二、改进的Euler方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler公式求得一个初步的近似值,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得,即将校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler方法: 预测: 校正: (1.15) 这个计算公式也可以表示为 例1 取步长分别用Euler方法及改进的Euler方法求解初值问题 解 这个初值问题的准确解为. 根据题设知 (1) Euler方法的计算式为 由, 得 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. (2) 改进的Euler方法的计算式为 由得 這样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Euler方法 从表9.1可以看出,Euler方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler方法的精度比Euler方法高. 例2 试用Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法在不同步长下计算初值问题 在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值并比较它们的数值结果. 解 对上述彡种方法,每执行一步所需计算的次数分别为1、2、4。为了公正起见上述三种方法的步长之此应为。因此在用Euler方法、改进的Euler方法及四阶经典R-K方法计算0。2、04、0。8、10处的近似值时，它们的步长应分别取为005、0。1、02，以使三种方法的计算量大致相等 Euler方法的计算格式为 改进嘚Eluer方法的计算格式为 四阶经典R-K方法的计算格式为 从表9.2可以看出，在计算量大致相等的情况下Euler方法计算的结果只有2位有效数字，改进的Euler方法计算的结果有3位有效数字而四阶经典R-K方法计算的结果却有5位有效数字，这与理论分析是一致的例1和例2的计算结果说明，在解决实际問题时选择恰当的算法是非常必要的。 需要指出的是Runge-Kutta方法的基于Taylor展开法因而要求解具有足够的光滑性。如果解的光滑性差使用四阶Runge-Kutta方法求得数值解的精度，可能不如改进的Euler方法精度高因此，在实际计算时要根据具体问题的特性，选择合适的算法 一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分 所确定的函数y在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题 其中h=0.5其向前欧拉格式为 改进欧拉格式为 将两种计算格式所得结果列于下表 向前欧拉法 改进欧拉法 0 0 0 0 1 0.5 0.5 0..0 0.37 3 1.5 1.69 二、应用4