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如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE.其中正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&(写出正确结论的序号).
题型：填空题难度：中档来源：不详
①②⑤. ①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也相等；②根据两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全等，进而得不到△ADE与△CDF全等，可得结论A1E与CF不一定全等；③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；④用角角边证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）∴∠CDF=∠C1BF=α，故结论①正确；②∵AB=BC，∴∠A=∠C，∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，∴△A1BF≌△CBE（ASA），∴BF=BE，∴A1B-BE=BC-BF，∴A1E=CF，故②正确；③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，故结论③不一定正确；⑤∠A1=∠C，BC=A1B，∠A1BF=∠CBE∴△A1BF≌△CBE（ASA）那么A1F=CE．④不正确．故答案为：①②⑤．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，..”主要考查你对&&轴对称，用坐标表示平移，平移，尺规作图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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轴对称用坐标表示平移平移尺规作图
轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。这样就得到了以下性质： 1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　 4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用:可以通过对称轴的一边从而画出另一边。 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用:关于平面直角坐标系的X,Y对称意义如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。 相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c 则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。平移后图形的位置改变,形状、大小不变。在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（x-a,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,y-b）。定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。（5）平移是由方向和距离决定的。这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）
平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。平移作图的步骤：（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
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与“如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，..”考查相似的试题有：
205585349583346317740820712076130955问题分类：初中英语初中化学初中语文
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11、如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是（）；
13、如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．
求证：①DE=DG； ②DE⊥DG
14、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE=CF．
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
15、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
16、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．
求证：△BEC≌△CDA．
17、等腰△ABC与等腰△DEC共点于C,且∠BCA=∠ECD, 连结BE、AD,若BC=AC,EC=DC,试证明BE=AD, 若将等腰△DEC绕点C旋转至图⑵、⑶、⑷位置时，其余条件不变，与还相等吗？为什么？
悬赏雨点：15 学科：【】
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错误详细描述：
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α＝________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为________；②当α＝________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为________；（2）当α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
下面这道题和您要找的题目解题方法是一样的，请您观看下面的题目视频
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2.点O是AC的中点，过点O的直线l从AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.（1）①当α＝________时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为________；②当α＝________时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为________；（2）当α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由。
【思路分析】
（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，由CE∥AB，可得当∠EDB=∠B=60°时，四边形EDBC是等腰梯形时，则可求得α的度数；由CE∥AB，∠B=60°，可得当∠EDB=90°时，四边形EDBC是直角梯形，则可求得α的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质与勾股定理求得AD的长．（2）根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比较得BD=BC，可证明四边形EDBC是菱形．
【解析过程】
解：（1）∵CE∥AB，∴当∠EDB=∠B=60°时，四边形EDBC是等腰梯形时，∵∠A=30°，∴α=∠EDB-∠A=30°，即当α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形；∵CE∥AB，∠B=60°，∴当∠EDB=90°时，四边形EDBC是直角梯形，∵∠A=30°，∴α=∠EDB-∠A=90°-30°=60°，∴当α=60°时，四边形EDBC是直角梯形；在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AC= ，∵O是中点，∴AO=，在Rt△AOD中，OD=AO=，∴AD= =．故答案为：30，60，；（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED，∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30°，∴AB=4，AC=2，∴AO=AC=．在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD=，AD=，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形．
(1)30，60，；(2) 当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED，∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30°，∴AB=4，AC=2，∴AO=AC=．在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=AD=，AD=，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形．
此题考查了等腰梯形的性质、直角梯形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
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＞＞＞在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于..
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ACD≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
证明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°， ∴∠1=∠3又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ADC≌△CEB；②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE， ∴DE=CE+CD=AD+BE。
（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，∴∠1+∠2=∠CBE+∠2=90°，∴∠1=∠CBE又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°， ∴△ACD≌△CBE， ∴CE=AD，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）∵∠ACB=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°， ∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD。
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据魔方格专家权威分析，试题“在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于..”主要考查你对&&全等三角形的性质，三角形全等的判定&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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全等三角形的性质三角形全等的判定
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&三角形全等判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。三角形全等的判定公理及推论：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：①S.S.S. (边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。②S.A.S. (边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。③A.S.A. (角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。④A.A.S. (角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：⑥A.A.A. (角、角、角)：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。⑦A.S.S. (角、边、边)：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。解题技巧：一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
发现相似题
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熟练运用旋转解决平面几何中的问题
熟练运用旋转解决平面几何中的问题
　　平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．
图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．
求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．
　　分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分
1、90°角旋转
如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD-上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
　　解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求:(1)∠APB的度数;(2)正方形ABCD的面积．
分析:三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．
　　解:(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ．
　　则△ABP ≌ △CBQ且PB⊥QB．
　　于是PB=QB=2a，PQ==2a．
　　在△PQC中，∵PC2=9a2，PQ2＋QC2=9a2．
　　∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠PQC=90°．
　　∵△PBQ是等腰直角三角形，
　　∴∠BPQ=∠BQP=45°．
　　故∠APB=∠CQB=90°＋45°=135°．
　　(2)∵∠APQ=∠APB＋∠BPQ=135°＋45°=180°，
　　∴三点A、P、Q在同一直线上．
　　在Rt△AQC中，AC2=AQ2＋QC2=(a＋2a)2＋a2=(10＋4)a2．
　　故S正方形ABCD =AC2=(5＋2)a2．
例2中，如果把△CBP绕点B逆时针方向旋转90°得△ABM，怎样解以上问题?(答:
　　(1)△PBM是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM=90°;(2)过点B作BN⊥AP，垂足为N．则PN=BN=，于是在△ABN中可求出边长AB的平方，即得正方形的面积．)
2、60°角旋转．
如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。连结BE、CD。设M、N分别是BE、CD的中点。求证：△AMN是等边三角形。
证明：由条件可知，△ADC绕点A逆时针旋转60°为△ABE。即线段CD绕点A逆时针旋转60°得BE中点M，故AN=AM，∠NAM二60°，即△AMN是等边三角形。
如图4，P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的大小。
解：将△APC绕点A顺时针旋转60°，由ABC为等边三角形知，此时所得新三角形-边与AB重合。设P旋转后为P′，则△APP′的边长为3的等边三角形，P'B=PC=5，又PB=4，故pp'2+PB2=P′B2．从而△P'PB是以∠P′PB为直角的直角三角形，从而∠APB=∠APP′+
∠P'PB=60°+90°=150°。
如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．证明:BD2=AB2＋BC2．
　　分析:所证结论即是三条线段BD、AB、BC能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．
　　证:连接AC．
　　∵AD=DC，∠ADC=60°，
　　∴△ADC是等边三角形．
　　故将△DCB绕点C顺时针方向旋转60°时可得△ACE．连接BE．
　　于是△DCB≌△ACE且CB=CE，∠BCE=60°．
　　∴△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°．
　　∵∠ABC=30°， ∴∠ABE=90°．
　　故AB2＋BC2=AB2＋BE2=AE2=BD2．
练习．已知：如图，M是等边△ABC内的一个点，且MA=2cm，MB=cm，MC=4cm，求：△ABC的边AB的长度。
　　3、旋转到特殊位置
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，以点C为旋转中心将△ABC旋转α角到△A1B1C的位置，使B点恰好落在A1B1上．求旋转角α的度数．
　　分析:将△ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A1BB1是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α ．
　　解:∵△ABC≌△A1B1C(旋转前后的图形全等)．
　　∴∠A=∠A1且CB=CB1．
　　∵∠ADC=∠A1DB， ∴∠A1BD=α ．
　　在△ABC中，∠ABC=90°－25°=65°．
　　∵∠BCB1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角)．
　　∴∠CBB1=(180°－α)
　　∵点A1、B、B1在同一直线上，
　　∴α＋65＋(180－α)=180．
　　解之得α=50°．
例1中，若∠A=θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)
二、按计算要求进行区分
　　1、求角度
　　例1（青岛）、如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。
　　分析：由题中已知条件中的
6、8、10这组勾股数联想到直角
三角形，于是设法将PA、PB、PC
集中到一个三角形中，可以将△APC
绕着A点逆时针旋转60°得到△AFB，
从而可得∠APB=∠APF+∠BPF，然后设法求出∠APF、∠BPF的度数即可。
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°后，得△AFB，连接FP（如图2），则FB=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。∴△FAP是正三角形，FP=PA=6，在△PBF中，PB2+PF2=82+62=102=BF2，∴∠BPF=90°，∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°。
　　例2、如图所示，△ABC中，∠ACB=120°，将该图形绕点C按顺时针旋转30°后，得到△A'B'C，则∠AB'C的度数是
分析：根据旋转的性质可以知道∠BCB'是旋转角，它的度数
　　应该是30°，∠AB'C可以看成是∠ACB和∠BCB'的和，所以∠AB'C=120°＋30°=150°。
　　答：∠AB'C的度数是150°。
　　2、求线段间的关系或长度
　　例1（旅顺）操作：如图3，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。
　　分析：本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中，必须设法将它们集中到一个三角形中。易知∠DBA=∠DCA=90°，BD=CD，于是将△DBM绕D点顺时针旋转120°到△DCP的位置，则BM=CP，DM=DP，再证MN=NC+CP即可得证。
　　解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
　　又∵∠BDC=120°，DB=DC，∴∠DBC=∠DCB=30°。
∴∠DBM=∠DCN=90°。于是将△DBM绕D点顺时针
旋转120°到△DCP位置，则BM=CP、DM=DP、∠MDP=120°，
又∵∠MDN=60°，∴∠PDN=60°，∴∠PDN=∠MDN，∵DN=DN，
∴△MDN≌△PDN，∴MN=NP=NC+CP，∴BM+NC=MN。
　　答：∠AB'C的度数是150°。
　　例2、如图4所示，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFGH，EF交AD于点H，那么DH的长是
分析：由旋转的性质可以知道∠BFC=∠DCG=30°，所以∠FCD=60°，可以连结线段HC（如图4所示），由已知可知∠F=∠D=90°，FC=DC，HC是Rt△FHC和Rt△DHC公共的斜边，
　　根据HL公理可以判断Rt△FHC≌Rt△DHC，所以∠FHC=∠DHC=30°，所以HC=2DH，根据勾股定理可得，即，因为DC=3，所以DH=。
　　答：DH的长是。
　　3、求面积
　　例1、如图4，△ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2，扇形ADG和BDH分别是以AD、BD为半径的圆的，求阴影部分面积。
　　分析：从表面上看图形异常繁杂，若想直接求阴影部分面积则不可能，若将扇形BDH
和△BDC绕D点顺时针旋转180°，问题就迎刃而解了。
　　解：将扇形BDH和△BDC绕D点顺时针旋转180°变成图5。
　　∴S阴=S半圆－S△AEF=π×12－×12=（π－1）。
　　例2、如图所示，△AOB中，OA=3cm，OB=1cm，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°到△A'OB'，那么AB扫过的区域的面积是
　　分析：AB扫过的区域是一个不规则的图形，要想计算它的面积，可以将它分割为①和③两部分（如图2所示），根据旋转可以知道区域②和区域③的面积是相等的，所以可以将①＋③转化为①＋②，而区域①＋②的面积=扇形OAA'的面积－扇形ODD'的面积，又因为OD=OD=1，OA=3，所以区域①＋②的面积=－=。
　　答：AB扫过的区域的面积是。
　　4、进行图形分割
　　例4（厦门）如图6，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补。
　　（1）求∠C的度数；（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画一条线段，把四边ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由。
　　析解：本题设计新颖，巧妙把直
观感知、操作确认和逻辑推理结合起来，
第（1）问可根据四边形内角和直接求解；
第（2）问则∠ABC+∠ADC=180°，以及要
把四边形分成两部分，使得这两部分能够
拼成一个正方形，则新图必须有四个直角，由∠C=90°，又AB=AD，因此猜想过点A作AE⊥BC于E，又得一个直角。把△ABE绕点A逆时针旋转90°，这时AB与AD重合，则被分成两部分拼成一个正方形。
　　5、构造平行四边形
　　例5（天津）如图8，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片。如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：
（用&能&或&不能&填空）。若填&能&，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填&不能&，请简要说明理由。
　　分析：本题旨在通过操作与几何说理，拓展学生思考与探索空间，主要考四边形的分割和平行四边形的判定知识，其中包含着深刻的图形变换思想，需要丰富观察能力、抽象思维能力、动手操作能力和解决实际问
题能力。本题通过连接四边形对边中点，构造线段相等并利用四边形内角和为360°，借助旋转、平移变换，可达到剪拼的目的。
解：能。如图9、图10，取四边形ABCD各边的中点E、G、F、H，连接EF、GH，则EF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H、F各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件。
三、按旋转类型进行区分
1、正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔCP中，此时ΔAP也为正三角形。
　　　　图（1-1-a）
图（1-1-b）
如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，
　　　　　　　则APB的度数是________.?图（1-1）
简解：在ΔABC的外侧，作BA=CAP，且A=AP=3，连结B。
　　　则ΔBA≌ΔCAP。易证ΔAP为正三角形，ΔPB为RtΔ
　　　∴APB=AP+PB=+=1500
2、正方形类型
　　在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCP中，此时ΔBP为等腰直角三角形。
　　　　图（2-1-a）
图（2-1-b）
如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
　　　图（2-1）
　　简解：作ΔAED使DAE=BAP，AE=AP连结EP，则ΔADE≌ΔABP（SAS）
同样方法，作ΔDFC且有ΔDFC≌ΔBPC。
易证ΔEAP为等腰直角三角形，又∵AP=1
同理，PF=3
∵EDA=PBA，FDC=PBC
又∵PBA+PBC=900
∴EDF=EDA+FDC+ADC= 900+900=1800
∴点E、D、F在一条直线上。
∴EF=ED+DF=2+2=4，
在ΔEPF中，EF=4，EP=，FP=3
由勾股定理的逆定理，可知ΔEPF为RtΔ
∴S正方形ABCD =SRtΔEPF+SRtΔEPA+SRtΔPFC=3++=8
.如图（3-1）正方形ABCD中,边长AB=，点E、F分别在BC、CD上,且BAE=300, DAF=150。求ΔAEF的面积。(第十一届希望杯邀请赛试题)
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　图（3-1）
简解： 延长CB至使得B=DF，连结A，则RtΔAB≌RtΔADF（SAS）。
　　∴AE =300 +150=450，FAE=900 -300 -150=450易证ΔAE≌ΔFAE(SAS)
∴EA =FEA=600，∴FEC=600, ∵在RtΔABE中, AB=，BAE=300
∴BE=1, CE=-1, FE=2CE==2(-1), ∴ E=EF=2(-1)
所以,SΔAEF= S△AF'E=AB·E=((2(-1)=3-
3、等腰直角三角形类型
　　在等腰直角三角形ΔABC中，C=Rt, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔCP为等腰直角三角形。
图（3-1-a）
图（3-1-b）
例4．如图（4-1），在ΔABC中，ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求BPC的度数。?图（4-1）
简解：在RtΔABC的外侧，作BC=ACP，且C=CP=2，连结P。
则ΔBC≌ΔACP。易证RtΔCP为等腰直角三角形，在ΔPB中，B=3，BP=1，P=2，由勾股定理的逆定理可知，ΔPB为RtΔ为RtΔ，PB=900
　　　∴BPC=CP+PB=450+=1350
例5. 如图（5-1），在ΔABC中，BAC =900，AB=AC，ΔABC内一点O，AO=2cm,如果把ΔABO绕A点按逆时针方向转动900，使AB与AC重合，则O点经过的路径长为__________。
　　　　　　　　　　　　　
例6． 如图（6-1），五边形ABCDE中， ABC=AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1，则这个五边形ABCDE的面积等于______________。（2003年宁波市至诚杯竞赛题）
　　　　　　图（6-1）
　　简解：延长DE至使得E=BC，连结A，则ΔAE≌ΔABC（SAS）
∵AB=CD=AE=BC+DE=1，∴CD =D
∴ΔCAD≌ΔAD（SSS）
　　∴SABCDE=2 S△C'DA=2（11）=1
4、 三角形与圆混合类型
　　将ΔCAD绕A点按顺时针方向旋转600到ΔBA，经过旋转变化，将图（3-1-a）中的DC与BD组合在一条直线上，见图（3-1-b）此时BD是个平角，ΔAD为正三角形。?　　图（3-1-a）
图（3-1-b）
例7． 如图（7-1），正三角形ABC内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，PA=2，则四边形ABPC的面积为______________。?　　　　　　　图（7-1）
简解：延长PB至使得B=PC，连结A，则ΔAB≌ΔAPC（SAS）
　　　∴A=AP，AB=PAC， 又 ∵BAC=600
　　　∴ΔAP为正三角形
　　　　　∴S四边形ABPC = S△AP'P =
四、与旋转有关的探索型题目
　　1、条件探索型
　　条件探索型的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件.解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解(即执果索因).
例1:（遂宁）如图1,把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起,其中AC=2, ∠BAC=600,若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转,使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F,得△A′B′C′，A B分别与A′C,A′B′相交于D、E,如图(乙)所示.
⑴. △ACB至少旋转多少度才能得到△A′B′C′?说明理由.
⑵.求△ACB与△A′B′C′的重叠部分(即四边形CDEF)的面积(若取近似值,则精确到0.1)　　　　　　解： ⑴∵ACGF是正方形，A′B′经过点F，∴
又∵∠A′=60°,
△A′CF是等边三角形.又∵ ∠A′CF=60°
∴ ∠ACA′=90°一60°=30°,∴
△ABC至少旋转30°才能得到△A′CB′.
(2)∵ ∠ACA′=30°
,∠BAC=60°,∴
∠A′DE=90°.
AC=2，可求得
CD=.∴A′D=2一.
在Rt△A′DE中 ,
DE=A′Dtan60°=(2一_)·=2一3．
∴ △A′DE的面积为：A′D·DE=(2一)·(2一3) = .
A'B′=4，
A′F= 2,∴
F是A′B′的中点．
∴ △A′CF的面积=△ABC的面积 , 而B′C=A'C·tan60°=2,
S△ABC=×2×2 =2， S△A'CF =
四边形DCFE的面积为：一()=一+6=6一
(若取近似值，则结果应约为1．7．)
2、探索结论型
结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；解结论探索型题的方法是由因导果.
例2:（衡阳市）已知，如图2，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=1，BC=，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.
⑴证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
⑵试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
⑶在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由：如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
解:⑴证明:当∠AOF=时, AB∥EF,又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
⑵∵AO=CO, ∠FAO=∠ECO, ∠AOF=∠COE. ∴△AOF≌△COE. ∴AF=EC.
⑶四边形BEDF可是是菱形.
理由:如图2,连接BF、DE.
由(2)知△AOF≌△COE.得OE=OF,∴EF与BD互相平分.
当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,AC=,∴OA=1=AB . 又AB⊥AC∴∠AOB=，∴∠AOF=.
∴AC绕点O顺时针旋转时,四边形BEDF为菱形.
3、存在性探索型
　　存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论.
　　例1.（河北）如图1－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
　　（1）如图1－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
　　（2）若三角尺GEF旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．　　　　　　　　分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN．然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然△OBM和△OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.
　　解：（1）BM=FN．
　　证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
　　∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
　　又∵∠BOM=∠FON
∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
　　（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
　　∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
　　∴∠MBO=∠NFO=135°．
　　又∵∠MOB=∠NOF，
∴ △OBM≌△OFN ．
　　∴ BM=FN．
　　评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.
　　例2. （黑龙江鸡西）已知∠AOB=900，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．　　　　
　　　　图2-1
　　分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但∠AOC和∠COE的大小不变，都是45°，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.
　　解：图2结论：OD+OE=OC.
证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q．
△CPD≌△CQE，DP=EQ.
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ.
又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C.
∴ OD+OE=0C．
图3结论：OE-OD=OC.
　　评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：
　　1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清变与不变的量；
　　2.再解决这类问题时，我们通常将其转换成全等形求解，根据旋转变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.
一、选择题
1、（2009年泸州）如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P'BA，则∠PBP'的度数是
（　　　　）
2、(2009年陕西省) 如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α的大小可以是 （
3、（2009年桂林市、百色市）如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得 ，则点的坐标为（
　A．（3，1）
B．（3，2）
C．（2，3）
D．（1，3）
4、、（2009年甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等腰梯形
B．平行四边形
C．正三角形
5、（2009年台州市）单词NAME的四个字母中，是中心对称图形的是（　 　）
6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（
A．等腰三角形 B．正三角形 C．等腰梯形
7、如图，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点， 且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：
①△≌△；②△≌△；③；④
其中正确的是（
A．②④；　　
B．①④；　　 C．②③；　　　　D．①③
8、 (2009年四川省内江市)已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O后得到图2，则旋转的牌是（
9、(2009成都)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到0A′，则点A′在平面直角坐标系中的位置是在
　　(A)第一象限
(B)第二象限
(c)第三象限
(D)第四象限
10、（2009年崇左）已知点的坐标为，为坐标原点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得，则点的坐标为（
二、填空题
1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是
2、（2009年衡阳市）点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B，那么点B的坐标是 _________ ．
3、 （2009年枣庄市）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是
4、(2009年抚顺市)如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标是．将绕原点按逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是
三、解答题
1．如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．　　2．正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，证明∠APB=135°．
3、如图P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=
4、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.
(1) ①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
5、如图，△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α。
(0o＜α＜90o)得到△A1B1C1，连结BB1.设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F.
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明
　　(△ABC与△A1B1C1全等除外)；
　　(2)当△BB1D是等腰三角形时，求α；
　　(3)当α＝60o时，求BD的长．
6、（13分） 已知中，为边的中点，
绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、
当绕点旋转到于时（如图1），易证
当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
7．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上.
如图1, 连接DF、BF,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,判断命题:&在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.&是否正确,若正确请说明理由,若不正确请举反例说明;
若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转, 连接DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.
8、将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放.
　　（1）将图1中△DEC绕点C顺时针旋转任意角度，
则 ∠ACB1+∠BCA1=____________
　　（2）、将图1中△绕点C顺时针旋转45°得图2，点与AB的交点。
　　①求出图中△ACP1的各个内角的度数；
　　②求证：；
　　（3）、将图2中△绕点C顺时针旋转30°到△（如图3），点与AB的交点。
　　①求出图中△CP1 P2的各个内角的度数；
　　②线段之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；
　（4）、将图3中线段绕点C顺时针旋转60°到（如图4），连结，求证：⊥AB.
　　9、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．
　　(1)当 EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值
　　(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α&30°（如图②），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；
(3)在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=，△GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；　　　　　　　　　　　　　　　　10、 （海口实验区）在△ABC中，∠ACB=90°，
　　AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
　（1）、当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
　　　求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；　　
　（2）、当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，
求证：DE=AD-BE；
　（3）、当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，
　试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出
　这个等量关系，并加以证明.
11． 已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
　　（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
　　（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
12．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
13、ABC是等腰三角形，，MN为AB上两点，如果，试说明AM、MN、NB可构成一个直角三角形的三条边.
14、已知如图P为正方形ABCD内一点，ABP经过旋转后到达CBQ的位置，（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连结PQ，试判断PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A、P、Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.
15．已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
16．如图○14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4。
　　(1)求点C的坐标；
(2)如图○15，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置，其中A'C交直线OA于点E，A'B'分别交直线OA、CA于点F、G，则除△A'B'C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；(不再另外添加辅助线)
(3)在(2)的基础上，将△A'CB'绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为时，求直线CE的函数表达式。
17、（江苏杨州课改）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
　（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
　（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
　①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
　②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
　③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．　　
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