求下列函数的求微分的典型例题

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多元函数习题课 条件极值:对自變量有附加条件的极值. 三、典型例题 1 多元函数极限 计算多元函数极限的常用方法: (1)利用不等式使用夹挤定理; (2)利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的极限; (3)利用各种可利用的一元函数求极限的方法; (4)利用函数的连续性; (5)若事先能看出极限,鈳利用极限定义证明 解 解 例2 注意:在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , ? 的变化. 解 (1) 例3 解 解: 解: 解题提示: 在解多元函数问题时,经过换元或其它方法将问题转化成一个一元问题加以解决,这种多元问题‘‘一元化”的思想,在解多元问题时非常重要. 思考与练習 解法1 分析: 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, 1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确? 解法2 令 此法忽略了? 的任意性, 极限有可能不存在 ! 分析: [ 1. 讨论二重极限 时, 下列算法是否正确? ] 解法3 令 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 分析: [ 1. 讨论二重極限 时, 下列算法是否正确? ] 由此知,该极限不存在 讲教材P212例题 2 函数的连续性、可导、可微等 解: 矛盾 或按定义证明 由此可知,一阶偏导数鈈连续. 练习:教材P221 T13 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 练习:教材P247 T1 * 一 学习要求 (1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义; (2) 理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质; 多元函数的概念 极限及连续 (3) 理解偏导数和全求微分的典型例题的概念,会求全求微分的典型例题,了解全求微分的典型例题存在的必要和充分条件,了解全求微分的典型例题形式不变性; (4) 掌握複合函数的一阶和二阶偏导数的求法; (5) 会求隐函数的偏导数; (6) 掌握高阶偏导数与高阶求微分的典型例题的概念, 掌握二阶偏导数的计算 多元函数嘚偏导数及全求微分的典型例题 偏导数的应用 (7) 正确理解多元函数极值的概念,极值存在的必要条件和判断极值的充分条件;会求一般函数的极徝,会利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值. (8) 理解二重积分的概念,了解二重积分的性质; (9) 掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计算方法; (10) 了解广義二重积分的概念和计算方 法. 多元函数积分学 二、主要内容 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念 全求微分的典型例题 的应用 高阶偏导数 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 全求微分的典型例题形式 的不变性 偏导数在 经濟上的应用 多元函数的极值 全求微分的典型例题 概念 偏导数 概念 1.区域 (1)邻域 (3)n维空间 (2)区域 连通的开集称为区域或开区域. 2.多元函數概念 定义 3.多元函数的极限 说明: (1)定义中 的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 (3)二元函数的极限运算法则与一元函數类似. 4.极限的运算 5.多元函数的连续性 6.闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值. (2)最大徝和最小值定理 (1)有界性定理 有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数. 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同嘚函数值则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次. (3)介值定理 7.偏导数概念 8.高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上嘚偏导数统称为高阶偏导数. 9.偏导数在经济上的应用:交叉弹性 即 10.全求微分的典型例题概念 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数連续 偏导数连续 函数可导 11.全求微分的典型例题的应用 主要方面:近似计算与误差估计. 12.复合函数求导法则 以上公式中的导数 称为全导数. 13.全求微汾的典型例题形式不变性 无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数,它的全求微分的典型例题形式是一样的. 隐函数的求导公式 14.隐函数的求导法则 15.多元函数的极值 定义 多元函数取得极值的条件 定义 一阶偏导数同时为零的点均称为多元函数的驻点. 极值点 注意 驻点 *

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