2015高考数学二轮数列求和及数列的综合应用专题复习试题（附答案）
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2015高考数学二轮数列求和及数列的综合应用专题复习试题（附答案）
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2015高考数学二轮数列求和及数列的综合应用专题复习试题（附答案）
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 高考专题训练(十)　数列求和及数列的综合应用A级――基础巩固组一、1．(;广东惠州一模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＝2，a5＝3a3，则S9＝(　　)A．－72& &B．－54C．54& &D．72 解析　a1＝2，a5＝3a3得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1 ＝－2，所以S9＝9a1＋9×82d＝9×2－9×8＝－54，选B.答案　B2．(;全国大纲卷)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)A．6& &B．5C．4& &D．3解析　S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1…•a8)＝lg(a1&#＝lg(a4&#＝lg(2×5)4＝4.答案　C3．(;北京卷)设{an}是公比为q的等比数列．则“q&1”是“{an}为递增数列”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析　利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断．{an}为递增数列，则a1&0时，q&1；a1&0时，0&q&1.q&1时，若a1&0，则{an}为递减数列．故“q&1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.答案　D4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，数列{bn}满足bn＝1anan＋1(n∈N*)，Tn是数列{bn}的前n项和，则T9等于(　　)A.919& &B.1819C.2021& &D.940解析　∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，∴n＝1时，a1 ＝2；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，∴an＝2n(n∈N*)，∴bn＝1anan＋1＝12n2n＋2＝141n－1n＋1，T9＝141－12＋12－13＋…＋19－110＝14×1－110＝940.答案　D5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝(　　)&A．6n－n2B．n2－6n＋18 C.6n－n2　1≤n≤3&#6n＋18　n&3D.6n－n2　1≤n≤3&#6n　n&3解析　由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.∴n≤3时，an&0；n&3时，an&0.∴Tn＝6n－n2　1≤n≤3，n2－6n＋18　n&3.答案　C6．已知曲线C：y＝1x(x&0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2&x1&0.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于 点A3(x3,0)，那么(　　)A．x1，x32，x2成等差数列B．x1，x32，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列解析　由题意，B1，B2两点的坐标分别为x1，1x1，x2，1x2，所以直线B1B2的方程为y＝－1x1x2(x－x1)＋1x1，令y＝0，得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋ x2，因此，x1，x32，x2成等差数列．答案　A二、题7．若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.解析　n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an＋13－23an－1＋13，化简得：an＝－2an－1，又a1＝S1＝23a1＋13，得a1＝1，故{an}以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1. 答案　(－2)n－18．(;辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析　∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q&1，∴a1＝1，a3＝ 4，则公比q＝2，因此S6＝1×&#&#＝63.答案　63 9．(;河南一模)已知对于任意的自然数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴相交于An，Bn两点，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 014B2 014|＝________.解析　令(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0，则x1＋x2＝2n＋1n2＋n，x1x2＝1n2＋n，由题意得|AnBn|＝|x2－x1|，所以|AnBn|＝x1＋x2&#x1x2＝ 2n＋1n2＋n2－4&#＋n＝1n2＋n＝1n－1n＋1，因此|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 014B2 014| ＝1－12＋12－13＋…＋12 014－12 015＝1－12 015＝2 .答案　2 三、解答题10．(;湖南卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝2&#n&#＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.11．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n•bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn&7时n的最大值．解　(1)n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n －1)2－1，两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1.∴an＝2n＋1，∴3n•bn＋1＝ (n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，∴bn＋1＝4n＋33n，∴当n≥2时，bn＝4n－13n－1，又b1＝3适合上式，∴bn＝4n－13n－1.(2)由(1)知，bn＝4n－13n－1，∴Tn＝31＋73＋1132＋…＋4n－53n－2＋4n－13n－1，①13Tn＝33＋732＋1133＋…＋4n－53n－1＋4n－13n，②①－②，得23Tn＝3＋43＋432＋…＋43n－1－4n－13n＝3 ＋4&#n－11－13－4n－13n＝5－4n＋53n.∴Tn＝152－4n＋52•3n－1. Tn－Tn＋1＝4n＋1＋52•3n－4n＋52•3n－1＝－4n＋3&#. ∴Tn&Tn＋1，即{Tn}为递增数列．又T3＝599&7，T4＝649&7，∴当Tn&7时，n的最大值为3.B级――能力提高组1．(;上海虹口一模)已知函数f(n)＝n2sinnπ2，且an＝f(n )＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝________.解析　考虑到sinnπ2是呈周期性的数列，依次取值1,0，－1,0，…，故在求a1＋a2＋…＋a2 014时要分组求和，又由an的定义，知a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝(a1＋a3＋…＋a2 013)＋(a2＋a4＋…＋a2 014)＝[f(1)＋f(3)＋…＋f(2 013)]＋[f(2)＋f(4)＋…＋f(2 014)]＝[(1－32)＋(52－72)＋…＋(2 2)＋2 0132]＋[(－32＋52)＋(－72＋92)＋…＋(－2 2)－2 0152] ＝－2×(4＋12＋20＋…＋4 020)＋2 0132＋2×(8＋16＋…＋4 024)－2 0152＝－2×503×&# 020&#×503×&# 024&# 2＝503×8－2×4 028＝－4 032.& 答案　－4 0322．(;上海长宁二模)定义函数f(x)＝{x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x∈(0，n](n∈N*)时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则1a1＋1a2＋…＋1an＝________.解析　由题意，a1＝1，当x∈(n，n＋1]时，{x}＝n＋1，x•{x}∈(n2＋n，n2＋2n＋1]，{x•{x}}的取值依次为n2＋n＋1，n2＋n＋2，…，n2＋2n＋1共n＋1个，即an＋1＝an＋n＋1，由此可得an＝1＋2＋3＋…＋n ＝nn＋1&#an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，所以1a1＋1a2＋…＋1an＝2－2n＋1.答案　2－2n＋13．(;湖南卷)已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝12， 且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．解　(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn 而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝13，p＝0.&&& 当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾．故p＝13.(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1&0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)&0.①但122n&122n－1，所以| a2n＋1－a2n|&|a2n－a2n－1|.②由①②知，a2n－a2n－1&0，因此a2n－a2n－1＝122n－1＝－1&#n－1.③因为{a2n}是递减数列，同理可得a2n＋1－a2n&0，故a2n＋1－a2n＝－122n＝－12n＋122n④由③④即知，an＋1－an＝－1n＋12n.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋12－122＋…＋－1n2n－1＝1＋12•1－－12n－11＋12＝43＋13•－1n2n－1.故数列{an}的通项公式为an＝43＋13•－1n2n－1. 文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知数列an的通项公式为an=n^2,求数列前n项和Sn_百度知道
已知数列an的通项公式为an=n^2,求数列前n项和Sn
来自河北农业大学
你这是求连续自然数的平方和 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 答题不易、满意请果断采纳好评、你的认可是我最大的动力、祝你学习愉快、&_&|||
陈志明&&学生
韦婉娟&&学生
丁璐&&学生
祝林辉&&学生
石超&&高级教师已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an/(an+2)，(n属于N*)，若_百度知道
已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an/(an+2)，(n属于N*)，若
若b(n+1)=(n-x)(1/an +1)b1=-x且数列{bn}递增数列则实数x取值范围(
)Ax&2Bx&3Cx&2Dx&3
提问者采纳
a(n+1)=an/(an+2)1/a(n+1)=(an+2)/an=1+ 2/an1/a(n+1) +1=2 +2/an=2(1+1/an)[1/a(n+1) +1]/(1+1/an)=2定值1/a1+1=1+1=2数列{1/an +1}2首项<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad公比等比数列1/an +1=2&#8319;b(n+1)=(n-x)(1/an+1)=(n-x)2&#8319;n≥2b(n+1)&bnb(n+1)-bn&0b(n+1)-bn=(n-x)2&#8319;- (n-1-x)2^(n-1)=(n-x+1)2^(n-1)&02^(n-1)恒&0n-x+1&0x&n+1随n增n+1单调递增要等式任意n≥2恒立要n=2立x&3n=1b2=2(1-x)=2-2x数列递增a2&a12-2x&-xx&2综x&2选A具体程写作选择题实际做候要写细演草纸概步骤列
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a(n+1)=an/(an+3)a(n+1)+2 =an/(an+3)+2
= 3(an+2)/(an+3)1/[a(n+1)+2] = (an+3)[3(an+2)]
= 1/3 + (1/3)[ 1/(an+2)]1/[a(n+1)+2] -1/2
= (1/3) { [ 1/(an+2)] - 1/2 }=&{ [ 1/(an+2)] - 1/2 }等比数列, q=1/3{ [ 1/(an+2)] - 1/2 }= (1/3)^(n-1).{ [ 1/(a1+2)] - 1/2 }
=-(1/2).(1/3)^n1/(an+2) =(1/2)( 1- (1/3)^n)an +2 = 2/( 1- (1/3)^n)an = -2 +2/( 1- (1/3)^n)
= -2 + 2.3^n/(3^n -1)
= 2/(3^n -1) letS = 1.(1/2)^1+2.(1/2)^2+...+n.(1/2)^n
(1)(1/2)S =
1.(1/2)^2+2.(1/2)^3+...+n.(1/2)^(n+1)
(2)(1)-(2)(1/2)S = (1/2+1/2^2+...+1/2^n) -n.(1/2)^(n+1)
= (1- (1/2)^n ) - n.(1/2)^(n+1)bn=(3^n-1)n/(2^n*an)
=n/2^(n+1)
= (1/2)[ n. (1/2)^n ]Tn =b1+b2+...+bn
= (1- (1/2)^n ) - n.(1/2)^(n+1)
= 1- (n+2)(1/2)^(n+1)
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＞＞＞已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，，（Ⅰ）证明数列是一个等差数列；..
已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，，（Ⅰ）证明数列是一个等差数列；（Ⅱ）求an。
题型：解答题难度：中档来源：0115
解：（1）当n=1时，S1=a1=1；当 n≥2时，an=Sn-Sn-1=，而≠0， ∴，∴数列是一个等差数列。（2）由（1）得，当n=1时，a1=S1；当n＞1时，an=Sn-Sn-1=，∴an=。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，，（Ⅰ）证明数列是一个等差数列；..”主要考查你对&&一般数列的通项公式，等差数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
一般数列的通项公式等差数列的定义及性质
一般数列的定义：
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
&通项公式的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式； （2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列； （3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。已知递推公式求通项常见方法：①已知a1=a,an+1=qan+b,求an时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使an+1&+λ=q(an+λ)进而得到λ。②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n≥2),求an时，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)的方法。③已知a1=a,an=f(n)an-1(n≥2)，求an时，利用累乘法求解。等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
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279007269236253156279941254297253994数列﹛an﹜的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=(n+2)&#47;nSn_百度知道
数列﹛an﹜的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=(n+2)&#47;nSn
（1）求证：数列{Sn&#47;n}等比数列（2）求﹛an﹜通项公式
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]表示角标∵a[n+1]=(n+2)/nSn ∴Sn=na[n+1]/(n+2)
S[n-1]=(n-1)an/（n+1） ∴an=Sn-S[n-1]=na[n+1]/(n+2)-(n-1)an/（n+1）即2n×an/（n+1） = na[n+1]/(n+2) ∵n≠0同消n.即2an/（n+1） = a[n+1]/(n+2) 即2S[n-1]/（n-1）=Sn/n
(n≥2)即Sn/n∶S[n-1]/（n-1）=1/2=q ∴数列{Sn/n}等比数列
Sn/n=S1/1×(1/2)&#710;(n-1)
n=1S1/1=a1/1=1
满足Sn/n=S1/1×(1/2)&#710;(n-1)
∴{Sn/n}首项1.公比1/2等比数列(2)由（1）已证S［n-1］/(n-1) ∶S［n-2］/(n-2)=1/2
即an/(n+1)
∶a［n-1］/n
即an/a［n-1］=(n+1)/2n
同理a［n-1］/a［n-2］=n/(2(n-1))=1/2×n/(n-1)
a［n-2］/a［n-3］=（n-1)/(2(n-2))=1/2×（n-1)/(n-2)
a［n-3］/a［n-4］=（n-2）/(2(n-3))=1/2×（n-2）/（n-3）
a［n-4］/a［n-3］=（n-3）/(2(n-4))=1/2×（n-3）/（n-4）
a&#8323;/a&#=1/2×4/3
a&#8322;/a&#
述式左右叠乘
an/a&#8321;=an=n×（1/2）&#710;（n-1）
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