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如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为，点M是抛物线C2：y＝mx2－2mx－3m(m＜0)的顶点．(1)求A、B两点的坐标；(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当△BDM为直角三角形时，求m的值．
解：(1)y＝mx2－2mx－3m＝m(x－3)(x＋1)，∵m≠0，∴当y＝0时，x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)；(2)设C1：y＝ax2＋bx＋c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：，设，则，，，当时，S△PBC有最大值，，，；(3)y＝mx2－2mx－3m＝m(x－1)2－4m，顶点M坐标(1，－4m)，当x＝0时，y＝－3m，∴D(0，－3m)，B(3，0)，∴DM2＝(0－1)2＋(－3m＋4m)2＝m2＋1，MB2＝(3－1)2＋(0＋4m)2＝16m2＋4，BD2＝(3－0)2＋(0＋3m)2＝9m2＋9，当△BDM为Rt△时有：DM2＋BD2＝MB2或DM2＋MB2＝BD2．①DM2＋BD2＝MB2时有：m2＋1＋9m2＋9＝16m2＋4，解得m＝－1(∵m＜0，∴m＝1舍去)；②DM2＋MB2＝BD2时有：m2＋1＋16m2＋4＝19m2＋9，解得(舍去)．综上，m＝－1或时，△BDM为直角三角形．【题型】解答题
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京ICP备号 京公网安备（2012?陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是等腰三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
点击展开完整题目已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于点B、C两点，若恒有直线BC与圆I相切，求圆I的半径r的值．-乐乐题库
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已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，14）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于点B、C两点，若恒有直线BC与圆I相切，求圆I的半径r的值．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于...”的分析与解答如下所示：
（I）由抛物线的标准方程与基本概念，结合题中数据加以计算，可得抛物线C的方程为x2=y；（II）设A（x1，x12）、B（x2，x22）、C（x3，x32），其中xi≠0且xi≠±r（i=1，2，3）且横坐标互不相等．求出直线AB、AC、BC的方程，根据AB与圆I相切利用点到直线的距离公式列式并化简，算出x2、x3是一元二次方程（x12-r2）x2+（4-2r2）x1x+4-r2-r2x12=0的两个根．利用根与系数的关系得到用x1、r2表示x2+x3和x2x3的式子．由BC与圆I相切得√(x3+x2)2+1=r，代入前面求出的式子化简得r2x14+r2（4r4-18r2+16）x12+r6=（2-r2）2x14+2（4-3r2）（2-r2）x12+（4-3r2）2，再采用比较系数法建立关于r2的等式，解之可得r的值．
解：（Ⅰ）&根据题意，设抛物线C的标准方程为x2=2py，∵焦点为F（0，14），得p2=14，∴2p=1．可得抛物线C的标准方程为x2=y．（Ⅱ）设A（x1，x12），B（x2，x22），C（x3，x32），其中xi≠0，xi≠±r且横坐标互不相等，（i=1，2，3），则AB的斜率kAB=x12-x22x1-x21+x2，得直线AB的方程为：y-x12=（x1+x2）（x-x1），化简得（x1+x2）x-y-x1x2=0，同理可得直线AC的方程为（x1+x3）x-y-x1x3=0，直线BC的方程为（x2+x3）x-y-x2x3=0．∵直线AB与圆I相切相切，∴圆心到AB的距离等于圆I的半径，即√(x1+x2)2+1=r，化简得（x12-r2）x22+（4-2r2）x1x2+4-r2-r2x12=0，同理得（x12-r2）x32+（4-2r2）x1x3+4-r2-r2x12=0，∴x2、x3是一元二次方程（x12-r2）x2+（4-2r2）x1x+4-r2-r2x12=0的两个根．可得x2+x3=x1(2r2-4)x12-r22x3=-r2+4-r2x12x12-r2√(x3+x2)2+1=r，代入上式化简，得r2x14+r2（4r4-18r2+16）x12+r6=（2-r2）2x14+2（4-3r2）（2-r2）x12+（4-3r2）2，由x1的任意性，可知若上式恒成立，必须有r2=(2-r2)2r2(4r&4-18r2+16)=2(4-3r2)(2-r2)r6=(4-3r2)20＜r＜1.2，解之得r=1．
本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程，并依此求△ABC的内切圆半径．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
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已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，...
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经过分析，习题“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于...”主要考察你对“抛物线的标准方程”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程．
与“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为F（0，1/4）．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过抛物线C上的任意一点A（异于原点）向圆I：x2+（y-2）2=r2（0＜r＜1.2）引两条切线AB、AC，交抛物线于...”相似的题目：
求满足下列条件的圆锥曲线方程：（1）a=4，c=√15，焦点在x轴上的椭圆；（2）焦点为（0，-6），（0，6），且过点（2，-5）的双曲线；（3）准线方程为x=-1的抛物线．
设P为抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，F为抛物线焦点，定点A（1，3），且|PA|+|PF|的最小值为√10，则抛物线方程为&&&&y2=2（√10-1）xy2=4xy2=8xy2=4（√10-1）x
抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为&&&&3x．
“已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点为...”的最新评论
该知识点好题
1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是&&&&
2设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为&&&&
3设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为&&&&
该知识点易错题
1已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为&&&&．
2顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是√10，则抛物线的方程是&&&&
3以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（1，-2）的抛物线的方程为&&&&
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在平面直角坐标系中,A、B两点坐标分别为(0,2),(2√3,0)圆A经过点O,抛物线y=1\3x2+Bx+C经过O、B两点求抛物线的解析式。动点P从点O出发沿Y轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连
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暂无回答记录。记为点的横坐标.时,直接代入,得,则,长易知.当时,直接代入,得,可有勾股定理求得,.猜想.证明时因为为所有满足二次函数的点,一般可设.类似利用勾股定理和可求出与,比较即得结论.考虑结论,即函数的点到原点的距离等于其到的距离.要求,两点到距离的和,即,两点到原点的和,若不过点,则,若过点,则,所以,即,两点到距离的和,进而最小值即为.
解:,;,.如图,记与轴交点为,当时,.此时,.当时,.此时,,,.猜想:.证明:过点作轴于,在二次函数上,设,则,,为直角三角形,,
,.解:如图,连接,,过点作于,过点作于,此时即为点到的距离,即为点到的距离.则有,,在中,,.当过点时,,.综上所述,,,,即,两点到直线的距离之和的最小值为.
本题考查了学生对函数与其图象的理解,另外涉及一些点到直线距离,利用勾股定理就坐标系中两点间的距离及最短距离等知识点,总体来说难度不高,但知识新颖易引发学生对数学知识的兴趣,非常值得学生练习.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | 如图1,P(m,n)是抛物线y=\frac{{{x}^{2}}}{4}-1上任意一点,l是过点(0,-2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH垂直于l,垂足为H.[探究](1)填空:当m=0时,OP=___,PH=___;当m=4时,OP=___,PH=___;[证明](2)对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想.[应用](3)如图2,已知线段AB=6,端点A,B在抛物线y=\frac{{{x}^{2}}}{4}-1上滑动,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.}