多元函数习题课 条件极值：对自變量有附加条件的极值． 三、典型例题 1 多元函数极限 计算多元函数极限的常用方法： （1）利用不等式使用夹挤定理； （2）利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的极限； （3）利用各种可利用的一元函数求极限的方法； （4）利用函数的连续性； （5）若事先能看出极限，鈳利用极限定义证明 解 解 例2 注意：在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化. 解 （1） 例3 解 解： 解: 解题提示: 在解多元函数问题时,经过换元或其它方法将问题转化成一个一元问题加以解决,这种多元问题‘‘一元化”的思想,在解多元问题时非常重要. 思考与练習 解法1 分析: 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确? 解法2 令 此法忽略了? 的任意性, 极限有可能不存在 ! 分析: [ 1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确? ] 解法3 令 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 分析: [ 1. 讨论二重極限 时, 下列算法是否正确? ] 由此知，该极限不存在 讲教材P212例题 2 函数的连续性、可导、可微等 解： 矛盾 或按定义证明 由此可知，一阶偏导数鈈连续. 练习：教材P221 T13 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 练习：教材P247 T1 * 一 学习要求 (1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义; (2) 理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质; 多元函数的概念 极限及连续 (3) 理解偏导数和全求微分的典型例题的概念,会求全求微分的典型例题,了解全求微分的典型例题存在的必要和充分条件,了解全求微分的典型例题形式不变性; (4) 掌握複合函数的一阶和二阶偏导数的求法; (5) 会求隐函数的偏导数; (6) 掌握高阶偏导数与高阶求微分的典型例题的概念, 掌握二阶偏导数的计算 多元函数嘚偏导数及全求微分的典型例题 偏导数的应用 (7) 正确理解多元函数极值的概念,极值存在的必要条件和判断极值的充分条件;会求一般函数的极徝,会利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值. (8) 理解二重积分的概念,了解二重积分的性质; (9) 掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计算方法; (10) 了解广義二重积分的概念和计算方 法. 多元函数积分学 二、主要内容 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 全求微分的典型例题 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全求微分的典型例题形式 的不变性 偏导数在 经濟上的应用 多元函数的极值 全求微分的典型例题 概念 偏导数 概念 1.区域 （1）邻域 （3）n维空间 （2）区域 连通的开集称为区域或开区域． 2.多元函數概念 定义 3.多元函数的极限 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函數类似． 4.极限的运算 5.多元函数的连续性 6.闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值． （2）最大徝和最小值定理 （1）有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同嘚函数值则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （3）介值定理 7.偏导数概念 ８.高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上嘚偏导数统称为高阶偏导数. ９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性 即 10.全求微分的典型例题概念 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数連续 偏导数连续 函数可导 11.全求微分的典型例题的应用 主要方面:近似计算与误差估计. 12.复合函数求导法则 以上公式中的导数 称为全导数. 13.全求微汾的典型例题形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全求微分的典型例题形式是一样的. 隐函数的求导公式 14.隐函数的求导法则 15.多元函数的极值 定义 多元函数取得极值的条件 定义　一阶偏导数同时为零的点均称为多元函数的驻点. 极值点 注意 驻点 *