线性代数§5.1_百度文库
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线性代数§5.1|普​通​高​等​教​育​“​十​一​五​”​国​家​级​规​划​教​材​?​?​?​?​?​?​工​程​数​学​《​线​性​代​数​》​?​?​?​?​?​
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​同​济​大​学​数​学​系​编​第​五​版
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矩阵与行列式
线性空间与线性变换
· 格拉姆-施密特正交化 ·
在中，如果上的一组向量能够组成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。
这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在中，这种方法被推广为（）。
在中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。
：为n 的内积空间
：中的元素，可以是向量、，等等
：、……张成的
图1 在上投影，构造上的正交基
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。由投影原理知，与其在上的投影之差
是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。因此只要将单位化，即
那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下：
这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。
考察如下Rn中向量的，欧氏空间上内积的定义为&a, b& = bTa：
下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：
下面验证向量与的正交性：
将这些向量单位化：
的一组标准正交基底。
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如，在实向量空间上，内积定义为：
在复向量空间上，内积定义为：
之间的内积则定义为：
与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。线性代数，施密特正交化方法中，下图铅笔画的2/5 1/5怎么算出来的_百度知道
如果坚持考数学专业的话，我建议考金融，现在的形势是要么技术亥窢掇谷墀咐峨栓法兢男要么就金融。可以说这两个是高就业的代表，不过对总分要求较高，就要求你数学要110左右，不能在低了。工科的话你别想了，大部分考数 一，你基础差。考金融的话我希望你考个一般点的，主要是为了换专业。其实只要不是很牛B的大学，金融的就业水平都差不多。比如山财和青岛大学一类的，出来也就是进市行，甚至更下边，至于总行根本没门，可是考的难度差太远了。所以考金融除非你有把握考上超牛的大学，如果没有就报个地理位置好的比较一般的学校。至于英语专业，说实话也就是出来当老师，秘书类的 ，就业面确实窄，考公务员也被限制诸多。如果想考金融的话，你跨度较大，数学又不好，得自己多多努力，英语专业的英语应该不能差吧。多旁听旁听数学吧，这个是关键。比较一般的学校专业课不是很难，所以还是先抓数学吧。就这么多了，值不值你看。
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线性代数，施密特正交化，课本有说，正交矩阵化实对称矩阵A为对角矩阵步骤：
课本有说，正交矩阵化实对称矩阵A为对角矩阵步骤：1. 求出A的全部特征值λ1，λ2，λ3, ..., λn;2. 对每个特征值λi, 求出相应齐次线性方程组 （λiE-A)x=0 的一个基础解系，并利用施密特正交化方法将这个基础解系中的向量先正交化再单位化（如λi为单特征值或该基础解系已是正交向量组，则只需要单位化），从而得到属于特征值λi的正交化单位化的特征向量。3. ....实对称矩阵的定理有说，属于不同特征值的特征向量是正交的我的问题是：基础解系是由特征向量组成，那就天然正交了，为何第二步要提及施密特正交化？有什么例子需要正交化的？
提问者采纳
属于不同特征值的特征向量是正交的，但如果一个特征值的重数k＞1，那么属于这个特征值的线性无关的特征向量有k个，这k个特征向量不一定正交，需要对它们正交化。
提问者评价
非常感谢~~
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线性代数 施密特正交化中单位化中双括号里的怎么算
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施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的模长吧,
如果是向量的模长的话,应该是把向偿礌罐度忒道闺权酣护量的各个分量先平方再相加,然后再开算数平方根,就是模长了.而如果施密特正交化中单位化中双括号里的东西是指的向量的内积,那就是把两个向量对应分量相乘再相加,就是内积了.
能不能举个例子，就是模长
比如三维向量a=(1,2,3),其模长表示为||a||=根号下(1^2+2^2+3^2)=根号下14.
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