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《中考数学真题分类汇编(150套)专题三十三_平行四边形》.doc24页
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中考数学真题分类汇编―平行四边形 一、选择题 1．(2010江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，
则平行四边形ABCD的周长是
． 【答案】12 2．（2010台湾）图(十)为一个平行四边形ABCD，其中H、G两点分别在、
上，(，(，且、、将(BAD分成
(1、(2、(3、(4四个角。若=5，=6，则下列关系何者
正确？ (A) (1=(2
(D) = 。 【答案】A
3．（2010重庆綦江县）如图，在中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（
） ①△CDF≌△EBC
②∠CDF＝∠EAF
③△ECF是等边三角形 ④CG⊥AE A．只有①②
B．只有①②③
C．只有③④
D．①②③④ 【答案】中，与相交于点，点是边的中点，，则的长是 （A）
（B） （C）
（D） 【答案】，则ΔCEF的周长为（
【答案】∠DAB，AB?=?3，
则□ABCD的周长为 A．6
D．15 【答案】C
7．（2010浙江湖州如图在ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则ABCD的周长等于（
） A．10cm
D．4cm 【答案】A．，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（
） （A）6种
（D）3种 【答案】C
9．（2010山东泰安）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（
） A、AD=CF
D、DE=EF 【答案】C，则； ②若，则； ③角的平分线上的点到角的两边的距离相等； ④平行四边形的对角线互相平分． 其中原命
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《点、直线、平面之间的位置关系》同步练习4（新人教A版必修2）
新课标数学（人教A版）必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题一、选择题1．【06陕西·理】已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是A. 平面必平行于
B. 平面必与相交　　C. 平面必不垂直于
D. 存在的一条中位线平行于或在内2．【06上海·理】若空间中有四个点，则"这四个点中有三点在同一直线上"是"这四个点在同一平面上"的　　（A）充分非必要条件；
（B）必要非充分条件；　　（C）充要条件；
（D）非充分非必要条件．3．【06上海·文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个"正交线面对"。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是　　（A）48
（D）364．【06四川·理】 已知二面角的大小为，为异面直线，且　　，则所成的角为　　（A）
（D）5．【06四川·理】 已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C　　两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离是，则二面角的大小是　　（A）
（D）7．【06天津·理】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是　　A．
B．　　C． D．8．【06北京·文】设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是　　A．AC与BD共面，则AD与BC共面　　B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线　　C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC　　D．若AB=AC，DB=DC，则ADBC9．【06天津·文】若为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：　　①；②；③．　　其中正确的命题有　　A．0个
D．3个10．【06浙江·理】如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是　　（A）
（D）11．【06浙江·文】如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是　　（A）2
（D）12．【06重庆·文】若是平面外一点，则下列命题正确的是　　（A）过只能作一条直线与平面相交　　（B）过可作无数条直线与平面垂直　　（C）过只能作一条直线与平面平行　　（D）过可作无数条直线与平面平行13．【06重庆·理】对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与　　（A）平行
（D）互为异面直线14．【06福建·理】对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是　　（A）若则　　 （B）若则　　（C）若则　　　（D）若、与所成的角相等，则15．【06湖北·理】关于直线、与平面、，有下列四个命题：　　① 若，且，则；　　② 若，且，则；　　③ 若，且，则；　　④ 若，且，则。　　其中真命题的序号式　　A．①②
D．②③16．【06辽宁·文】给出下列四个命题：　　①垂直于同一直线的两条直线互相平行　　②垂直于同一平面的两个平面互相平行　　③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行　　④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线　　其中假命题的个数是　　（A）1
（D）417．【06全国Ⅱ·理】如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则　　（A）　
　（D）18．【06全国Ⅱ·文】如图（同理科图），平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB=12，则　　（A）4　 　　（B）6
（C）8　　　　（D）9二、填空题1．【06安徽·理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：　　①3；
⑤7　　以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）2．【06安徽·文】平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中　　有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：　　①1；
④4；　　以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）3．【06山东·文】如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点到平面　的距离为　　　　。4．【06北京·理】已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为
，球心到平面的距离为______________。5．【06天津·理】如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为______________。6．【06天津·文】如图（同理科图），在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到直线的距离为　　　　　。7．【06浙江·理】（如图，在6题上）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________。8．【06辽宁·理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_____。9．【06全国Ⅰ·理】已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为____________。10．【06四川·文】是空间两条不同直线，是空间两条不同平面，下面有四个命题：　　①
④　　其中真命题的编号是
（写出所有真命题的编号）。三、计算题　　1．【06广东】 如图所示，、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,。　（I）求二面角的大小；　（II）求直线与所成的角.　　【解】（I）∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，　　故∠BAF是二面角B-AD-F的平面角，依题意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450.即二面角B-AD-F的大小为450；（II）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则　，），，　，，所以，设异面直线BD与EF所成角为，则。直线BD与EF所成的角为。　　2．【06安徽·理】如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。　（Ⅰ）证明⊥；　（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。满分12分。方法一：连结AD，则易知AD与BF的交点为O。　（I）证法1：又证法2:　　（II）设M为PB的中点，连结AM，MD。斜线PB在平面ABC内的射影为OB，。又因此，为所求二面角的平面角。在正六边形ABCDEF中，在Rt在Rt，则在中，由余弦定理得因此，所求二面角的大小为方法二：由题设条件，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图。由正六边形的性质，可得在中，
故因而有（I）证明：因
故所以（II）设M为PB的中点，连结AM, MD, 则M点的坐标因此，为所求二面角的平面角。因此，所求二面角的大小为。　　3．【06北京·理】
如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.　（Ⅰ）求证：；　（Ⅱ）求证：平面；　（Ⅲ）求二面角的大小.【解】 解法一：　　（Ⅰ）PA平面ABCD，　 AB是PB在平面ABCD上的射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.　　（Ⅱ）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形
O是BD的中点又E是PD的中点，
EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，　　（Ⅲ）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则　　EF是△PAD的中位线，
?EFPA又平面，
?EF?平面　　同理FO是△ADC的中位线，?FOAB?FO?AC由三垂线定理可知??EOF是二面角E－AC－D的平面角.
又FO＝AB＝PA＝EF。　　??EOF＝45?而二面角与二面角E－AC－D互补，　　故所求二面角的大小为135?.　　解法二：　　（Ⅰ）建立空间直角坐标系A-xyz，如图。设AC=a，PA=b。则有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b），　　∴
从而，∴。　　（Ⅱ）连结BD，与AC相交于O，连结EO。由已知得，，，∴，又，
∴ ，∴ ，又PB平面AEC，EO平面AEC。　　∴ PB平面AEC。　　（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，又是二面角的平面角。二面角的大小为　　　　4．【06北京·文】如图，是正四棱柱。　（I）求证：BD⊥平面；　（II）若二面角的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。【解】解法一：（Ⅰ）∵ 是正四棱柱，∴ CC1⊥平面ABCD，
∴ BD⊥CC1，∵ ABCD是正方形，
∴ BD⊥AC又 ∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，∴ BD⊥平面　　　　（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。∵ CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴ BD⊥C1O，∴ ∠C1OC是二面角的平面角，∴ ∠C1OC=60°。　　　连接A1B
∵ A1C1∥AC，　　　∴ ∠A1C1B是异面直线BC1与AC所成角。设BC=a，则CO=，CC1=CO，A1B=BC1= ，。　　　在△A1B1C1中，由余弦定理得 ，　　　∴ A1C1 B=， ∴ 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。解法二：　　（I）建立空间直角坐标系D-xyz，如图。　　设AD=a，DD1=b，则有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C1（0,a,b,）∴，，　　∴ ，　　∴ ，
。又∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，　　∴ BD⊥平面　　（Ⅱ）　　　设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为，∵ ，
∴ BD⊥C1O ，又BD⊥CO∴ ∠C1OC是二面角的平面角，
∴ ∠C1OC=60°。∴ ，
∴ 。∵ ，，
∴　　　∴ 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。　　5．【06山东·文】 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.　　（Ⅰ）求异面直接与所成角的余弦值；　　（Ⅱ）求二面角的大小；　　（Ⅲ）设点M在棱上，且为何值时，平面。【解】 解法一：平面，又，由平面几何知识得：　　（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，又
四边形是平行四边形。是的中点，且又，
为直角三角形，在中，由余弦定理得：故异面直线PD与所成的角的余弦值为。　　（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角，二面角的大小为　　（Ⅲ）连结，平面平面，又在中，，，故时，平面　　解法二： 平面又，，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，　　（Ⅰ），
。故直线与所成的角的余弦值为。　　（Ⅱ）设平面的一个法向量为，由于，，
得取，又已知平面ABCD的一个法向量，。又二面角为锐角，
所求二面角的大小为　　（Ⅲ）设，由于三点共线，，平面由（1）（2）知：，。　　故时，平面。　　6．【06陕西·理】 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:　（I） 直线AB分别与平面α,β所成角的大小；　（II）二面角A1－AB－B1的大小。【解】 解法一：（Ⅰ）如图, 连接A1B,AB1,∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.　　Rt△BB1A中, BB1= , AB=2,　　∴sin∠BAB1 =
∴∠BAB1=45°.Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= =
∴∠ABA1= 30°.故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.　　（Ⅱ）∵BB1⊥α,
∴平面ABB1⊥α。　　在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，　　∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°，
∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中，A1B== = 。由AA1·A1B=A1F·AB得A1F== = ,∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE =
= ，∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.解法二：（Ⅰ）同解法一.　　（Ⅱ） 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得\s\up6(→(→)=t\s\up6(→(→) , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), ∴点F的坐标为(t, t,1t).要使\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→),须\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t=
，　　∴点F的坐标为（,,
∴\s\up6(→(→)=(,,
).　　设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,, ）。
∴\s\up6(→(→)=(,,).又\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)=(,－,)·(,1, 1)=
∴\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→),∴∠A1FE为所求二面角的平面角.又cos∠A1FE= \s\up6(→(A1F,\s\up6(→)= =
= ,∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.　　　　7．【06上海·理】 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．　　（1）求四棱锥P－ABCD的体积；　　（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO,于是，PO=BOtg60°=,　　而底面菱形的面积为2.∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.　　（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)。E是PB的中点，则E(,0,)。
于是=(,0,),=(0,,).设与的夹角为θ，有cosθ=，
θ=arccos。∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.由E是PB的中点，得EF∥PA,∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,于是,在等腰Rt△POA中,PA=,则EF=.在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=.
cos∠FED==∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.　　8．【06上海·文】 在直三棱柱中，.　（1）求异面直线与所成的角的大小；　（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。【解】 （1） ∵BC∥B1C1，
∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)∵∠ABC=90°,AB=BC=1，
∴∠ACB=45°,∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.　　（2）∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=
∴AA1=。∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=。　　9．【06四川·理】 如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。　　【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结∵分别为的中点∵∴面，面∴面面
∴面　　（Ⅱ）设为的中点∵为的中点
∴面作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，，从而在中，故：二面角的大小为。　　（Ⅲ）作，交于，由面得∴面∴在中，∴。方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则∵分别是的中点∴　　（Ⅰ），取，显然面，∴
∴面　　（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得:解得∴
即∴与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为。　　（Ⅲ）设为平面的法向量，则又∴
∴可取∴点到平面的距离为，∵，，∴，∴。　　10．【06天津·理】 如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．　（1）证明//平面；　（2）设，证明平面．【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.　（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中。
，又，则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.又平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE　（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.　　因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而，
所以EO⊥平面CDF.11．【06浙江·理】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，， 底面，且，分别为、的中点。　（Ⅰ）求证：；　（Ⅱ）求与平面所成的角。　　【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。　方法一：　（I）因为是的中点，，所以.因为平面，所以，从而平面.因为平面，　　所以.　（II）取的中点，连结、，则，　　所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.因为平面，　　所以是与平面所成的角.在中，。故与平面所成的角是。方法二：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则.　　（I）
因为，所以　　（II）
因为，所以，又因为，所以平面因此的余角即是与平面所成的角.因为，　　所以与平面所成的角为。　　12．【06重庆·文】 如图（上右图），在正四棱柱中，，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：　　（Ⅰ）异面直线与所成角的大小；　　（Ⅱ）二面角的正切值；【解】 解法一：（Ⅰ）由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由∽得在。　　　　（Ⅱ）作　　为二面角即二面角的平面角在，从而解法二：（Ⅰ）由为异面直线所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，由此可得从而，于是在　　（Ⅱ）在知为钝角，作为二面角二面角的平面角，　　在,从而。解法三：（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。于是，，，，，因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，设，则由，于是故,设异面直线AD与所成的角的大小为，则，从而。　（Ⅱ）作为二面角二面角的平面角,设则，由得，由此得又由共线得，从而，于是　　联立（i）和（ii）得，，故由，　　得：。　　13．【06重庆·理】 如图，在四棱锥中，底面ABCD，为直角，,E、F分别为、中点。　　（I）试证：平面；　　（II）高，且二面角的平面角大小，求的取值范围。【解】 （I）证：由已知且为直角。故ABFD是矩形。从而。又底面ABCD，，故由三垂线定理知。在Rt中，E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而，由此得面BEF。　　（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而为二面角E-BD-C的平面角。设。　　以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。连结GD，因。故GH＝。在。，
而。因此，。由知是锐角。故要使，必须，解之得，上式中的取值范围为。　　14．【06福建·理】 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，　　（I）求证：平面BCD；　　（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；　　（III）求点E到平面ACD的距离。　　【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。方法一：（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即　　
平面　　（II） 取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，异面直线AB与CD所成角的大小为　　（III） 设点E到平面ACD的距离为，
∴在中，而点E到平面ACD的距离为方法二：（I）同方法一。　　（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的大小为　　（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量。又
点E到平面ACD的距离　　15．【06湖北·理】 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。　　【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。　　解法１：（I）故。所以。又.故在△，即.故当时，直线。　　（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。　　（Ⅱ）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。　　依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于　　即为的中点时，满足题设的要求。16．【06湖北·文】 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。　（Ⅰ）求二面角的平面角的余弦值；　（Ⅱ）求点到平面的距离。　【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面，从而AM, AMNM，所以为二面角的平面角。又=，MN=,连，得＝，在中，由余弦定理得。故所求二面角的平面角的余弦值为。　　（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,C(0,1,0)，N (0,1,) ，A ()，所以，，，。因为所以，同法可得。　　故为二面角的平面角。　　∴ ＝故所求二面角-AM-N的平面角的余弦值为。　（Ⅱ）设为平面AMN的一个法向量，则由得　　
故可取。设与n的夹角为，则。　　所以到平面AMN的距离为。　　17．【06湖南·理】 如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, 。（I）证明: ；（II）求异面直线所成的角；（III）求点到平面的距离。【解】 解法一：（Ⅰ）连接AC、BD，设ACBD＝O因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD　　从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD　　（II）由题设知，ABCD是正方形，所以．由（I），平面，故可分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，A（,0,0），，于是从而异面直线AQ与PB所成的角是。（Ⅲ）由（Ⅱ），点D的坐标是　，，设＝（x,y,z）是平面QAD的一个法向量，由所以点P到平面的距离。　　解法二：（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM。因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。从而AD平面PQM。又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。　　（Ⅱ）连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。取OC的中点N，连接PN。因为，所以， （或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。　　连接BN。
因为．所以。　　从而异面直线AQ与PB所成的角是。（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。即点P到平面QAD的距离是。　　18．【06江苏】 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）　　（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；　　（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；　　（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）。【解】[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力]　不妨设正三角形的边长为3，则　　（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。又AE=DE=1，∴EF⊥AD。在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。　　（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，　∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。　　（III）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF。∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，又PQ=BP=1，
∴PF=PQ...... ①∵A1E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q，∴△A1FP△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ...... ②由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，故∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的一个平面角。在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，
∴A1P=，∵MQ⊥A1P，
∴MF=。在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=，在△FMQ中，，∴二面角B－A1P－F的的大小为。　　19．【06江西·理】如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形　（1）求证：AD?BC；　（2）求二面角B－AC－D的大小；　（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD。成30?角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。【解】 解法一：　（1） 方法一：　作AH?面BCD于H，连DH。AB?BD==>HB?BD，又AD＝，BD＝1?AB＝＝BC＝AC
?BD?DC又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH? BC?AD?BC方法二：取BC的中点O，连AO、DO则有AO?BC，DO?BC，
?BC?面AOD?BC?AD　　（2）作BM?AC于M，作MN?AC交AD于N，则?BMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝?M是AC的中点，且MN??CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cos?BMN＝　　? ?BMN＝arccos。　　（3）设E是所求的点，作EF?CH于F，连FD。则EF??AH，?EF?面BCD，?EDF就是ED与面BCD所成的角，则?EDF＝30?。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，　　FD＝，
?tan?EDF＝＝＝
解得：x＝，　　则CE＝x＝1故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30?角。　　解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。　　20．【06江西·文】 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。　（1）求O点到面ABC的距离；　（2）求异面直线BE与AC所成的角；　（3）求二面角的大小。【解】方法一：（1）取BC的中点D，连AD、OD。，则∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。，。∴面OBC，则。，在直角三角形OAD中，有（另解：由知：）　　（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。求得：，，
∴。　　（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。∵OC⊥面OAB，
∴OC⊥AB。
又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB
∴EF⊥AB，则∠EFC就是所求二面角的平面角。作EG⊥CF于G，则。在直角三角形OEF中，（或表示为）方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。　　则有A（0,0,1）、B（2,0,0）、C（0,2,0）、E（0,1,0）设平面ABC的法向量为，则由知：，则由知：，取，则点O到面ABC的距离为。　　（2）。所以异面直线BE与AC所成的角。　　（3）设平面EAB的法向量为，则由知；由知：取。由（1）知平面ABC的法向量为。　　结合图形可知，二面角的大小为：。　　21．【06辽宁·理】 已知正方形。、分别是、的中点,将沿折起，如图所示。记二面角的大小为。　　（I） 证明平面；　　（II） 若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论,并求角的余弦值。【解】　　　（I） 证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB//FD，且EB=FD，四边形EBFD为平行四边形。
BF//ED平面.　　（II）解法1：如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G，连结GC,GD.ACD为正三角形，
CG=GDG在CD的垂直平分线上，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，　　过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角A-DE-C的平面角。即。　　设原正方体的边长为2a，连结AF在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形，。在RtADE中,　　。　　解法2：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。ACD为正三角形，F为CD的中点，又因,
所以又且　　为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上　　过G作GH垂直于ED于H，连结AH,则，所以为二面角A-DE-C的平面角。即　　设原正方体的边长为2a，连结AF在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形,在RtADE中,　　。解法3：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。　　ACD为正三角形，F为CD的中点,又因，所以又为A在平面BCDE内的射影G。即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上。　　过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角A-DE-C的平面角.即。　　设原正方体的边长为2a，连结AF在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形,在RtADE中,
,。　　　　　　22．【06全国Ⅰ·理】 如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。　（Ⅰ）证明ACNB　（Ⅱ）若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.【解】 解法一：　　（Ⅰ）又AN为AC在平面ABN内的射影　　　　　　　（Ⅱ）又已知，因此为正三角形.　　，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，为NB与平面ABC所成的角.　　在中，　　解法二：如图，建立空间直角坐标系.
令,则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。　　（Ⅰ）是、的公垂线，，　　故可设C（0，1，m）。于是，
。　　（Ⅱ）又已知
为正三角形，。在中，，可得，故 C（0，1，）　　连结MC，做于H，设　　　　，可得，连结BH，则，　　
。　　23．【06全国Ⅱ·理】如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设 求二面角的大小。【解】 解法一：　（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，　又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，
故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，
ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．　（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB
可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，
又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知　　平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，　　则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．　　所以二面角A1－AD－C1为60°．解法二：　（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)．则C(－a,0,0)，C1(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)．＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．
·＝0，∴ED⊥BB1．又＝(－2a,0,2c)，
∴ED⊥AC1，所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．　（Ⅱ）不妨设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)，＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,0,2)，·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1AD．　　又E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)，＝(－1,0,－1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，
∴ EC⊥面C1AD．cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．　　所以二面角A1－AD－C1为60°．　　24．【06山东·理】 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设　（Ⅰ）求证直线是异面直线与的公垂线；　（Ⅱ）求点A到平面VBC的距离；　（Ⅲ）求二面角的大小。【解】解法1：（Ⅰ）证明： ∵平面∥平面，又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，
为与的公垂线.　　（Ⅱ）解法1：过A作于D，∵△为正三角形，
∴D为的中点.∵BC⊥平面
∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.　　解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，
，即，解得.即A到平面的距离为.所以，到平面的距离为.　　（III） 过点作于，连，由三重线定理知　　是二面角的平面角。在中，。。　　所以，二面角的大小为arctan。解法二：取中点连,易知底面，过作直线交于。　　取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。　　（I），，，。又由已知。
，而。又显然相交，
是的公垂线。（II）设平面的一个法向量，
又由取 得点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。，设所求距离为。则所以，A到平面VBC的距离为.　　（III）设平面的一个法向量由
取，二面角为锐角，　　所以，二面角的大小为　　　　　　　　　　　　　　　　选择题与填空题答案一、选择题1．D
14．C15．D
18．B二、填空题1．①③④⑤
10．①，②}