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根据欧拉关于导数的定义改进极限概念收藏
人们对欧拉《微分学引论》的评价比较低，因为《微分学引论》中错误比较多。但是欧拉的这本书中关于导数的定义对今天的微积分仍然有着非常重要的、关键性的意义。
一、欧拉的导数定义的最大优点是完全消除了误差 欧拉在书中这样定义导数（他称为“微分”。）：“它是一种确定任意的函数的消失的增量与相应的自变量的消失的增量之间的比值的方法。”（相应的，他这样定义积分：“一种从已经知道函数的消失的增量（与自变量的消失的增量）的比值，求出原函数的方法。”[1]） 在这个定义中，欧拉非常明确地肯定，导数必须是消失的增量。他在序言中反复地强调微分是消失的数量，必须等于无。他指出，如果微分即无穷小量不是完全消失的数量，会影响运算的严密性。他举例说，如果计算地球的数值，则一颗灰尘、甚至成千上万颗灰尘的误差都是可以忽略的。但是在求导数的运算中，“严格性要求连这样小的误差也不能有。”[2] （我曾经很奇怪：欧拉提出这个比方有针对性吗? 2011年7月我读〈德〉菲利克斯·克莱因的《高观点下的初等数学》（第一卷）（舒湘芹
杨钦梁译 复旦大学出版社2008年9月）的时候才知道，欧拉这样说针对的是当时德国的一本微分学著作：Elementa matheseos universal中的说法。此书的作者克里斯琴·沃尔夫说，“对于实际的测量的目的来说，增添或除去一粒尘土，并不会显著地改变大山的高度。”[克书，248]地球的质量比大山的质量要高出若干个数量级。但是欧拉仍然认为即使这样小的误差也不能接受。） 欧拉所说的“消失的数量”是多少呢？他说是“无”。而根据他的书中的上下文，这个“无”在使用通常的数学符号表示的时候，就是0。 他以求y=x∧2(∧2表示平方，x∧2表示x的平方即x的二次方)的导数为例，说明他的观点。利用现在的符号，则预备导函数为： Δy/Δx = 2x+Δx
（1） 他强调指出，只有Δx=0，即成为真正的0，才能在最后得出dy/dx=2x。这时增量消失了，误差也消失了，但是“增量的比值却是2x：1”。（为节约篇幅，过程略。） 毫无疑问，欧拉是正确的。因为只有Δx=0，才消除了误差，求出的导数才是准确值。如果Δx不等于0，就有误差，求出的导数就不是准确值。特别是在x=0的时候，从（1）式中可以看出，这时候式子的右边的2x=0，而由于Δx≠0，所以Δx比2x大，从而Δx这一项是决不应该删除的。但是不难发现若果真如此，从导数的几何意义看，则在这一点的切线就不是水平的。这显然不合适[3]。（欧拉研究导数的时候，没有联系函数的图像进行讨论。这是一个缺点。） 他还从算术的角度指出了0/0可以有意义。他认为，如果先有n×0=0，则这个0/0=（n×0）/0=（n×0）/（1×0）=n/1=n。为更清楚起见，我们不妨对0加注下标，以表示不同的0，只是对基准0不加下标，于是n×0=0n。之后再带入上面的运算，就会更明确0可以有差别。当然正如欧拉指出的那样，从算术的角度看，0n和0都是相同的，没有差别。但是从几何（其实是微积分）的角度看，它们却常常是不相同的。[4] 欧拉进一步指出，“这个结果可以适用于x的所有其他函数；即当函数的增量随x的增量的消失而消失的时候，它们的增量之间却仍然存在特定而确定的比值。”[5] 欧拉的导数定义抓住了要害：严格的数学中不允许有误差。 欧拉无法了解后来的数学主流的发展。但是他肯定绝不会赞成ε-δ极限定义，不会同意极限的含义是“趋近”，但是“不等于”。因为这样的极限定义无法避免误差的存在。《数学：确定性的消失》一书在第六章表述了这一点。[6] 也许有人以为我对欧拉的引述是断章取义。建议看《李长白数学网》上的文章《读欧拉的〈微分学引论〉的两点启示》，后面附有《微分学引论》的欧拉的自序的全部的译文。 值得说明的是，著名的数学史书《古今数学思想》中只是非常简单的提到了欧拉的意见，却没有引述上面我已经引述的即该书中的最尖锐、最清楚的论述。这是该书的一个重大失误。
二、欧拉的思想应该有所发展 1.微分的数量值应该是0 建议说微分的数量值是0（即最终变为0），而不说是无。因为说数量值是无，则容易使人联想到这个数不存在。而说其数量值是0，则可以更明确地肯定了这个数量是存在的。毕竟即使从代数的观点看，0也是表示存在的。 当然在微积分中，0还可以有大小。我们可以从可导函数的图像的角度进一步理解导数是特定的0/0。很显然，一个孤立的点是无所谓大小的。但是当它是可导函数的曲线上的可导点的时候，则它可以而且必然大小。否则无法解释这一段曲线何以不同于横坐标以及纵坐标上的相应的区间的长度。例如，如果用0x表示自变量的点的大小，0y表示函数的点的大小，则函数y= x∧2的导数可以表示为0y /0x=dy/dx=f’(x)=2x,即0y=dy= f’(x) =2xdx=2x0x。显然用dx、dy等符号表示比使用0等等表示更明确。dx、dy都是严格的0，只不过是特定的0。详情请参《李长白数学网》上的有关文章。 欧拉的观点应该尽快采纳到微积分的教科书中去。但是关于极限等概念的详细说明建议在《数学基础和数学哲学》中讲授，不必在微积分中讲授。 2、应该利用单子概念解释微积分的运算 微积分是微分和积分的合称，也称为数学分析。它的正确性已经被多年的实践证明，不容否定。 我相信很多学习过微积分的人会有这样的感觉，就是微积分应用起来并不困难。直白地说，只要会套用公式就足够了。确实是如此。 但是在目前凡是比较详细的微积分教科书中，无论中国还是外国，都一定要讲授以“ε-δ”语言著称的极限概念。而且不但学习数学的大学生需要学习，其他一些学科甚至连学习机械的大学生也要学习之。例如，引进的一本供学习机械的大学生学习的英文的数学教科书的理由之一是其中介绍了“ε-δ”定义的极限。而学习它是比较困难的，不论在中国还是在外国。当然更重要的是它是错误的。因为它使用了“极限回避”的方法。[7]而“回避”显然不是真正解决问题的方法。 应该在欧拉的定义的基础上改变现在的微积分中的极限概念，否定“大头微积分”。 所谓“大头”微积分，就是对目前的微积分中的极限定义，以及由于把它应用于连续、导数等等而引起的困难的称谓。“大头”即指此而言。绝不是说微积分是“大头”。（在百度上可以查阅到《“大头”微积分》。） 其实学习过微积分的人都知道，依照公式，函数y= x∧2的导数是y’=dy/dx=2x。在这个结果中，不知道有谁能够从中看出来其中的Δx不是0，反正我看这个结果表明的是Δx就是0。所以现在的主流意见只不过是在口头上反对欧拉等人的意见，实际中则完全是按照他们的意见进行计算的。或者说，在这里有人偷换了概念。正因为如此，在学习使用目前的极限概念求导数的时候，有相当多的人心存疑惑。 必须强调指出，欧拉关于微积分的严密性的观点的正确性是不容置疑的。而目前数学界的关于极限的主流观点则显然是错误的。我相信，欧拉这一派的观点终有一天会得到承认，而且会成为主流。 现在是时候了。应该而且可以利用单子的概念例如自变量单子、函数单子、微分单子（积分单子）等等来定义微积分的基本运算。 详细请看《李长白数学网》（其实称为《微积分基础网》更准确）。其中有导数、极限等等的新的定义，还探讨了实数。我已经写了一本书稿，初步拟名《析微积分基础》，其中论述得更系统。条件所限，还没有出版， 对欧拉的《微分学引论》评价应该更高一些。 还要说明的是，马克思对导数的运算也有出色的分析。详细请阅读马克思的《数学手稿》。我在网页中有评论文章。 我的意见属于抛砖引玉，欢迎批评指正。 我的电邮：。
注释： 1.本文中所引的欧拉的话，均见欧拉《微分学引论》英文版，即《Foundations of Differential Calculus 》Euler；Translated by John D.Blahton &#x00A9;2000 Springer-Verlag, New York, Inc. 这段话见Preface, p.7。北京图书馆有此书。斜体字依据该书。下同。原文是拉丁文，1755年出版。 2.同1，8。 3. 关于求导数的运算的详细讨论，请看拙作《运用唯物辩证法于数学基础的一个范例》《辽宁大学学报》（自然科学版）2000年第4期304-308。由于那个时候还没有读过欧拉的《微分学引论》，其中没有详细引用他的论述。还可以参考拙作《求导数的运算的结果应该是特定的0/0》（综述） ，发表在《数学&#x2219;力学&#x2219;物理学&#x2219;高新技术研究进展——2004（10）卷》焦善庆主编
西南交通大学出版社2004年7月第1版87-90。我在网页都上发表了。 4. 同1，51。 5. 同1，.7。 6.〈美〉M.Kline写了一本书《数学：确定性的丧失》李宏魁译 湖南科学技术出版社1997年6月第1版。 7. “极限回避”的说法见〈美〉威廉&#x2219; 邓纳姆《天才引导的历程》，苗锋译，中国对外翻译出版公司，1994年12月，第1版，278-281。英文是：limit avoidance。
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