如图，等边三角形ABC，边长为2，AD是BC边上的高．
（1）在△ABC内部作一个矩形EFGH（如图1），其中E、H分别在边AB、AC上，FG在边BC上．
①设矩形的一边FG=x，那么EF=-x．（用含有x的代数式表示）
②设矩形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？
（2）在图2中，只用圆规画出点E，使得上述矩形EFGH面积最大．写出画法，并保留作图痕迹．
解：（1）①-x．（2分）
当x=1时，y有最大值，且最大值为．（8分）
（2）画法：以B为圆心，BD长为半径画弧，交AB于点E，则点E即为所求（10分）
画图正确（12分）
（1）①FG=x，那么FD=，易得BD=1，那么BF=1-，∵∠B=60°，∠EFB=90°，∴EF=-x．
②面积=长×宽，那么就可以表示为关于x的二次函数，得出最值即可．
（2）由②得，FG=1时矩形面积最大，此时，BF=0.5，那么BE=1，那么以B为圆心，BD为半径画弧交AB于点E即可．△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．Ⅱa、小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；②连接BF′并延长交AC于F；③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．你认为小明的作法正确吗？说明理由．-乐乐题库
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△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．Ⅱa、小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；②连接BF′并延长交AC于F；③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四边形DEFG即为所求．你认为小明的作法正确吗？说明理由．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2008-益阳
分析与解答
习题“△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小聪和小明各...”的分析与解答如下所示：
（1）根据正方形的性质可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等边三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了；2a．设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，可以求出AH的长，然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例可以列出关于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的边长；2b．首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行线可以得到比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．
证明：Ⅰ．∵DEFG为正方形∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°（2分）∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°（3分），在△BDG和△CEF中，∵{∠GDB=∠FEC∠B=∠CGD=EF，∴△BDG≌△CEF（AAS）（5分）Ⅱ解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，求得AH=√3（7分）由△AGF∽△ABC得：√3-x√3（9分）解之得：x=√32+√3（或x=4√3-6）（10分）解法二：设正方形的边长为x，则BD=2-x2（7分）在Rt△BDG中，tan∠B=GDBD，∴√3（9分）解之得：x=√32+√3（或x=4√3-6）（10分）解法三：设正方形的边长为x，则AG=GF=x，GB=2-AG=2-x，则BD=2-x2，GB=2-x（7分）由勾股定理得：(2-x)2=x2+(2-x22（9分）解之得：x=4√3-6（10分）Ⅱb．解：正确（6分）由已知可知，四边形GDEF为矩形（7分）∵FE∥F′E′，∴△BE′F′∽△BEF，∴FEF′E′=FBF′B同理FGF′G′=FBF′B∴FEF′E′=FGF′G′又∵F’E’=F’G’∴FE=FG∴矩形GDEF为正方形（10分）
此题主要考查了全等三角形，相似三角形的判定及矩形及正方形的性质等知识点的综合运用．
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△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小...
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经过分析，习题“△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小聪和小明各...”主要考察你对“勾股定理”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=c2-b2，b=c2-a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
与“△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．小聪和小明各...”相似的题目：
如图，在等腰直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，AB=8，则AD2=&&&&．
等腰三角形底边长为6cm，腰长为5cm，则该三角形的面积等于&&&&，它腰上的高等于&&&&．
为了迎接青奥，社区组织奥林匹克会旗传递仪式．需在会场上悬挂奥林匹克会旗，已知矩形DCFE的两边DE、DC长分别为1.6m、1.2m．旗杆DB的长度为2m，DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°．当会旗展开时，如图，（1）求DF的长；（2）求E点离墙面AB最远距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）&&&&
“△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其...”的最新评论
该知识点好题
1同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有&&&&
2有正三角形ABC，边长为2．D、E分别是AB、AC的中点，则梯形BCED面积为&&&&
3如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为&&&&
该知识点易错题
1同一平面内有A、B、C三点，A、B两点相距5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有&&&&
2有正三角形ABC，边长为2．D、E分别是AB、AC的中点，则梯形BCED面积为&&&&
3在△ABC中，∠A=30°，AB=4，BC=√3，则∠B为&&&&
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如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO＝(&&&&&& )．
题型：填空题难度：中档来源：山东省中考真题
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE＝AC..”主要考查你对&&等边三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等边三角形
等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：1.三边长度相等；2.三个内角度数均为60度；3.一个内角为60度的等腰三角形。性质：①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法：①三边相等的三角形是等边三角形（定义）②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解：首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
发现相似题
与“如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE＝AC..”考查相似的试题有：
11669011398835992835514190145985944在三角形ABC中，AB＝AC，BC的中点为D．画图做一个等边三角形DEF，使顶点E，F分别在边AB和AC上。EF与BC平行吗
在三角形ABC中，AB＝AC，BC的中点为D．画图做一个等边三角形DEF，使顶点E，F分别在边AB和AC上。EF与BC平行吗 25
补充：这道题很难
补充：当角A等于120度时，两者不平行，为什么
EF与BC可能平行,也可能不平行.
这道题目的知识点实际上在于&边边角&能否确定三角形全等.
因为&BDE与CFD全等&是&EF平行于BC&的充要条件.(平行能证明全等,全等能证明平行)
我们知道,边边角对应相等的三角形并不一定全等.
对本题而言,只要角A的度数够大,EF就不一定平行于BC.
其他回答 (2)
平行啊
证明：△EBD于△FCD全等（ED=FD，BD=CD，角B=角C）
所以有角EDB=角FDC
有角EDB+角FDC+角EDF=180
角EDF=60
所以角EDB=（180-60）/2=60=角DEF
由内错角相等两直线平行可知
EF平行于BC
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