形面上的数目为12．∴存在满足题设要求的平移方式：先将正方形ABCD上移2个单位，后右移1个单位（先右后上亦可）；或先将正方形ABCD上移1个单位，后右移2个单位（先右后上亦可）．【点评】本题综合考查了平移的性质，几何概率的知识以及正方形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：cair。老师　难度：0.45真题：1组卷：14
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在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD,它的四个顶点为A(10,0),B(0,10),C(-10,0
正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x-y=-10、x+y=-10、x-y=10
直线y=10与正方形交于B（0，10）（一个）
直线y=9与正方形的边交于（-1，9）、（1，9），界于其间的还有（0，9）（3个）
以下依次是y=8与正方形的边和内部有交点（-2，8）、（-1，8）、（0，8）、（-1，8）、（2，3）（5个）
……………………
直线y=1与正方形的边和内部有交点（-9，1）、……、（9，1）共19个
对称的正方形在x轴的下发还有同样多，
最后直线y=0（对角线x轴）上有（-10，0）、（-9，0）、……（0，0）、……（10，0）共21个
所以正方形及其内部共有
2(1+3+5+……+19）+21=2*10(1+19)/2+21=221个整点。
貌似当X=0时一共有21个点
应该是201个点吧?
大家还关注如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则&CPD的度数是（　　）
试题及解析
学段：初中
学科：数学
如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则∠CPD的度数是（　　）
点击隐藏试题答案:
点击隐藏答案解析:
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质．
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正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系
正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请你说明理由；（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD（1分）∵∠1和∠2都对，∴∠1=∠2，（3分）在△ADF和△ABE中，，∴△ADF≌△ABE（SAS）；（4分）（2）由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠3=90°．∴∠BAF+∠4=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF=AE．（8分）即DE-DF=AE．∴DE-BE=AE．（9分）（3）BE-DE=AE．理由如下：（12分）在BE上取点F，使BF=DE，连接AF．易证△ADE≌△ABF，∴AF=AE，∠DAE=∠BAF．（5分）在正方形ABCD中，∠BAD=90°．∴∠BAF+∠DAF=90°．∴∠DAE+∠DAF=90°．∴∠EAF=90°．（6分）∴△EAF是等腰直角三角形．∴EF2=AE2+AF2．∴EF2=2AE2．（7分）∴EF=AE．（8分）即BE-BF=AE．∴BE-DE=AE．（9分）
本题考点：
圆周角定理；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质．
问题解析：
（1）中易证AD=AB，EB=DF，所以只需证明∠ADF=∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；（2）中易证△AEF是等腰直角三角形，所以EF=AE，所以只需证明DE-BE=EF即可，由BE=DF不难证明此问题；（3）类比（2）不难得出（3）的结论．}