空间向量与立体几何(钟董甫)_中华文本库
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普通高中课程标准实验教科书 选修2—1
第三章 空间向量与立体几何
海盐元济高级中学 钟董甫
Ⅰ、教材总体设计
一、课程目标与学习目标
1.课程目标 ? 空间向量为处理立体几何问题提供了新的 视角。在本章，学生将在学习平面向量的 基础上，把平面向量及其运算推广到空间， 运用空间向量研究立体几何中的问题，体 会向量方法在解决几何问题中的作用，进 一步发展空间想象能力和几何直观能力。
2.学习目标
1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。 2）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理，掌握空 间向量的正交分解及其坐标表示。 3）掌握空间向量的线性运算及其表示。 4）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量 积判断向量的共线与垂直。 5）理解直线的方向向量与平面的法向量。 6）能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直、平行关系。 7）能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理 （包括三垂线定理）。 8）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面 的夹角等的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二、内容安排 1.本章知识框图
空间向量运算的几何表示 （如平行四边形法则） 空间 向量 的定 义及 其运 算
用空间向量表示点、 线、平面等元素
建立空间图形与 空间向量的联系
空间向量运算的坐标表示 （加减法、数乘、数量积）
利用 空间 向量 的运 算解 决立 体几 何中 的问 题
2.对知识框图的说明
三、课时分配（12课时）
3.1.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 1课时 1课时 1课时
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.5 空间向量运算的坐标表示 小结
1课时 1课时
3．2 立体几何中的向量方法
新课程标准
Ⅱ 教科书分析
一、章引言及章头图介绍
向量是一种数学工具，向量是近代数学的基本概念之一，它 的初步知识及其应用，早已列入近代数学的基础部分。 在本章把平面向量推广到空间向量，学习空间向量的概念、 运算、坐标表示，并利用空间向量的运算解决有关立体几何 问题。 空间向量与平面向量没有本质区别,它们的运算:加法、减法、 数乘、数量积也完全相同。在学习中要注意空间向量与平面 向量的类比，体会空间向量在解决立体几何中的问题。 在本章，利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素，从 而建立了立体几何与空间向量的联系，实现对空间图形性质 研究的代数化，即用向量代数方法研
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一、重点叙述
空间向量与平行
(1)证明线线平行:
①相关概念与定理:
Ⅰ、平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a,b,c平行,记作a∥b∥c。
规定0与任一向量平行,即0∥a。
Ⅱ、共线向量:平行向量也叫做共线向量。因此,共线向量就是平行向量,平行向量就是共线向量。
Ⅲ、直线的方向向量:如果向量与直线l平行,则称向量为直线l的方向向量。
Ⅳ、空间向量共线定理:如果向量a(a≠0)与b共线(或说),那么有且只有一个实数λ,使b=λa。
②证明方法:
设两直线的方向向量分别为a(a≠0)与b(b≠0),依据空间向量共线定理,则存在实数,使得,或。
(2)证明线面平行:③④(4) (5)
①平面向量基本定理:如果e1 、e2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1 、λ2
,使a=λ1 e1 +λ2 e2
②证明方法:
设e1 、e2 是平面内的两个不共线向量,则向量(其中)
(3)证明面面平行:
证明面面平行转化为证明线面平行,即用向量方法证明一个平面内两相交直线都平行于另一个平面。
空间向量与垂直
(1)证明线线垂直:
设两直线的方向向量分别为a(a≠0)与b(b≠0),则。
(2)证明线面垂直;
①相关概念与方法:
1o 平面的法向量:如果&,那么向量叫做平面的法向量。
2o 求平面的法向量:
设非零向量,使得,若非零向量为平面的法向量,则
令(,可取使尽量简单的常数值),则法向量
②证明线面垂直方法:
1o 设直线与平面,,,则
2o 设直线与平面的法向量,则(其中)。
(3)证明面面垂直:
设两个平面的法向量分别为,则
3.主要应用:Ⅰ、用空间向量的方法判断或证明空间几何的线线、线面、面面平行问题;
Ⅱ、用空间向量的方法判断或证明空间几何的线线、线面、面面垂直问题;
Ⅲ、用空间向量的方法证明空间几何的线线、线面、面面平行与垂直的综合应用。
二、案例分析
案例1：在正三棱柱ABC-A1 B1
C1 中，已知AB1 &BC1 ，求证：AB1
分析：方法(1)，设计基向量，通过向量数量积计算证明；方法(2)设置空间直角坐标系，通过空间向量数量积的坐标运算证明。
证明：方法1：（设计基向量）
如图，设，则
在正三棱柱ABC-A1 B1 C1 中，∵，，，
∵AB1 &BC1 ，∴，即，
∴，所以。
&&&&方法2：（构建空间直角坐标系）
如图，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC-A1
B1 C1 的底面边长为2，高为，则，。
∵AB1 &BC1 ，∴，即，
∴，所以。
案例2：如图，在平行六面体ABCD-A1 B1
C1 D1 中，O是B1 D1
求证：B1 C//平面ODC1 。
分析：设基向量，应用向量共面定理证明。因为没有“直”，所以不用坐标法。
证明：证法1：如图，设，则在平行六面体ABCD-A1
B1 C1 D1 中，O是B1
D1 的中点，
∴存在实数，使得，又向量不共线，由平面向量基本定理，∴向量共面，
∵，∴。
证法2：如图，向量不共线，则在平行六面体ABCD-A1
B1 C1 D1 中，O是B1
D1 的中点，
∵，又向量不共线，由平面向量基本定理，∴向量共面，∵，∴。
证法3：（非向量方法）
如图，连接交于，连接。
在平行六面体ABCD-A1 B1 C1 D1
∵O是B1 D1 的中点，又∵是中点，
∴是的中位线，。
评注：本题的前两种证法的实质是一样的，都是根据平面向量基本定理即向量共面定理证明的。区别在于设置的基向量不同罢了，证法1设置三个不共面的空间基向量，根据平面向量基本定理用待定系数法证明的存在；证法2在平面内设置基向量，直接用基向量表示向量,自然比证法1显得简单。证法3是非向量方法，根据线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与平行即可，利用三角形的中位线轻易解决了。显然，证法3是最简单的解决问题方法，因此分析问题要因题而异，便于灵活解决。
案例3：（2008全国Ⅱ·理19第1小题）如图，正四棱柱中，，点在上且。证明：平面。
分析：要证线面垂直，只要证明线线垂直，如何证明线线垂直呢？有不同的设想。由于具备正四棱柱的条件，三垂线、线面垂直的方法，向量的方法，向量坐标的方法都可以解决。
证明：证法1：（三垂线法）
如图，在正四棱柱中，设，
由，，则，。
连结交于点，则。
∵是在平面上射影，由三垂线定理，∴。
在平面内，连结交于点，
∴与互余，于是。
∴与平面内两条相交直线都垂直，
证法2：（基向量法）
如图，设，则在正四棱柱中，
∵，，
∴，，即，。
又，所以。
证法3：（向量坐标法）
如图，以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．则
即，。又，
评注：三种证法都是根据线面垂直的判定定理，要证线面垂直，只要证明线线垂直，如何证明线线垂直产生不同的方法。证法1是利用三垂线定理和平面几何中的相似三角形证明谢谢垂直；证得2是设置基向量的方法，利用向量数量积的运算证明线线垂直；证得3是构建空间直角坐标系的方法，利用向量数量积的坐标运算证明线线垂直。三种方法比较，应该证法3比较简捷，因为正四棱柱的背景便于构建空间直角坐标系。
（2009浙江·理20）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为的中点，，。
（I）设是的中点，证明：；
（II）证明：在内存在一点，使，并求点到,的距离。
分析：由于平面平面，且，所以具备建立空间直角坐标系的条件，于是可以应用向量坐标运算的方法证明线面平行或解决线面垂直的存在性问题。证明线面平行，可以应用直线的方向向量与平面法向量垂直的方法，也可以根据平面向量基本定理证明。解决线面垂直的存在性问题可以先假设所求的点存在，应用直线的方向向量与平面法向量平行的方法解决它的存在性，要注意点存在的条件。
证明：如图，连结OP，∵平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，是中点。
∴以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，则。
∵分别为的中点，∴，。
（I）∵是的中点，∴。
设平面BOE的法向量为，则
∴平面BOE的一个法向量为。
∵，且，
∴，又直线不在平面内，
（II）设点M的坐标为，则，
∵平面BOE，∴有，于是，
∴点M的坐标为。
在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点的坐标得点到，的距离分别为。
(1)证明平行与垂直的问题,常用的方法有定义法、判定定理法、向量法。用向量法证明空间几何的平行与垂直问题,可以避开抽象的逻辑推理和复杂的空间想象,转化为用向量运算或向量的坐标运算解决问题,形成了空间几何解决问题的重点和特色,要充分地理解,并会熟练地应用。
(2)对于线线、线面、面面平行的问题,线线平行是基础,线面平行是重点。用向量方法证明线线平行就是证明有关的向量共线;证明线面平行除了利用判定定理转化为证明线线平行外,还常常证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,或利用平面向量基本定理证明。
(3)对于线线、线面、面面垂直的问题,线线垂直是基础,线面垂直是重点,面面垂直可以转化为线面垂直分析解决。用向量方法证明线线垂直就是证明有关的向量的数量积为零;证明线面垂直除了利用判定定理转化为证明线线垂直外,还常常通过证明直线的方向向量与平面的法向量共线的方法解决。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。《空间向量与立体几何》的教学反思
本章，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。
一、其教育价值体现在：
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。
二、与原大纲教材的比较：
原大纲目标表述
新课标目标表述
1.理解空间向量的概念掌握空间向量的加法、减法和数乘.
2.了解空间向量基本定理；理解空间向量的坐标的概念，掌握空间向量运算.
3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式.
4. 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影.
5.掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出公垂线计算距离）；
6.掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 .
2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 .
3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 .
4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
5.理解直线的方向向量与平面的法向量.
6.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系 .
7.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） .
8.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用
《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。
利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。
新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。
二、教学要求
1. 注重联系
本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程。
2& 体现思想
本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是：
（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；
（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。
3. 温故知新
空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
4.强调通法
（1）向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题。这种“三步曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性。
（2）三步曲：空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义。
（3）向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识。
5.螺旋上升
（1）必修2中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理。
（2）本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理等为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试。这样可以加强所学前后知识的联系，对空间位置关系提高认识水平。
三、教学建议
1.用好本章引言
空间向量在理论研究和解决实际问题方面有广泛应用，它成为解决立体几何中的大量问题的有力工具。
在本章我们把平面向量推广到空间向量,学习空间向量的概念、运算、坐标表示，并利用空间向量的运算解决有关立体几何问题。
空间向量与平面向量没有本质区别,它们的运算:加法、减法、数乘、数量积也完全相同。
2.注重数学思想
由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，因此，宜多引导学生与平面向量及其运算类比，与实数及其运算类比，从“数、量与运算”发展的角度理解向量。让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳。体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并如何解决问题
3.本章的重点内容
空间向量和向量方法是重点内容，而对于立体几何知识并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应用，对解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些通法。要使学生加强对几何中向量方法的一般性认识。
本章的教学应突出重点，不是立体几何问题本身为重点，而是把具体的立体几何问题作为学习向量方法的载体，以向量方法作为主要教学目标。&
4.注意数与形的关联
&向量的特征之一是其本身具有数与形两重含义。本章教学中，除了要关注前面多次提及的知识纵向联系之外，还要特别关注知识的横向联系，从不同角度研究同一问题，认识与运用向量及其运算中数与形的关联。教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体的模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背。
5.深化理解向量运算的作用
空间向量的线性运算（加、减、数乘）和数量积。正是有了向量运算，向量才显示其重要性。要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用。
6.根据特点选择方法
重视综合方法、向量方法、坐标方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题；向量方法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法。
总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，在学习空间向量的运算及定理时，运用类比、归纳思想，使学生学会数学思考和推理。
&&&给出了利用空间向量解决立体几何的“三步曲”，
注重了用通法去解决技巧性较大、随机性较强的问题。
&&思考、探究的多次出现，引导学生自己发现问题、提出问题，主动思维，理解和掌握数学基础知识。了解概念、知识的背景，认识数学知识与实际的联系，学会用数学知识去解决一些实际问题。对立体几何知识没有系统的要求，强调了对向量方法的一般性认识
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