步骤1：将 化简为右上三角矩阵 其Φ主元为下划线所示即每一行第一个不为0的元素。

在U中有主元1行1列的12行3列的2，共有2个我们称矩阵A的秩(Rank)为2。

矩阵A的秩(Rank) = 消元后主元的个數

自由列意味着该列对应的变量x可取任意值即 和 可取任意值。显然x构成一个零空间，若其中x均为定值则该零空间为一个点；若 和 可取任意值则零空间构成了一个平面，不妨利用 则表示一个平面，平面内的任意一条直线均可利用上述向量线性表出

因此，带入 则获取叻x的两个特解： 和

什么是特解显然特解是x的解（零）空间的一部分（直线），因为x中的 和 可取任意值那么可以用特解（直线）的组合來表示该空间（平面）。

对于m行n列矩阵A它的

令自由变量为0和1得到特解，所有特解的和即为矩阵A的零空间(Null Space)

原矩阵 经初等变换（行变换）所得的右上三角矩阵 还可以进行进一步变换（加入列变换），化为 的形式

这种形式的作用是可以用其求解Ax=0中x的解集----零空间。因为

其中主元对应的列为前两列，自由变量对应的列为第三列则有一个特解