证明:连续奇函数的一切原函数为偶函数,连续偶函数的原函数中有一个为奇函数._百度作业帮
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证明:连续奇函数的一切原函数为偶函数,连续偶函数的原函数中有一个为奇函数.
证明:连续奇函数的一切原函数为偶函数,连续偶函数的原函数中有一个为奇函数.
设f(x)的原函数为F(x)F(-x)=∫[0,-x]f(t)dt+F(0)（设u=-t）=-∫[0,x]f(-u)du+F(0)若f(x)为奇函数,则F(-x)=∫[0,x]f(u)du+F(0)=F(x)即F(x)为偶函数若f(x)为偶函数,则F(-x)=-∫[0,x]f(u)du+F(0)=-F(x)+2F(0)当F(0)=0时为奇函数（也就是在原函数F(x)+C中取C=-F(0)）因此只有一个证明 1.两个奇函数的和是奇函数,两个偶函数的和是偶函数2.两个奇函数的复合函数是奇函数,两个偶函数或一个奇函数与一个偶函数的复合函数是偶函数、_百度作业帮
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证明 1.两个奇函数的和是奇函数,两个偶函数的和是偶函数2.两个奇函数的复合函数是奇函数,两个偶函数或一个奇函数与一个偶函数的复合函数是偶函数、
证明 1.两个奇函数的和是奇函数,两个偶函数的和是偶函数2.两个奇函数的复合函数是奇函数,两个偶函数或一个奇函数与一个偶函数的复合函数是偶函数、
1.若f(x),g(x)都是奇函数则有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)所以f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]说明f(x)+g(x)为奇函数当两个都是偶函数的时候证明过程类似2.复合函数当两个都是奇函数时有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)则f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)]所以f[g(x)]是奇函数当一奇一偶时有两种情况若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数则有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)f[g(-x)]=f[g(x)]所以f[g(x)]是偶函数其他情况的做法类似,总之就是用奇函数和偶函数的定义和性质去证明就行了
证：令g(x),g（x)为奇函数，f(g(-x))=f-(g(x)）=-f(g(x))所以f（g(x)为奇函数证：vx为奇函数ux为偶函数u(v(-x))=u(-vx)=u(vx)所以为偶函数证明如果一个函数是偶函数,那么它的图像关于y轴对称_百度作业帮
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证明如果一个函数是偶函数,那么它的图像关于y轴对称
证明如果一个函数是偶函数,那么它的图像关于y轴对称
设y=f(x)是偶函数,证明y=f(x)的图象关于y轴对称分析：要证明图象关于y轴对称,即证明图象上任意一点关于y轴的对称点还在自身图像上【证明}：设P(x,y)为 f(x)图象上任意一点,∴ y=f(x),P关于y轴的对称点P(x',y'),则x'=-x,y'=y∵f(x)是偶函数∴f(-x)=f(x),即f(x')=f(x)=y=y'∴y'=f(x')∴P(x',y')坐标满足y=f(x)解析式∴P(x',y')在y=f(x)的图像上∴y=f(x)的图象关于y轴对称
要证明图像关于y轴对称，只需设（x,y)图像上，证明（-x,y)也在图像上。
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函数奇偶性
的奇偶性？求证明函数奇偶性的步骤
首先要看函数的定义域是否关于y轴对称，如果定义域不是关于y轴对称的，则是非奇非偶函数。
如果定义域关于y轴对称了：
1.能证明该函数f(x)＝f(－x)，则是偶函数
2.能证明该函数f(－x)＝－f(x)，则是奇函数
3.如果不符合1和2的，则是非奇非偶函数
的定义域不是关于原点对称，则函数非奇非偶；
若函数的定义域关于原点对称，则如果f(-x)=f(x),函数f(x)为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，函数为奇函数，有时不太好判断时，看是f(-x)-f(x)=0还是f(-x)+f(x)=0，前一种情况为偶函数，后一种情况为奇函数
（2）奇函数+奇函数=奇函数，奇函数乘（或除）奇函数=偶函数
偶函数+（-）偶函数=偶函数，偶函数乘（或除）偶函数=偶函数
奇函数乘（或除）偶函数=奇函数
（3）奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数。奇函数的原函数是偶函数。偶函数的原函数中有一个是奇函数
（4）一般来说，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，在定义域内奇函数中f(0)=0恒成立
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奇函数的原函数是偶函数
的导数是奇函数。
证明：
F(-x)=F(x)
等式两边求导，得-F&(-x)=F&(x)
F&(-x)=-F&(x)
奇函数的原函数是偶函数。
证明：
f(-x)=f(x)
为什么我们不能通过等式两边求不定积分来证明呢？而要借助于变上限积分来证明？
如上面的定理，可以等式两边求导，那等式两边能求不定积分吗？
谢谢帮助。
对于关于函数的等式,两边可以求不定积分,但要注意积分后一定要在等号的一边加上任意常数C。
如果f(x)和g(x)都有原函数,且f(x)=g(x),那么
∫f(x)dx=∫g(x)dx+C
其中C为任意常数。
另外,上题结论有误,应改为:
定义域是关于原点对称的一个区间的奇函数的原函数是偶函数。
F(x)=lnx,x&0时
ln(-x)+1,x&0时
是f(x)=1/x的一个原函数,但不是偶函数。
上题不能通过求不定积分证明,可以这样证明:
设奇函数f(x)的定义域是(-a,a)或[-a,a]或(-∞,+∞),其中a是正常数,设它的一个原函数是F(x),则
(F(x)-F(-x))'
=F'(x)+F'(-x)
=f(x)+f(-x)=0.
从而F(x)-F(-x)=C,其中C为常数。
上式中令x=0得C=0。因此对于f(x)定义域内任意x,
F(x)=F(-x)
即F(x)是偶函数。
不是唯一的。
如奇函数f(x):
f(-x)=-f(x)，设F'(x)=f(x),则：
F(-x)=&f(-x)dx=-&f(x)dx=-F(x)+C
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