【例3】求幂级数 的收敛域 解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法 当 即 时，级数收敛 当 ，即 时级数发散。 当 时级数为 ，为交错级数收敛 当 时，级数为 为交错级數收敛。 故此幂级数的收敛域为 【例4】求幂级数 的和函数，并求 的和 解：记 求导得 积分得 令 ，则 【例5】* 求幂级数 在收敛区间 内的和函數 分析：由于幂级数 ，通过比较级数 和 的一般项不难发现， 而 ，所以应用给定的幂级数先积分后求导， 就可以利用 进行计算 解：令 对幂级数在区间 内逐项积分，得： 其中 。 再应用逐项积分的方法得： 对 求导得 所以 对 求导得 即 注：本题利用“先导后积”的方法求囷函数数项级数求和 可通过幂级数和函数求得。 二、函数的泰勒级数 1．泰勒级数定义： 称为 在点 的泰勒级数 2．麦克劳林级数定义： 称為 的麦克劳林级数。 3．将函数展开成泰勒级数(幂级数) 直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶 导数写出泰勒展开式。 间接展开法：间接展开法通常要先对函数 进行恒等 变形然后利用已知展式（如函数 ， 的展开式等）或利用和 函数的性质（求导数或积分）將函数展 开成幂级数。解题方法流程图如下图所示 求 的幂级数展开式 关于 的幂级数 对 求导 对 积分 令 将 展成 的 幂级数 求 直接展开法 间接展開式 对 进行恒等变形 能利用已 知展开式 令 令 写出 的 展开式 Yes 关于 的幂级数 No No 解题方法流程图 4．典型例题 【例6】将函数 展开成的 幂级数， 并指出收敛区间 分析：由于 ，如果能把 分解为 的形式那么就可以利用 解：对 进行恒等变形： 已知函数 ，把 和 分别展开 成 的幂级数 而 故 满足 ，即 成立区间为： 注：函数展开成幂级数必须写出收敛区间。 【例7】 将函数 展开成 的幂级数 分析：本题用直接方法展开非常繁琐，用先积分后求导的 间接方法是很难 把展开成 的幂级数所以，只能用 解：因为 而 对 先求导再积分的间接方法展开成 的幂级数 又因为 ，从而積分得 因为幂级数在 处收敛 所以 所以，收敛域为 【例8】* 将函数 展开成 的幂级数。 分析：与上题的解题思路相同对函数 可采用先求 导後积分的方法展开为 的幂级数。 解： * 第八章 无穷级数习题课 常数项级数 一、定义及性质 2．敛散性定义 3．性质 必要性: 线性运算性质: 则级数收斂否则级数发散。 设级数 为常数 则 设 如果 存在， 级数 收敛 1．常数项级数 4．