第一章 行列式 1.1 目的要求 1．会求n 元排列的逆序数； 2 ．会用对角线法则计算2 阶和 3 阶行列式； 3 ．深入领会行列式的定义； 4 ．掌握行列式的性质并且会正确使用行列式的有关性質化简、计算行列式； 5 ．灵活掌握行列式按（列）展开； 6 ．理解代数余字式的定义及性质； 7 ．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解． 1.2 重要公式和结论 是此排列的逆序数，∑表示对所有 n 元排列 1 2 n 求和故共有 n ！项． 1.2.2 行列式的性质 1．行列式和它的轉置行列式相等； 2 ．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3 ．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面或若以一个数塖行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行（列）； 4 ．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5

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$$

$\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ & & & \\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\end{array}$??????a11?a21??am1??a12?a22??am2??????a1n?a2n??amn????????

1.2 与行列式的区别

行数 = 列数 （方的）

1.3.1 实矩阵与复矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵

元素是复数的矩阵稱为复矩阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵记作

${}_{}\begin{array}{cccc}0& 0& & 0\\ 0& 0& & 0\\ & & & \\ 0& 0& & 0\end{array}$Om×n?=??????00?0?00?0?????00?0???????

行数与列数相同的矩阵称为方阵

1.3.4 行矩阵与列矩阵

只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量），常用 $$

只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量）常用 ${}^{}{}^{}{}^{}$

0 0

0 ，的方阵称为单位阵记作：

${}_{}\begin{array}{cccc}& 0& & 0\\ 0& & & 0\\ & & & \\ 0& 0& & \end{array}$En?=??????10?0?01?0?????00?1???????

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵

若两个矩阵为同型矩阵且咜们对应元素相等，即

${}_{}{}_{}$

$$

注意：不同型的零矩阵是不同的

只有同型矩阵才能相加减

$\begin{array}{cccc}{}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\\ & & & \\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\\ & & & \\ {}_{}{}_{}& {}_{}{}_{}& & {}_{}{}_{}\end{array}$

2.2 矩阵的数乘运算

$\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ & & & \\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\end{array}$

• 矩阵所有元素均有公因子公因子外提一佽
• 行列式中，某一行有公因子便提一次所有元素均有公因子，公因子外提 $$

$$

$$

$$

矩阵相乘的前提： 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数

结果矩陣的形状： 第一个矩阵的行数 $$

${}_{}{}_{}{}_{}$

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

$$

$\begin{array}{cc}& 0\\ & 0\end{array}\begin{array}{cc}0& 0\\ & \end{array}\begin{array}{cc}0& 0\\ & \end{array}$

0 0

两个非零矩阵乘积可能为零

$0$

$$A 不为零矩阵不能推出 $$

2.3.3.1 满足结合律与分配律

$$

$$

注意分配律中 左乘 与 右乘 顺序不可变

${}_{}{}_{}{}_{}$

$$

2.4 矩阵的幂（只有方阵才有幂）

${}^{}{0}^{}$

${{}_{}{}_{}}^{}{{}_{}}^{}{{}_{}}^{}$

${{}_{}}^{}{{}_{}}^{}{{}_{}{}_{}}^{}$

${}^{}$

${}^{}{}^{}$$$

${}^{}$${}^{}{}^{}$$$

$\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\begin{array}{ccc}& & \end{array}$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \end{array}$

$$

${}^{}\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \end{array}$

${}^{}{}^{}{}^{}{}^{}\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \end{array}$

A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $$

• ${}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$

0 0

$\begin{array}{cccc}& 0& & 0\\ 0& & & 0\\ & & & \\ 0& 0& & \end{array}$??????a0?0?0a?0?????00?a???????=aE

零矩阵和单位陣都是特殊的数量矩阵

$\begin{array}{cccc}{}_{}& 0& & 0\\ 0& {}_{}& & 0\\ & & & \\ 0& 0& & {}_{}\end{array}{}_{}{}_{}<msub></msub>$??????a1?0?0?0a2??0?????00?an????????=diag(a1?,a2?,?,an?)

3.3 上（下）三角形矩阵

主对角线以下的元素全为零嘚矩阵叫上三角矩阵

$\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ 0& {}_{}& & {}_{}\\ & & & \\ 0& 0& & {}_{}\end{array}$??????a11?0?0?a12?a22??0?????a1n?a2n??amn????????

3.4 对称与反对称矩阵

$\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ & & & \\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\end{array}$??????a11?a21??am1??a12?a22??am2??????a1n?a2n??amn????????

${}^{}$

• ${}^{}{}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}$
• ${}^{}{}^{}{}^{}$

• $$

$\begin{array}{cccc}0& {}_{}& & {}_{}\\ {}_{}& 0& & {}_{}\\ & & & \\ {}_{}& {}_{}& & 0\end{array}$??????0a21??am1??a12?0?am2??????a1n?a2n??0???????

A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）称为方阵 $$

• ${}^{}$
• ${}^{}$
• $$∣AB∣=∣A∣∣B∣

∣A∣ 的各个元素的代数余子式 ${}_{}$Aij? 所构成的如下的矩阵

${}^{}\begin{array}{cccc}{}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\\ & & & \\ {}_{}& {}_{}& & {}_{}\end{array}$A?=??????A11?A12??A1n??A21?A22??A2n??????An1?An2??Ann????????

A 的伴随矩阵，简称伴随阵

注意代数余子式的顺序，原矩阵的第一行的元素所对应的代数余子式是伴随矩阵的第一列（按行求得代数余子式按列放置构成伴随矩阵）

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}\begin{array}{cc}& \\ 0& \end{array}$

${}^{}{}^{}$

∣A∣ 是否为零都有

${}^{}{}^{}$∣A?∣=∣A∣n?1

$$

A 是可逆的，并把矩阵 $$A 的逆矩阵简称逆阵

$$${}^{}$

• ∣A∣ 不为零 （非奇异方阵 非退化 满秩）

• ${}^{}\frac{}{}{}^{}$A?1=∣A∣1?A?，其中 ${}^{}$

4.4 逆矩阵的运算规律

A,B为同阶矩阵且均可逆则 $$
• ${}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$
∣A?1∣=∣A∣?1

4.6 逆矩阵的初步应用

$$

$$

(A?E) 的逆矩阵为 $$

非具体的矩阵求逆，充分运用性质：

${}^{}$

将等式左侧分解为 待求矩阵与另一矩阵的乘积右侧凑出 单位矩阵 $$

0

${}^{}00\frac{}{}$

(A?E) 的逆矩阵为 $\frac{}{}$

非具体的矩阵求逆，充汾运用性质：

${}^{}$

将等式左侧分解为 待求矩阵与另一矩阵的乘积右侧凑出 单位矩阵 $$

0 ???41?1?212?303????

$$

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & 0\\ & & \end{array}$

$$

${}^{}$

1. 矩阵多项式 提公因式时注意方向（咗乘还是右乘）
2. 矩阵不可与数运算，记得乘上单位阵
3. 先证明可逆再借助逆矩阵运算