排列组合应用题的解题策略
15:36:00作者：佚名来源:网络（0条）字号：
&&&& &排列组合应用题的解题策略
&&&&& 排列组合问题是高考的必考题，它千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口，不易掌握．实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径．下面就此谈一谈排列组合应用题的解题策略．
1．相邻问题捆绑法．题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．
例1&&4名男生和3名女生排成一排，男生必须排在一起的方法有多少种？
解析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有&种排法，而男生之间又有&种排法，由乘法原理得总排法数：&种．
2．不相邻问题插入法．元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．
例2&&七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（&&&）
A．1440种 B．3600种 C．4820种 D．4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为&种，再用甲乙去插6个空位有&种，不同的排法种数是&种，选B．
3．定序问题概率法．在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用概率的方法．
例3&&一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
解析：六节课的排列总数中，体育课排在数学课之前与数学课排在体育课之前的概率相等，均为&，故本例所求的排法种数就是所有排法的&，即&种．
4．标号排位问题分步法．把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．
例4&&将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数和，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（&&&&）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有&种填法．选B．
5．有序分配问题逐分法．有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法．
例5&&有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（&&&&）
A．1260种 B．2025种 C．2520种 D．5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有&种．选C．
6．全员分配问题分组法．
例6&&4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
解析：把四名学生分成3组有&种方法，再把三组学生分配到三所学校有&种，故共有&种．
注：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配．
7．名额分配问题隔板法．名额分配或相同物品的的分配问题，适宜采用隔板法．
例7&&某校准备组建一个由12人组成的篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共有多少种？
解析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额间的11个空当中插入7块隔板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有&种．
8．限制条件的分配问题分类法．
例8&&某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来种，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案&种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有&方法，所以共有3&种；
③若乙参加而甲不参加同理也有3&种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有&种，共有7&种方法．所以共有不同的派遣方法总数为&种．
9．多元问题分类法．元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计．
例9&&从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将I={1，2，3，…，100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A={4，8，12，…，100}；能被4除余1的数集B={1，5，9，…，97}，能被4除余2的数集C={2，6，…，98}，能被4除余3的数集D={3，7，11，…，99}，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B，D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求．所以符合要求的取法共有&种．
10．定位问题优先法．某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素．
例10&&1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有&种，4名同学在其余4个位置上有&种方法；所以共有&种．
11．多排问题单排法．把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．
例11&&8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有&种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有&种，其余5个元素任排5个位置上有&种，故共有&种排法．
12．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法
例12&&从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（&&&&）
A．140种 B．80种 C．70种 D．35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有&种．选C．
解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有&台．选C．
13．选排问题先取后排．从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．
例13&&9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有&种，这四名运动员混和双打练习有&种排法，故共有&种．
14．部分合条件问题排除法．在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求．
例14&&以正方体的顶点为顶点的四面体共有（&&&&）
A．70种 B．64种 C．58种 D．52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成&个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有&个．
15．圆排问题单排法．把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时针）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：&；&；&在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有&种．因此可将某个元素固定展成单排，其它的&个元素全排列．
例15&&5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5对姐妹站成一圈，属圆排列有&种，然后再让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式&种不同站法．
注：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有&种不同排法．
16．可重复的排列求幂法．允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法．
例16&&把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步：将第一名实习生分配到车间有7种不同方案；第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案．
17．复杂排列组合问题构造模型法．
例17&&马路上有编号为1，2，3，…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯&种方法．所以满足条件的关灯方案有10种．
注：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排除模型，装盒模型可使问题容易解决．
18．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法．
例18&&设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有&种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以三球只有2种装法，因此总共装法数为&种．
19．复杂的排列组合问题也可用分解与合成法．
例19&&30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的形式×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
20．利用对应思想转化法．对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理．
例20&&圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有&个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有&个．
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根据题意，先将5名工作人员分成3组：1，2，2，共有=15种再分到3所学校，有=6种∴不同的安排方案共有15×6=90种故答案为：90．高中数学 四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有多少种？ 详解 过
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(R = OA)（cosB/sinC）向量AB+（cosC/sinB）向量AC = 2m向量AO
==>| (cosB/sinC）向量AB+（cosC/sinB）向量AC |^2 = | 2m向量AO |^2 = 4m^2 * R^2
| (cosB/sinC）向量AB |^2 + 2 （cosB/sinC）向量AB *（cosC/sinB）向量AC + | (cosC/sinB）向量AC |^2 = 4m^2 * R^2 (cosB)^2 * 4R^2 + (cosBcosC/(sinCsinB))(向量AB * 向量AC) + (cosC)^2 * 4R^2 = 4m^2 R^2 (cosB)^2 4R^2+ (cosBcosC/(sinCsinB))(AB*AC*cosA) + (cosC)^2 * 4R^2 = 4m^2 R^2(cosB)^2 + cosBcosCcosA + (cosC)^2 = m^2 m = ((cosB)^2 + (cosC)^2 + cosAcosBcosC)^(1/2)5. 不正确.比如,AB = BC = CA = 1, DA = 根号2,DB = BC = (根号6 + 根号2)/2,∠ABD = ∠ACD = 45°,∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 30°,∠DBC = ∠DCB = 75°.D-ABC 不是正三棱锥.}