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已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-32]；（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止．（i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{xn}，求实数a的取值范围；（ii）如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的值
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设P（xo，yo）是函数y=f（x）图象上一点，则yo=xo+1-aa-xo，点P关于（a，-1）的对称点P'（2a-x0，-2-y0）．∵f(2a-xo)=2a-x0+1-aa-2a+x0=a-x0+1x0-a，-2-yo=a-x0+1x0-a∴-2-y0=f（2a-x0）．即P′点在函数y=f（x）的图象上．所以，函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+32]=a-x+1a-xoa+2-x2(a-x)=(x-a-1)(x-a-2)2(a-x)2.又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）2＞0，∴[f(x)+2][f(x)+32]≤0，∴-2≤f(x)≤-32.（3）（i）根据题意，只需x≠a时，f（x）=x有解.即x+1-aa-x=x有解，即x2+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，此时，x分别为-2或0．符合题意．综上，a≤-3或a≥1．（ii）根据题意，知：x≠a时，x+1-aa-x=a无解，即x≠a时，（1+a）x=a2+a-1无解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，所以，对于任意x∈R．（1+a）x=a2+a-1无解．∴a=-1．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R)，（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，..”主要考查你对&&指数函数模型的应用，对数函数模型的应用，函数零点的判定定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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指数函数模型的应用对数函数模型的应用函数零点的判定定理
指数函数模型的定义：恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=a·bx+c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1）的形式，进而结合指数函数的性质解决问题。指数型复合函数的性质的应用:
(1)与指数函数有关的复合函数基本上有两类：；②.无论是哪一类，要搞清楚复合过程，才能确定复合函数的值域和单调区间，具体问题中，a的取值不定时，要对a进行分类讨论．(2)对于形如一类的指数型复合函数，有以下结论：①函数的定义域与f(x)的定义域相同；②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，确定函数的值域；③当a&l时，函数与函数f(x)的单调性相同；当O&a&l时，函数与函数f(x)的单调性相反.对数函数模型的定义：
恰当选择自变量将问题的目标表示成自变量的函数f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）的形式，进而结合对数函数的性质解决问题。
对数函数模型解析式：
f（x）=mlogax+n（m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1）用函数模型解函数应用题的步骤：
1.审题：弄清题意，分清条件和结论，确定数量关系，初步选择数学模型；2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；3.求模：求解数学模型，得出数学结论；4.还原：将数学问题还原为实际问题的意义。&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
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已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=aa-1(an-1)（其中a为常数且a≠0，a≠1，n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
题型：解答题难度：中档来源：安徽模拟
（1）∵Sn=aa-1(an-1)，∴Sn+1=aa-1(an+1-1)，从而an+1=Sn+1-Sn=aa-1（an+1-an），∴an+1=aoan，当n=1时，由Sn=aa-1(an-1)，得a1=a．∴数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列，故an=an．（2）由（1）得bn=noan，∴Tn=a+2a2+3a3+…+nan，从而aTn=a2+2a3+3a4+…+nan+1，两式相减，得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-nan+1，∵a≠0，且a≠1，∴(1-a)Tn=a(1-an)1-a-nan+1=nan+2-(n+1)an+1+a1-a，从而Tn=nan+2-(n+1)an+1+a(1-a)2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=aa-1(an-1)（其中a为常数且a≠0，..”主要考查你对&&数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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