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第一章第3节有理数的加减法——有理数的减法
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3秒自动关闭窗口第9--12课时&　有理数的加减法
第9课时 　有理数的加法（一）
1．经历探索有理数的加法法则，理解有理数加法的意义，
2．初步掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算．
&& 教学重点难点
重点：有理数的加法法则的理解和运用．&&&
难点：异号两数相加．
&& 教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
正有理数及0的加法运算，小学已经学过，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围。例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数。如果，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球.于是红队的净胜球数为&&&&&&
4＋（－2），
蓝队的净胜球数为&&&
1＋（－1）。
这里用到正数和负数的加法。
&& （二）合作交流，解读探究
下面借助数轴来讨论有理数的加法。我们规定向右为正，向左为负
⑴&正数+正数
那么一个人向右走5米，再向右走3米，两次共向右走多少米？5+3=8.
⑵负数+负数
若向西走5米，再向西走3米，两次共向西走多少米？（－5）＋（－3）=－8.
⑶正数＋负数
如果向右走5米，再向左走3米， 那么两次运动后
这个人从起点向右走2米，写成算式就是:&&
5+（-3）=2。
利用数轴，求以下情况时这个人两次运动的结果：
⑷先向右走3米，再向左走5米，物体从起点向（&&
）运动了（& ）米；
⑸先向右走5米，再向左走5米，物体从起点向（&&
）运动了（& ）米；
⑹先向右走5米，再向左走5米，物体从起点向（&&
）运动了（& ）米。
这三种情况运动结果的算式如下：
3+（—5）=
5+（—5）=
（—5）+5= 0。
⑺如果这个人第一秒向东（或向西）走5米，第二秒原地不动，两秒后这个人
从起点向东（或向西）运动了5米。写成算式就是& 5+0=5
或（—5）+0= —5。
根据以上6个算式，你能总结出有理数相加的符号如何确定？和的绝对值如何确定？互为相反数相加，一个有理数和0相加，和分别为多少？
观察（1）式，两个加数都为正，和的符号也是正，和的绝对值正好是两个加数绝对值的和．
观察（2）式，两个加数都为负，和的符号也是负，和的绝对值是两个加数绝对值的和．
由（1）（2）归纳：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
如：（-7）+（-8）=-15，16+17=+33，（-4）+（-9）=-13
观察（3）式、（4）式可见：两个加数的符号不同，和的符号有的是“＋”号，有的是“－”号，可知：&
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
观察（5）（6）可知：互为相反的两个数和为0．
观察（7）可知：一个数和零相加，仍然得这个数．
&& 【总结】&
有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0．
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
（三）应用迁移，巩固提高
&& 例1、计算
&（1）（－3）＋（－9）；&&&
（2）（－4.7）＋3.9.
分析：解此题要利用有理数的加法法则.
解:(1) （－3）＋（－9）= －(3+9)= －12
(2) （－4.7）＋3.9=－(4.7－3.9)= －0.8.
例2& 足球循环赛中,红队胜黄队4： 1，黄队胜蓝队1
：0，蓝队胜红队1： 0，计算各队的净胜球数。
解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数。三场比赛中：
红队共进4球，失2球，净胜球数为：（+4）+（—2）=+（4—2）=2；
黄队共进2球，失4球，净胜球数为：（+2）+（—4）= —（4—2）=
蓝队共进（& ）球，失（&
）球，净胜球数为：（&&&&&&&&&&&
）=（& ）。
例3& 绝对值小于2005的所有整数和为　0　．
一个数是11，另一个数比11的相反数大2，那么这两个数的和为（C）
B．-24&&&&&
如果a&0，b&0，且a+b&0，比较a、+a、b、－b的大小．
由a&0，b&0，且a+b&0，根据加法法则来确定a、b的绝对值的大小再利用数轴来比较大小．&&&
【答案】& b&-a&a&-b．
&& （四）总结反思，拓展升华
1．有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应先判断类型，然后确定和的符号，最后计算和的绝对值．特别是绝对值不等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数符号相同，并把绝对值相减，因为正负互为抵消了一部分．
（五）课堂跟踪反馈
（1）绝对值不小于3且小于5的所有整数的和为　0　．
（2）已知两数5& 和－6
，这两个数的相反数的和是　1　，两数和的相反数是　1　，两数绝对值的和是　12　，两数和的绝对值是　1　．
（1）（-15）+27=　12　&&&&&
（2）（-3.2）+（+3.2）=　-0.9　
（3）5.2+（-2.8）=　2.4&&
（5）-8+│-5│=　-3　 （6）-（-7）+（-2）=　
第10课时& 有理数的加法（二）
①能运用加法运算律简化加法运算．
②理解加法运算律在加法运算中的作用，适当进行推理训练．
教学重点难点
重点：如何运用加法运算律简化运算．
难点：灵活运用加法运算律．
教与学互动设计
（一）情境创设，导入新课
在小学里，我们学过的加法运算有哪些运算律？能否举一两个例子来？
那这些加法运算律还适用于有理数范围吗？今天，我们一起来探究这个问题．
（二）合作交流，解读探究
一、有理数加法的运算律
请你计算&& 30
+（－20），& （－20）+30.
通过这两个题计算，可以看出它们的结果都为10，说明有理数的加法满足交换律，即：两个数相加，交换加数的位置，和不变.用式子表示为：
加法交换律：a + b = b + a&
再请你计算一下，[ 8 +（－5）]
+（－4），&& 8 +
[（－5）]+（－4）].
通过这两个题计算，可以仍然可以看出它们的结果都为－1，说明有理数的加法满足结合律，即：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
. 用式子表示为：
&加法结合律：（a + b）+ c = a +（ b +c）
上述加法的运算律说明，多个有理数相加，可以任意改变加数的位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算简化.
例1& 计算：16 +（－25）+ 24 +（－35）.
使计算简便，可以先利用加法的结合律，将正数与负数分别结合在一起进行计算.
解：& 16 +（－25）+ 24 +（－35）
= （16 + 24）+ [（－25）+（－35）]
= 40 +（－60）
每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下：
91& 91& 91.5&
89& 91.2& 91.3&
88.7& 88.8&
91.8& 91.1
10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?10袋小麦的总重量是多少千克？
解法1： 91＋ 91＋91.5 ＋89 ＋ 91.2＋ 91.3＋ 88.7 ＋ 88.8＋ 91.8
再计算总计超过多少千克&&&&&&
905.4－90×10=5.4.
答：总计超过5千克，10袋水泥的总质量是505千克.
有理数的加法仍满足交换律和结合律．
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．用式子表示成a+b=a+b．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用式子表示成（a+b）+c=a+（b+c）
（三）应用过移，巩固提高
利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
（1）（+9）+（-7）+（+10）+（-3）+（-9）
（2）（+0.36）+（-7.4）+（+0.03）+（-0.6）+（+0.64）
（3）（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+…+（+2003）+（-2004）
【答案】& （1）0&
（2）-6.7& （3）-1002
某出租司机某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米）
+15，+14，-3，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18
（1）他将最后一名乘客送到目的地，该司机距下午出发点的距离是多少千米？
（2）若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？
解：（1）+15+（+14）+（-3）+（-11）+（+10）+（-12）+4+（-15）+16+（-18）
=[15+（-15）]+（14+10+4+16）+[（-3）+（-11）+（-12）+（-18）]
（2）（│+15│+│+14│+│-3│+│-11│+│+10│+│-12│+│4│+│-15│+│16│+│-18│）·a
（1）将最后一名乘客送到目的地，该司机仍在其出发点．
（2）共耗油118a公升．
若│2x-3│与│y+3│互为相反数，求x+y的相反数．
【提示】& 两个非负数互为相反数，只有都为０．
解：根据题意，有2x-3=0，y+3=0
则x= ，y=-3
x+y=& +（-3）=－ ．
所以x+y的相反数是 ．
&& （四）课堂跟踪反馈
（1）（－7）+ 11 + 3 +（－2）；
（2）3 +（－5）+ 12 +（－1）+（－9）；
（3）（－0.3）+ 1.3 +（－0.6）+（－3.1）+ 0.2；
2、最小的正整数、绝对值最小的数、最大的负整数的和.
3．绝对值不大于10的数有几个？它们的和是多少？
4．已知│x│=4，│y│=5，则│x+y│的值为&
C．9或1&&&&
D．±9或±1
5．有理数中，所有整数的和等于　0　．
6．新中考题（2004·重庆万州区）计算：-3+│-1│=　-2　．
有理数的减法（一）
①经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数减法法则．
②会熟练进行有理数减法运算．
教学重点难点
重点：有理数减法法则和运算．&&
难点：有理数减法法则的推导．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
&实际生活中有很多时候要涉及到有理数的减法.例如:长春某天的气温是―2———3°C,这一天的温差是多少呢?(温差是最高气温减最地气温,单位:°C).显然,这天的温差是3―(―2).这里就用到了有理数的减法.
&& （二）合作交流，解读探究
我们知道,减法是与加法相反的运算,计算3―(―2),就是要求一个数?,使?与(―2)的和得3,因为与―2相加得3,所以?应该是5,即
&&&&&&&&&&
3―(―2)=5.&&&&&&
另一方面,我们知道
＋(＋2)=5&&&&&&
由(1),(2)有
3―(―2)= 3 ＋(＋2)& (3)
从(3)式能看出减―2相当于加哪个数吗?
用上面的方法考虑:
0―(―2)=___,&&&&&
0+(+2)=___;
1―(―2)=___,&&&&&
1+(+2)=____;
―5―(―2)=___,&&&
―5+(+2)=___.
这些数减-2的结果与它们加+2的结果相同吗?
计算: 9－8=___, 9+(－ 8)=____;
15－7=___,& 15+(－7)=____.
上述式子表明:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
于是,得到有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数.&
字母表示为：a-b=a+（-b）
&& （三）应用迁移，巩固提高
例1、计算:
(－3)―(―5);&&&&
(2)0－7;&& (3)
7.2―(―4.8);& (4)－3 .
解:(1) (－3)―(―5)= (－3)+5=2;&&
(2)& 0－7=0+(－7)= －7;
7.2―(―4.8)=7.2+4.8=12;&&&
(4) －3 =－3 +(－5 )=－8 .
课堂练习:1.P27 练习1,2.
例2& 计算题
&&& （1）（－
）-（+ ）-（- ）
（2）（-0.1）-（-8 ）+（-11 ）-（- ）
（3）（-1.5）-（-1.4）-（-3.6）+（-4.3）-（+5.2）
（4）（5-6）-（7-9）
（3）-6& （4）1
例3& 根据题意列出式子计算
（1）一个加数是1.8，和是－0.81，求另一个加数．
&&& （2）－
的绝对值的相反数与 的相反数的差．
解：（1）另一个数为-0.81-1.8=-2.61
（2）-｜- |-（- ）=-
&& （四）总结反思，拓展升华
总括：有理数减法法则是一个转化法则，减数变为它的相反数，从而减法转化为加法．可见，引进负数后对加法和减法，可以用统一的加法来解决．
不论是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则，在使用法则时，注意减号变加号的同时把减数变成它的相反数，而被减数不变．
（五）课堂跟踪反馈
（1）0℃比－10℃高多少度？列算式为　0-（-10）　，转化为加法是　0+10　，运算结果为　10　．
（2）减法法则为减去一个数，等于　加上　这个数的　相反数　，即把减法转为　加法　．
（3）比-18小5的数是　–23　，比-18小-5的数是　–13　．
（4）A、B两地海拔高度为100米、-20米，B地比A地低　120　米．
2．下列说法正确的是（C）
A．正数与正数的差是正数&&&
B．负数与负数的差是正数
C．正数减去负数差为正数&&&
D．0减去正数差为正数
3．下列说法正确的个数是（A）
①减去一个数等于加上这个数;②零减去一个数，仍得这个数
③两个相反数相减得零;④有理数减法中，被减数不一定比减数或差大
⑤减去一个负数，差一定大于被减数;⑥减去一个正数，差不一定小于被减数
B．3个&&&&
C．4个&&&&&
（1）（-7）-（-4）-（+5）;（2）（-9）-[（-10）-（-2）]
&&& （3）（-4
）-（+5 ）-（-4 ）;（4）-8.2-9.2-1.6-（-5）
【答案】& （1）-8，（2）-1，（3）-5
，（4）-14
5．若│a│=5，│b│=7，且│a+b│=-（a+b），求a-b的值．
【答案】& 12或2
6、（2004·重庆）计算2-（3）的结果为& （B）
C．1&&&&&&
第12课时& 有理数的减法（二）
使学生理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算．
教学重点难点
重点：把加减混合运算理解为加法算式．
难点：把省略括号的和的形式直接按有理数加法进行计算．
教与学互动设计
（一）创设情境，导入新课
竞赛活动& 比一比，看谁算得快
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
（-7）+（+5）+（-4）-（-10）
（二）合作交流，解读探究
师：对比上式①，你首先想到将原式如何变形？
生：根据有理数的减法法则把减号统一成加号，即原式变为：
-20+（+3）+（+5）+（-7）
师：很好，可见在引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算．用字母可表示成：
a+b-c=a+b+（-c）
下面：请大家一起来练习计算以上两道题．
学生作业练习
师针对学生做的方法评析，作以下说明．
1．式③表示的是-20，+3，+5，-7的和，为了书写简单，可以省略式中的括号，从而有-20+3+5-7．
大家要注意到，虽然加号和括号都省略了，但-20+3+5-7仍表示-20，+3，+5，-7的和所以这个算式可以读作“负20，正3，正5，负7的和”．当然，按运算意义也可读作“负20加3加5减7”．
2．刚才在大家练习的过程中，我们看到有两种典型的处理方法，一是将原式按次序计算；二是将原式换成（-20-7）+（3+5）．大家观察比较一下，你看哪种方法更好，为什么？
生：第二种过程更简便、合理．因为它运用了有理数加法的交换律、结合律．
师：在有理数的加法运算中，通常应用加法运算律，可使计算简化，大家一起看下面问题：
（三）应用迁移，巩固提高
例1& 把（+ ）+（－ ）-（+ ）-（-
）-（+1）写成省略加号的和的形式，并计算．
解：（+ ）+（－ ）-（+ ）-（- ）-（+1）
= － - + -1
= + - - -1
说明：解题过程由学生口述、教师板演，同时提问每步的根据和目的，并强调书写的规范化．
师：纵观这道题的解答过程，你能总结得到什么？小组同学可作交流．
学生小组交流，并总结．
有理数的加减混合运算的计算有如下几个步骤：
1．将减法转化成加法运算：
2．省略加号和括号；
3．运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
4．按有理数加法法则计算．
例2& 比谁算得对，算得快
&&& （1）（+
）+（- ）-（+ ）-（- ）-（+1）
（2）-7-（-8）-（-7 ）-（+9）+（-10）+11
（3）-99+100-97+98-95+96+…+2
（4）-1-2-3-…-100
【点拨】& 按照正确的运算法则进行运算．
（1）-1，（2）1，（3）50，（4）-5050
银行储蓄所办理了8件工作业务，取出950元，存进500元，取出800元，存进1200元，存进了2500元，取出1025元，取出200元，存进400元，这时，银行现款是增加了，还是减少了？增加或减少了多少元？
根据题意把取出记为“－”，存进记为“＋”，列出算式进行运算．
解：每次存款数记为-950，＋500，-800，+1200，+2500，-1025，-200，+400．
则总额为：
－950+500+（-800）++（-1025）+（-200）+400
=1625（元）
答：增加了1625元．
（2003·桂林）计算1-3+5-7+9-11+…+97-99
抓住算式的结构规律，可以考虑两两结合．
解：原式＝（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（97-99）=-50
（五）总结反思，拓展升华
回顾一下本节课所学内容，你学会了什么？
说明：在学生思考回答的过程中将本节的重点知识纳入知识系统．
1．若x&0，则│x-（-x）│等于&&&
& （六）课堂跟踪反馈
（1）式子-6-8+10+6-5读作　负6，负8，正10，正6与负5的和　，或读作　负6减8加10加6减5　．
（2）把－a+（+b）-（-c）+（-d）写成省略加号的和的形式为　-a+b＋c-d　．
（3）若│x-1│+│y+1│=0，则x-y=　2　．
（4）运用交换律填空：-8+4-7+6=　-8　–　7　+　4　+　6　
（1）已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m+n等于（D）
C．-10&&&&&
（2）使等式│-5-x│=│-5│+│x│成立的x是（D）
A．任意一个数&&&&&&&
B．任意一个正数
C．任意一个负数&&&&&
D．任意一个非负数
（3）-a+b-c由交换律可得& （B）
A．-b+a-c&&&&
B．b-a-c&&&&
C．a-+c-b&&&
（4）a、b两数在数轴上位置如图，设M=a+b，N=-a+b，H=a-b，G=-a-b，则下列各式中正确的是（B）
A.M&N&H&G&&&&&&
B.H&M&G&N&&&&&
C.H&M&N&G&&&&&&
（1）0-（+5）-（-3.6）+（-4）+（-3）-（-7.4）
&&& （2）（+3
）-（-1 ）+（- ）-（- ）-（+4 ）
&&& （3）2-（-5
）-（+4 ）+（-2 ）-（+6 ）
（4）1-2+3-4+5…+
【答案】& （1）-1&
（3）-5&& （4）-1002
&4、（2004·呼和浩特）选择题：计算9-（-3）=
A．-12&&&&
C．-6&&&&&
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。【doc】负数的本质与有理数乘法法则：从数学的角度解析“负负得正＂
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【doc】负数的本质与有理数乘法法则：从数学的角度解析“负负得正＂
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【本讲教育信息】
一. 教学内容：
有理数的加减运算
知识要点：
1. 知识点概要
⑴掌握有理数的加法法则、减法法则及其混合运算；
⑵会运用正、负数及有理数加减运算解决生活中的实际问题；
⑶能综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决简单的实际问题。
⑷经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受到有理数运算的实用性，增强学数学和爱数学的意识。
2. 重点难点
⑴有理数的加、减运算法则及运算律。
⑵有理数的运算法则、运算律及符号的确定；
⑶发现合理的、更多的数学方法解决问题。
三. 考点分析：
（一）有理数的加法
1、有理数加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。
2、有理数加法的运算律：
⑴交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a＋b＝b＋a；
⑵结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
3、有理数加法的常用技巧有：①和为零的几个数先相加；②符号相同的数先相加；③同分母的数先相加；④能凑整的数先相加。
4、注意点：
⑴进行有理数加法运算通常应分为两个步骤，先确定和的符号，再确定和的绝对值。
⑵多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，可先把其中的几个数相加，使运算简便。
（二）有理数减法
1、有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a－b＝a＋（－b）。
例& 计算（－2）－（－5）。
解法：（－2）－（－5）＝（－2）＋（＋5）＝＋3。
2、利用有理数减法比较两个有理数的大小：计算两个有理数的差，可以简单地比较两个数的大小，一般地，如果字母a，b表示两个有理数，则当a－b＞0时，a＞b；当a－b＝0时，a＝b；当a－b＜0时，a＜b。如比较2和6的大小，因为2－6＜0，所以2＜6。
（三）有理数加减混合运算
1、加减混合运算的基本步骤：
⑴把混合运算中的减法转变为加法，写成前面是加号的形式；
⑵省略加号和括号；
⑶恰当运用加法交换律和结合律简化计算；
⑷在每一步的运算中都须先定符号，后计算数值。
2、加减混合运算的常用方法：
⑴按照运算顺序，从左到右逐一加以计算（如下解法1）；
⑵把加减法混合运算统一成加法，写成和式的形式后，再运用运算律进行计算（如下解法2）。
例& 计算。
解法1：原式＝
解法2：原式＝
3、注意点：
⑴在运算熟练之后可以省去减法变加法这一步骤，直接写成省略加号的形式；
⑵在交换数的前后位置时，应连同它前面的符号一起交换；
⑶在进行混合运算时，小学学过的确定运算顺序的方法仍然适用，如果有括号，应先算括号内的。
【典型例题】
例1. 如果两个数的和是正数，那么这两个数一定（　　）。
A. 都是正数　　　　　　　　　B. 只有一个正数
C. 至少有一个是正数　　　　　D. 以上答案都不对
解析：同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加，因此两个正数的和仍为正数；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再把较大的绝对值减去较小的绝对值，因此两异号的数相加，若正数的绝对值较大，则其和为正。故此题应选C。
点评：本题主要考查有理数的加法法则，解答此题的关键在于熟练掌握有理数加法法则。进行有理数的加法运算，必须严格按照有理数加法法则进行。
例2. 点A在数轴上表示＋2，从点A沿数轴向左平移3个单位到点B，则点B所表示的数是（&& ）。
A. 3&&&&&& B. －1&&&&&& C.
5&&&&&& D. －1或3
解析：由于A在数轴上表示＋2，而A左边的数要比＋2小，所以点A沿数轴向左平移3个单位到点B所表示的数应为故选B。
&&& 点评：本题考查的还是有理数加法，解答此题的关键是要熟练掌握数形结合的思想。
⑴（－5）＋（－7）；
⑵0－（－3）；
⑶ 0.125－；
分析：解决此题最关键的一步是确定性质符号。
解：⑴（－5）＋（－7）＝－（5＋7）＝－12；
⑵0－（－3）＝0＋（＋3）＝3；
⑶0.125－＝）＝－；
点评：本题考查的是有理数的加减法法则，牢记加减法法则，并严格按照法则来进行运算就行了。
例4. 按下面的程序计算，则最后输出的可能结果有（&&& ）个。
A. 3&&& B. 4&&& C. 5&&&&& D. 6
解析：我们可以从最小的正整数1开始输入。如果输入的是1，则结果是－4；如果输入的是2，则结果是－3；如果输入的是3，则结果是－2；如果输入的是4，则结果是－1；如果输入的是5，则结果是0－5＝－5；如果输入的是6，则结果是1－5＝－4；……，所以，可能结果有－5、－4、－3、－2、－1，选C。
点评：这是一道很有意思的程序设计题，运算过程中，我们应该能注意到每次所得结果存在的规律性。因而这道题多少有一种综合题的意味，虽然难度不大，但却意义深远。
例5. 在下面等式的“□”内填数，“○”内填加减运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）：
□○□○□＝－6；□○□○□＝－6。
解析：和许多开放题一样，本题答案不唯一，我们只要先确定好几组数字，然后再考虑填入哪种运算符号即可。需要注意的就是括号内的加点字提醒，不少同学作业时容易忽略，解题时必须好好注意。答案如，等。
点评：本题由于“□”内不限填什么数，“○”内可填加号也可填减号，因而答案有无数个。另外，为避免出现错误，所列的式子应尽量简单些。
例6. 计算：
⑴（＋3）＋（－2）＋（－3）＋1；
⑵（＋5）＋（－2）＋（－3）＋（＋6）；
⑶（－2.25）＋（＋5.75）－（－7.7）＋（－2.5）＋4－（－2.3）；
⑷＋（－3.4）＋（－2.8）＋（＋6.2）＋（－3）＋（＋7）＋；
⑸＋（－）－（＋）。
分析：有理数运算是初中数学中最基本的运算，也是同学们难以掌握，常常出错的地方。如果能结合题目的具体特点，使用一些运算技巧，就可以化繁为简，减少失误，收到事半功倍的效果。本例中，（1）题中把相加得0的数组成一组；（2）题中将正数、负数分别结合；（3）（4）题凑整结合；（5）题拆数整合。这些方法都可以有效地降低运算的难度，减少运算中常出现的计算错误的发生。
解：⑴（＋3）＋（－2）＋（－3）＋1＝［（＋3）＋（－3）］＋（－2）＋1＝－1；
⑵（＋5）＋（－2）＋（－3）＋（＋6）＝［（＋5）＋（＋6）］＋［（－2）＋（－3）］
＝11＋（－5）＝6；
⑶（－2.25）＋（＋5.75）－（－7.7）＋（－2.5）＋4－（－2.3）
＝［（－2.25）＋（＋5.75）＋（－2.5）］＋［7.7＋2.3］＋4＝14；
⑷＋（－3.4）＋（－2.8）＋（＋6.2）＋（－3）＋（＋7）＋
＝［＋］＋［（－3.4）＋（－2.8）＋（＋6.2）］＋［（－3）＋（＋7）］
＝［（＋）］＋{［（－3.4）＋（－2.8）］＋（＋6.2）}＋［（－3）＋（＋7）］＝4；
⑸＋（－）－（＋）＝（3－5）＋（－－）＝－1。
点评：有理数运算，有一些简单的技巧需要我们特别注意。比如：（1）加数是互为相反数的数要先相加；（2）符号相同的数先相加；（3）能凑成整数的数先相加；（4）加数是分数时应注意将分母相同或宜于通分的数结合相加，加数中有带分数时，可将带分数分拆成整数和分数和的形式，再做运算……这些技巧需要我们在运算中不断地认识、总结，当然，在运算时，技巧方法更要注意灵活掌握，切不可生搬硬套。
例7. 一只电子跳蚤始终在一直线上不停地跳动。它先从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是&&&&&&& 个单位。
解析：不妨设向左为负，向右为正，则1－2＋3－4＋5＋…＋99－100＝（－1）＋（－1）＋…＋（－1）＝－50，所以第100次落下时落点处在O点的左侧50个单位。
点评：本题的列式倒是件简单的事，难在1－2＋3－4＋5＋…＋99－100的运算上，要注意找准运算中的规律，灵活运用，千万不能犯教条主义的错误。
例8. 小明的爸爸是某公司的经理，当他知道小明学习了有理数的加法运算后，于是把公司的股票在本周内涨跌情况（单位：元）提供给小明，问小明本周内他公司的股票总的来说是上涨了还是下跌了？上涨或下跌了多少？公司股票在本周内的涨跌情况如下表：
解析：只要求出上表中给出的5个有理数的和就可以作出判断。如果和为正数，则说明本周内股票上涨了；如果和为负数，则说明本周内股票下跌了；如果和为0，则说明本周内股票不涨不跌。而＝＝＝－（元）。所以，本周内股票下跌了元。
点评：本题考查的是有理数加法在生活中的应用。
例9. 佳佳和小超玩一个抽卡片游戏：有一叠卡片，每张上面都写着一个数字，二人轮流从中抽取，若抽到的卡片上的数字大于10，就加上这个数字，若抽到的卡片上的数字不大于10，就减去这个数字。第一轮抽卡完毕（每人抽4张），二人抽到的卡片如下图所示。若规定从0开始计算，结果小者为胜，那么第一轮抽卡谁获胜？
分析：①“不大于”就是小于或等于；②“从0开始计算”，意思是算式中第一个数是0；③列式时，若减去的数是负数，这个负数一定要括起来。
解：佳佳所抽卡片的计算结果为：0―（―4.5）＋11―5.5―10＝4.5＋11―5.5―10＝0.小超所抽卡片的计算结果为：0＋10.5―（―4）―5.2―9.8＝10.5＋4―5.2―9.8＝14.5－15＝－0.5。因为－0.5＜0，所以第一轮抽卡小超获胜。
点评：本题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，即如何正确列式。而在解决这样的问题时，我们最常犯的毛病就是列式出错。
例10. 某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为负，后退为正，某天自A地出发到收工时所走线路为（单位：千米）：＋10，－3，＋4，＋2，－8，＋13，－2，＋12，＋8，＋5，
⑴问收工时距A地多远？
⑵若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时耗油多少升？
分析：求收工时距A地多远可直接用有理数的加法来求；而要求耗油多少升，必须要知道汽车所走的距离，因而必须将上面的数据的绝对值相加。
解：⑴（＋10）＋（－3）＋（＋4）＋（＋2）＋（－8）＋（＋13）＋（－2）＋（＋12）＋（＋8）＋（＋5）＝［（＋2）＋（－2）］＋［（＋8）＋（－8）］＋［（＋10）＋（＋4）＋（＋13）＋（＋12）＋（＋5）］＋（－3）＝41；
67×0.2＝13.4。即收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时耗油13.4升。
点评：解决本题时要注意绝对值的意义及其在有理数加减运算中的运用。
［本讲数学思想方法的学习］
1、化归思想。在有理数加法的基础上，利用相反数的概念化归出减法法则，从而使加减得到统一。可见，化归思想是解决新问题、获得新知识的重要数学思想。
2、分类思想。分类就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论。”在研究有理数加法法则时，我们都是按有理数分成正数、零、负数等三类来研究的。
3、数形结合思想。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。在本章学习中，我们头脑中的加减法法则的模型往往都是要通过数轴来表现，其实就是数形结合思想在我们学习中的应用。
4、观察方法。对于一些主要的知识的学习，如有理数大小的比较、有理数的加减运算法则以及运算律的运用等等，都离不开观察、分析、归纳，从而作出正确的判断。
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一、细心选一选
1. 一个正数的绝对值小于另一个负数的绝对值，则两数的和是（　　）
A. 正数．&&&& 　B. 负数．&&&&&&&
C. 0．&&&&
　　D. 　不能判断．
2. 如果两个数的和是正数，那么（　　）
A. 这两个数均为正数。&&&&&&
B. 两个加数中，一个为正数，一个为负数，并且正数的绝对值大于负数的绝对值。&&
C. 一个加数为正数，一个加数为零。
D. 以上三种情况必有其一。& 　
3. 下列说法正确的有（　　）
A. 0减去任何数差都是负数。
B. 两个数的差一定小于被减数。&&&&&&&
C. 减去一个数，差一定大于被减数。
D. 减去一个正数，差不一定大于被减数。
4. 计算（－9）－（＋3）＋（－5）－（－7）－的值是（　　）
A. 8．&&&&&&& B. －9．&&&& C. －23．&&& 　D. －10．&&&&&&&&&&
5. 下列说法正确的有（　　）
（1）正数与负数的差不一定是正数。 　　（2）　负数与负数的差是负数。&&&&&&&&&&&&&
（3）负数减去正数差为负数。　　　　　（4）　正数减去负数差为正数。
A. 1个．&&&&&& B. 2个．　&&&& C. 3个．&&&&&&&
6. 若|x|＝3，|y|＝7，则x－y值是（&&& ）
&&B. ±10．&
C. －4或－10． &&&&D. ±4，±10．
7. 用算式表示“8与比它的相反数小2的数的差”正确的是（&&& ）
A. 8－［（－8）－2］．&&
B. 8－［（－8）＋2］．　
C. 8＋［（－8）－2］．&&
D. 8＋［（－8）＋2］．
8. 如果a＋b＜0，－（－a）＞0那么（　　）
A. a＞0，b＜0．& &&B.
a＞0，b＞０．& C. a＜0，b＞０． &&&&D. a＜0，b＜0．
9. 小于2005且大于－2004的所有整数的和是（　　）
A. 2004．& 　　　B. 1．&&&
　　　C. 0．&&&&&&&&&&
D. －2004．
10. 若m、n是两个有理数，那么m－n与m比较，说法正确的是（　　）
A. m－n＞m．&&&&
B. m－n＜m．&&&& C. m－n＞－m． 　　D. 大小关系与n有关．
二、仔细填一填
11. 算式（－4）＋（－7）＝－11的运算法则是_____________．
12. 两个有理数的和为零，则这两个有理数的关系是_________．
13. 若m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，则m＋n与0的大小关系是___________．
14. －的倒数与－5的和的绝对值是___________．
15. ____－（＋）＝－1
16. 若a＝－3，b＝－8，c＝－7则a－（b－c）＝_____________．
17. 运用加法交换律，式子12－7可以写成____________．
18. ＋26，－3与－8的和比它们的绝对值的和小___________．
19. 甲楼比丙楼高24.5米，乙楼比丙楼高15.6米，则乙楼比甲楼低________米．
20. 如果|m－3|＋|n＋5|＝0，则m＋n的值是__________．
三、认真算一算：
21. 计算下列各题
⑴－14＋28　　　　　　　　　　　　　　
⑵（－1.1）＋（＋4.9）
⑶ －0.25－（－7.75）　　　　　　　　
⑷－52＋（－22）－（－10.7）
⑸ －＋（－2）　　　　
⑹ －|－4.23|＋|－（－32.6）|
⑺（－）－（＋）－（－）＋（－2）　　
⑻－5.31＋2.2－（－0.6）＋（－0.01）
四、努力解一解
22. 某升降机第一次上升6米，第二次又上升5米，第三次下降4米，第四次又下降9米，这时升降机在初始位置的上方还是下方？相距多少米？升降机共运行了多少米？
23. 潜水艇原停在海面下900米处，先上浮300米，又下潜160米，这时潜水艇在海面下多少米处？
24. 某市冬季的一天，最高气温为6℃，最低气温为－11℃，这天晚上的天气预报说将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降10℃~12℃，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少度，最低气温不会低于多少度，以及最高气温与最低气温的差至多为多少度？
25. 妈妈在公园的一条东西走向的小道上训练小宝宝走路，下面数据是小宝宝走的各段路程（向东为正，向西为负，单位：米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10。
（1）小宝宝最后是否回到了出发的位置？
（2）小宝宝离开出发点最远是多少米？
（3）如果小宝宝每走1米得一块糖，那么小宝宝一共得到多少块糖？　　　　
26. 某中学八年级一班6名同学的身高情况如下表：（单位：厘米）
姓　　　名
身　　　高
身高与平均身高的差值
（1）完成上表；
（2）八年级一班的平均身高是多少厘米？
（3）这6名同学中谁最高？谁最矮？
（4）最高的同学与最矮的同学身高相差多少厘米？
27. 下面左图是一个方阵图，每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数相加的和相等。如果方阵中的每一个数都加上同一个数，那么方阵中每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数相加的和仍然相等，这样就形成了一个新的方阵图。根据图中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成下面的方阵图吗？
【试题答案】
细心选一选
1. B　　2. D　　3.
D　　4. D　　5. B　&
6. D　& 7. A　&
8. A　& 9. A　　10. D
仔细填一填
11. 同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加。　　
12. 互为相反数　
13. m＋n＜0　
15. －　　
16. －2　　
17. －7＋12　　
19. 8. 9　
认真算一算
21. ⑴14　　⑵3.8　　⑶7.5　　⑷－63.3　　
⑸－　　⑹28.37　　⑺－　　⑻－2.52　
努力解一解
22. 下方　2米　24米　　
23. 760米　　
24. －4　－23　19
25. （1）回到了出发的位置　（2）12米　（3）54块
26. （1）略　（2）160厘米　（3）小雨　小红　（4）14厘米
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