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直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于两点A、B
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直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于两点A、B,(1)当k为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点;(2)是不是存在实数k,使A、B有关直线y=2x对称?若存在,求出k;若不存在,说明理由
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解：把y=kx+1代入3x^2-y^2=1,化简得（3-k^2）x^2-2kx-2=0,△=4k^2+8(3-k^2)=4(6-k^2).设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k/(3-k^2),AB中点M的坐标为（k/(3-k^2),3/(3-k^2)),|AB|=√△/|3-k^2|*√（1+k^2).(1)以AB为直径的圆经过坐标原点,∴4OM^2=AB^2,∴4(k^2+9)/(3-k^2)^2=△(1+k^2)/(3-k^2)^2,∴k^2+9=(6-k^2)(1+k^2),∴k^4-4k^2+3=0,∴k=土1，或k=土√3.(2)若A、B关于直线y=2x对称则AB的斜率k=-1/2,AB中点M(-2/11,12/11)在对称轴y=2x上，∴12/11=-4/11，这是不可能的。∴不存在实数k,使A、B有关直线y=2x对称。
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若直线y=kx+1与圆x方+y方=1相交与P,Q两点且角POQ=120°求k的值
若直线y=kx+1与圆x方+y方=1相交与P,Q两点且角POQ=120°求k的值给出过程谢谢
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由于所给直线必过（0，1）点，所以假设P点就是（0，1）。所以Q点有两个，分别在第三和第四象限，分别分别设为Q1和Q2，连接Q1和Q2，则Q1Q2平行于X轴（自行证明），因为角POQ1和角POQ2都是120度，所以角OQ1Q2=角OQ2Q1=30度，角PQ1O=角PQ2O=30度，所以角PQ1Q2=60度是该直线的一个倾斜角，即斜率k=根号3，另一个则是角PQ2Q1的补角：120度，即该直线的另一个斜率为负根号3.
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&&学年高二数学精品课件：2.3.2.2《双曲线方程及性质的应用》（人教A版选修2-1）
学年高二数学精品课件：2.3.2.2《双曲线方程及性质的应用》（人教A版选修2-1）
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学年高二数学精品课件：2.3.2.2《双曲线方程及性质的应用》（人教A版选修2-1）
消去y并整理得x2+4x-6=0, 因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点， 设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6， 故|DE|= = 【方法技巧】求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点 坐标，再利用两点间距离公式求弦长. (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公 式求解，即若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线C：
(a>0, b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|=
提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况. 【变式训练】已知双曲线
过点P(1，1)能否作一条 直线l,与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？ 【解析】设所求直线方程为y=k(x-1)+1, 由 得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0. 因为l与双曲线相交于A，B两点， 所以Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0 得 设A(x1,y1),B(x2,y2)，由根与系数的关系，有x1+x2=
若点P是线段AB的中点，则有x1+x2=2,即
解得 k=2(舍)，所以这样的直线不存在. 【补偿训练】斜率为2的直线l与双曲线C:
交于A，B 两点，且|AB|=4，求直线l的方程. 【解析】设直线l的方程为y=2x+m,将y=2x+m代入双曲线C的方 程2x2-3y2-6=0得10x2+12mx+3m2+6=0(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得
① 又|AB|= = 所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16
② 将①式代入②，解得 所以直线l的方程为 类型三
双曲线性质的综合应用 【典例3】 (1)已知双曲线
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使 则该双曲线的离心率的取值范围是_______. (2)(2014·大庆高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1. ①过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； ②设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ. 【解题探究】1.题(1)条件
如何转化？ 2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？ 【探究提示】1.利用正弦定理，可将
转化为边之间 的比值. 2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)， Q(x2，y2)，则
得x1x2+y1y2=0. 【自主解答】(1)在△PF1F2中由正弦定理得：
即 所以 由双曲线定义知：|PF1|-|PF2|=2a， 则
|PF2|-|PF2|=2a，即|PF2|= 由双曲线的几何性质，知|PF2|>c-a， 则
>c-a,即c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0, 解得 又e∈(1,+∞)，故双曲线的离心率 答案： (2)①双曲线C1：
渐近线方程：
过点A与渐近线
平行的直线方程为
即 解方程组
得 所求三角形的面积为 ②设直线l的方程是y=x+b. 因直线与已知圆相切， 故
即b2=2. 由
得x2-2bx-b2-1=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以
=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 =2(-b2-1)+b·2b+b2=b2-2=0，故OP⊥OQ. 【方法技巧】与双曲线有关的综合问题 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解. (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解. 【变式训练】已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双 曲线右支上的任意一点，若
的最小值为8a，则双曲线的 离心率e的取值范围是(
) 【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a，
时等号成立. 此时|PF2|=2a，|PF1|=4a， 因为|PF1|+|PF2|≥2c. 所以6a≥2c，即10,b>0),离心 率
顶点到渐近线的距离为 (1)求双曲线C的方程. (2)如图P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线 上，且分别位于第一，二象限，若
求△AOB的面积.
【解析】(1)由题意知，双曲线C的顶点(0，a),到渐近线ax- by=0的距离为 所以
所以曲线C的方程是 (2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x, 设A(m，2m)，B(-n，2n)，(m>0,n>0), 由
得P点坐标为 将P点坐标代入
化简得mn= 设∠AOB=2θ，则
又 所以 【规范解答】与双曲线有关的综合问题
【典例】(12分)(2013·大纲版全国卷改编)已知双曲线C:
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 (1)求a,b. (2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点，且 |AF1|=|BF1|.求直线l的方程. 【审题】抓信息,找思路 【解题】明步骤,得高分 【点题】警误区,促提升 失分点1:解题时若在①处建立不出关于a的等式,求不出a,则会导致下面无法求解,本例最多得2分. 失分点2:若在②处代入消元,得出错误的一元二次方程,致使下面的求解错误,本例最多得5分. 失分点3:若在③处无法表示出x1+x2的具体值,而含有参数k,导致后面求线段长时也含有字母k,而无法判断其关系,本例最多得10分. 【悟题】提措施,导方向 1.注重基础知识的掌握 直线与双曲线的位置关系是一种重要关系,而涉及相交弦的问题是常见类型,其解决方法一般利用代数法.如本例第(2)问消元后,由根与系数的关系,借助于|AF1|=|BF1|求k的值是本题解题的关键. 2.重视知识间的联系 双曲线的综合问题,常常是双曲线与向量、不等式、数列等知识的结合,平时训练时要注意对这些知识结合点的考查,如本例便是双曲线与方程知识的结合. 【类题试解】P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:
(a>0, b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜 率之积为 (1)求双曲线的离心率. (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O 为坐标原点,C为双曲线上一点,满足
求λ的值. 【解析】(1)点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线
由题意又有
可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，则
得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1), B(x2,y2),则
又C为双曲线上 一点，即x32-5y32=5b2， 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得：λ2(x12-5y12)+(x22- 5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2(Ⅰ) 又A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线上，所以x12-5y12=5b2,x22-5y22 =5b2. 由(*)式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)- 5c2=10b2.(Ⅱ) 由(Ⅰ)(Ⅱ)得：λ2+4λ=0,解出λ=0，或λ=-4. 第2课时　 双曲线方程及性质的应用
【题型示范】 类型一
直线与双曲线的位置关系 【典例1】 (1)双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2.给定四条直 线：①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果 上述直线上存在点P，使|PF2|=|PF1|+6，则满足这样条件的直 线对应的序号是___________. (2)(2014·天津高二检测)已知双曲线C:
(a>0,b>0) 的离心率为
且过点 ①求双曲线C的方程； ②若直线l1:
与双曲线C恒有两个不同的交点A，B， 求k的取值范围. 【解题探究】1.题(1)满足条件|PF2|-|PF1|=2a(2a<|F1F2|)的点P的轨迹是什么? 2.题(2)直线l1与双曲线C有两个公共点应满足什么条件? 【探究提示】1.满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲线的左支. 2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解. 【自主解答】(1)由
所以a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5, 由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6< 10. 当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的 左支有公共点. 由已知双曲线的渐近线方程为 对于①③两直线的斜率均为
故①③均与双曲线左支无公 共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点. 答案：②④ (2)①由
所以a2=3b2,故双曲线方程可化为
代入双曲线C的方程，可解得b2=1. 所以双曲线C的方程为 ②联立直线与双曲线方程 ? 由题意得 解得-1<k0时，直线与双曲线有两个不同的交点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的 一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为　(　　) 【解析】选A.因为双曲线的一个焦点在直线l上, 易知直线l过双曲线左焦点, 所以0=-2c+10,即c=5, 又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10, 故有
=2, 结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20, 所以双曲线的标准方程为
=1. 【补偿训练】若直线y=kx+1与双曲线x2-y2=4有两个相异公共 点，求k的取值范围. 【解析】将y=kx+1代入双曲线方程x2-y2=4,化简得： (1-k2)x2-2kx-5=0.① 要使直线与双曲线有两个相异的公共点，则①有两个不相等的 实根，应满足
且k≠±1. 故k的取值范围是 类型二
直线与双曲线相交弦问题 【典例2】 (1)(2014·温州高二检测)直线l与双曲线
的同一支 相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y=2x上，则直线AB的斜 率为__________. (2)已知点
动点C到A，B两点的距离之 差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D，E两点，求线 段DE的长. 【解题探究】1.题(1)如何表示线段AB的中点坐标? 2.题(2)若直线l:y=kx+b(k≠0)与双曲线交于A(x1,y1),B(x2, y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗？ 【探究提示】1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐 标为 2.|AB|= 【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b, 由
消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0. 因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)， 故Δ=8b2+8-16k2>0
①,1-2k2≠0, 由根与系数的关系知：x1+x2= 则y1+y2=k(x1+x2)+2b= 因为线段AB的中点在直线y=2x上， 所以有 得
满足①式. 当直线l的斜率不存在时，不符合题意. 答案： (2)设点C(x,y),则|CA|-|CB|=±2,根据双曲线的定义，可知点 C的轨迹是双曲线 由2a=2,2c=|AB|=
得a2=1,b2=2, 故点C的轨迹方程是设O为原点，圆x2+y2=8内有一点P（1，2），AB和CD为过点P的弦．（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）若AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．
答案：努力加载中.....
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同类试题1：若直线y=kx+1和椭圆x2+4y2=1有且仅有一个公共点，则k的值为____．解：将y=kx+1代入x2+4y2=1得（1+4k2）x2+8kx+3=0，∵直线y=kx+1和椭圆x2+4y2=1有且仅有一个公共点，∴由△=64k2-12（1+4k2）=0，得k=±32故答案为：±32
同类试题2：求过点A（3，4）与圆C：（x-2）2+（y-1）2=1相切的直线方程．解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x=3，当切线的斜率存在时，设切线的斜率为 k，则切线的方程为 y-4=k（x-3），即 kx-y+4-3k=0，由圆心（3，4）到切线的距离等于半径得 |2k-1+4-3k|1+k2=1∴k=43，此切线的方程 4x-3y=0，综上，圆的切线方程为 x=3或4x-3y=0，}