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正四面体外接球和内切球的半径的求法
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3秒自动关闭窗口设正四面体的内切球与外接球半径分别为r，R，求证R=3r_百度知道
设正四面体的内切球与外接球半径分别为r，R，求证R=3r
提问者采纳
首先，内切球和外接球球心重合，都在体高(体高共四条)上。其次内切球的半径为球心到各面的距离，外接球的半径为球心到顶点的距离。而体高是从顶点向对应的面所作的垂线，可设球心为O，一个顶点为A, 垂足为H, 则OA为外接球半径，OH为内切球半径。设正四面体的高为h,每个面的面积是S 那么,h=R+r 另外正四面体的体积 V=S*h/3 V=(S*r/3)*4,[4个小三棱锥体积和] 从而h=4r, R=3r r:R=1:3
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出门在外也不愁三棱锥内切球体积、外接球体积求法公式。
三棱锥内切球体积、外接球体积求法公式。
要简洁、通用的公式，谢谢！
这问题没有公式，只能求出三棱锥中心到到顶点的距离a 再求出中心到各棱长的垂直距离b a是求外接球体积，b是求内接球体积
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当前分类官方群专业解答学科习题，随时随地的答疑辅导任意的三棱锥都能求出它的内切球和外接球，_百度知道
任意的三棱锥都能求出它的内切球和外接球，
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出门在外也不愁不规则四棱锥外接球的体积怎么求`有什么公式
不规则四棱锥外接球的体积怎么求`有什么公式
先求其直径，直径为四棱柱的异面对角线
的感言：谢谢
其他回答 (1)
有内切球与外接球的三棱柱问题：
例1 ：如图，三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球体积。
【分析】正如三角形的内切圆半径常常与面积发生联系一样，三棱锥的内切球半径常常和体积发生联系，本题中，可以球心为顶点，四个全等的侧面为底面，把原棱锥分割成四个小棱锥，由等体积关系可求出内切球半径，进而求出体积。
【详解】取CD中点E，连结AE、BE
∵AC=AD，∴CD⊥AE
∵BC=BD，∴CD⊥BE 又AE∩BE=E
故CD⊥平面ABE
VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE
=1/3S△ABE·CE+1/3S△ABE·DE
=1/3 S△ABE·（CE+DE）
=1/3 S△ABE·CD=6 7
由于各侧面全等，面积均为12，设内切球半径为r，则
VA-BCD=1/3（S△ABC+ S△BCD+ S△CDA
+S△DAB）·r
=1/3·48 r =16 r =6 7
故r =3 7/8
因此V球=4/3 πr =(63 7/128)π
【评注】多面体如果有一个内切球，球半径为R，多面体n个面的面积分别为S，S，…S，把球心与多面体的顶点连结起来，就把多面体分割成n个以表面为底面，R为高的小棱锥，设多面体体积为V，则有V=1/3R（S+S+…+S），据此可求得球的半径，进而求得球的体积。
例2：如图,正三棱锥P-ABC的高为1，底面边长为2 6，内有一个球与四个面均相切，求棱锥的全面积和球的面积。
【详解】过侧棱PA与球心O作截面PAE交侧面PBC于PE，由于△ABC为正三角形，故AE既是△ABC底边上的高，又是BC边上的中线，作正三棱锥的高PD，则PD过球心O，且D为△ABC的中心。
（1）∵正三角形ABC边长为2 6
∴DE=1/3·AE=1/3·3/2·2 6
∴S全=S侧+S底
=3·1/2·2 6·3+3/4·(2 6)
（2）以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱锥,设球半径为r,则
V+V+V+V=1/3r·S全=1/3h·S△ABC
故r= (S△ABC·h)/ S全= 6-2
∴S球=4πr=4π(6-2)
例3：如图,求半径为R的球O的内接正三棱锥P-ABC的体积的最大值。
【详解】设OO=h,底面边长为a
AO=(R-h)=a/ 3,则a=3(R-h)
故V=1/3 S△ABC·PO
=1/3·3/4·3(R-h)(R+h)
≤〔3/(4·2)〕(R+h)(R+h)(2R-2h)
≤3/8(4R/3)=8 3/27R
(当且仅当R+h=2(R-h)即h=R/3时等号成立)
∴Vmax=(8 3/27)R
例4：如图,过半径为R的球面上的一点M作三条两垂直的弦MA、MB、MC
(1)求证：MA +MB+ MC为定值
(2)求三棱锥M-ABC体积的最大值
【分析】由MA⊥MB可知,过M、A、B三点的平面截球面得一小圆O，而AB是圆O的直径,设球心为O，连结OO，则OO⊥小圆面AMB，所以OO∥MC。由OO和MC确定的平面截球面就得到球的大圆O，M、D为两圆交点，MD为小圆直径，CD为大圆直径，故MA +MB+ MC=AB+MC=MD+MC=4R
【详解】（1）设MA、MB确定的平面截球面得到小圆O
∵MA⊥MB ∴AB为⊙O直径
连结MO并延长交⊙O于D，MD为小圆直径，连结CD
∵MC⊥MA，MC⊥MB，MA∩MB=M
∴MC⊥小圆面AMB，而MC在平面MCD内
∴平面MCD⊥平面MAB
连结OO，则OO⊥小圆面MAB，故过M、C、D的圆是球的大圆
又MC⊥MD，于是CD过球心O，即CD为球O的直径
∴CD= MD+MC=MA +MB+ MC=4R
（2）V=（1/6MA·MB·MC）
=1/36·MA·MB·MC
≤ 1/36〔（MA+MB+MC）/3〕
=1/36（4R/3）
∴Vmax=4/27·3R
【评注】事实上，三棱锥M-ABC是球的内接长方体的一个“角”，故本题也可以用“构造法”，通过构造以MA、MB、MC为三条棱的长方体来求解，这个长方体的对角线就是球的直径，长方体的体积最大时，就成为球的内接正方体。
以上就是学习棱柱、棱锥的一些技巧及其归类运用。相信学生在已有的空间直线和平面知识的基础上，对这部分内容若加以了比较学习，并能注意对其应用加以归类总结，一定能起到事半功倍的效果。
我想知道四棱锥``
没有四棱锥
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