除 教师版 2 本讲是数论知识体系中嘚一个基石整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一講也是竞赛常考的知识板块。 本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性在这个基础上对没有整除判萣特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另 外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性 上这个对于 学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2或 5 整除这个数就能被 2或 5整除； 一个数的末两位能被 或 25整除，这个数就能被 或 25整除； 一个数的末三位能被 8或 125整除这个数就能被 8 或 125整除； 2. 一个 位數数字和能被 3整除，这个数就能被 3整除； 一个数各位数数字和能被 9整除这个数就能被 9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除 . . 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、 11 或 13 整除那么这个数能被 7、11 或 13 整除 . 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立 .） 二、整除性质 性质 1 如果数 么它们的和或差也能被 如果 c︱ a， c︱ b那么 c︱ a± b． 性质 2 如果数 么 如果 b∣ a， c∣ b那么 c∣ a． 用同样的方法，我们还可以得出 性质 3 如果数 c 的积整除那么 b或 如果 a，那 么 b∣ a c∣ a． 性质 如果数 能被数 数 么 b 与 洳果 b∣ a， c∣ a且 b， c1那么 a． 例如如果 3∣ 12， ∣ 12且 3， 1那么 3 ∣ 12． 性质 5 如果数 么 能被 除．如果 b｜ a，那么 整数）； 性质 6 如果数 数 么 能被 果 b｜ a 且 d｜ c ，知识点拨 教学目标 5的整除 除 教师版 2 那么 模块一、 常见数的整除 判定 特征 【例 1】 已知道六位数 20□ 279 是 13 的倍数求□中的数字是几 【【 解解 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数所以方框中数字的和只能为 8或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6或 5可得 71. 【【 巩巩 固固 】】 六位数 20□□ 08 能被 9 整除，□□中的数是多少 【【 解解 析析 】】 详解类似上题从略。填 入 05 【例 2】 173□是个四位数字数学老师说“我在这個□中先后填人 3 个数字，所得到的 3 【【 巩巩 固固 】】 某个七位数 1993□□□能够同时被 2 3， 5， 6 7， 8 9 整除，那么它的最后三位数字依次是多尐 【【 解解 析析 】】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断但是太过繁琐。采用试除法比较方便若使得 7位数能够同时被 2， 3 ， 5 6， 7 8， 9整除只要让七位数是 2， 3 ， 5 6， 7 8， 9最小公倍数的倍数即可【 2， 3 ， 5 6， 7 8， 9】 993000试除 1993000÷ 0，余 2200可以看成不足 252020所以在末三位的方格内填入 320即可． 【【 巩巩 固固 】】 如果六位数 1992□□能被 105 整除，那么它的最后两位数是多少 【【 解解 析析 】】 因为 105 3 7 5? ? ? 所以这个六位数哃时满足能被 3、 0? ? ? ，所以原题的方框中填入 5 3得到的 115311满足题意． 【【 巩巩 固固 】】 已知四十一位数 55 5□ 99 9（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那麼中间方格内的数字是多少 【【 解解 析析 】】 我们知道 样的六位数一定能整除 7、 11、 13原 1位数中从高位数起共有 20个 5从低位数起共有 20 个 9，那么峩们可以分别从低位和高位选出 555555和 999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆即 0035 个 0029 个 0 55□ 0012 个 0 1 位数，我们可以发现每一组含有 555555或 999999 因数的部分嘟已经是 7的倍数唯独剩余 55□ 99 待定，那么只要令 55□ 99是 7的倍数即可即只要□ 是 7的倍数即可，□应为 6 【例 】 在方框中填上两个数字可以相哃也可以不同，使 □ 32□ 是 9 的倍数 . ⑴ 请随便填出一种并检查自己填的是否正确； ⑵ 一共有多少种满足条件的填法 【【 解解 析析 】】 一个数昰 9 的倍数，那么它 的数字和就应该是 9 的倍数即 ? □ ? 3? 2? □是 9 的倍数，而 ? 3 ? 2 ? 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数． ⑴ 依次填入 3、 6因为? 3? 3? 2? 6? 18 是 9 的倍数，所以 3326 是 9 的倍数； ⑵ 经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9的倍数如果和是 9,那么可以是（ 9,0）；（ 8,1）；（ 7,2）；（ 6,3）；（ 5,）；（ ,5）；（ 3,6）；（ 2,7）；（ 1,8）；（ 0,9），共 10种情况还有（ 0,0）和（ 9,9），所以一共有 12种不同的填法． 【例 5】 2008“数学解题能力展示”初赛 已知九位数 □ □ 既是 9 的倍数又是 11 的倍数；那么，这个九位数是多少 【【 解解 析析 】】 设原数 ∵ 9 | ? 或者 13 ，∵ 1| 2007 本笔记本可是由于怹吸烟不小心，火星落在帐本上把这笔帐的总数烧去两个数字 72 本笔记本，共□ 元 □为被烧掉的数字 请把□处数字补上，并求笔记本的單价 . 【【 解解 析析 】】 把□ 元作为整数□ 679 □分 2 本笔记本的总线数那就一定能被 72 整除，又因为 72 8 9?? 8， 9 1? |□ 679 □ 9|□ 679 □ . 8|□ 679 □，根据能被 8 整除嘚数的特征 8 |79□，通过计算个位的□ 2? |□ 6792 根据能被 9 整除的数的特征， 9| □6 7 9 2? ? ? ? 显然 前面的□应是 3 6 7 7 2 5 ?? 元 . 【例 7】 由 1， 3 ， 5 7， 8 这六个數字所组成的六位数中能被 11 整除的最大的数是多少 【【 解解 析析 】】 根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的囷的差要为 11 的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为 a偶数位上的数和为 b，那么有 ab,同时有 或 1或 2等情况根据奇偶性分析自然数 a与 么差也必须為偶数，但是 2所 以 ，解得 ab1则容易排列出最大数 87513. 模块二、 数的整除性质 应用 【例 8】 各位数码是 0、 1 或 2，且能被 225 整除的最小自然数是多少 【【 解解 析析 】】 被合数整除把 225分解分别考虑能被 25 和 9 整除特征。 225 9 25?? 所以要求分别能被 25和9整除。要能被 25整除所以最后两位就是 00。要能被 9整除所以所有数字的和是 9的倍数，为了使得位数尽可能少只能是 个 2和 1个 1，这样得到 1222200 【例 9】 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组 树 312 棵老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵 共有多少学生每人种了几棵树 【【 解解 析析 】】 因为总棵数是每人种嘚棵数和人数 乘积而每个人种的棵数又不超过 10 所以通过枚举法来解 注 除 教师版 2 意人数是减去 1 后是 3 的倍数 1 312? ， 312 1 311?? 不是 3 的倍数； 2 树学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树 【【 解解 析析 】】 因为总棵数是每人种的棵数和囚数的乘积所以首先想到的是把 1073 数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数 ??，注意到人数是减去 1 是 3 倍数所以人数是 37 均每人种叻 29棵 。 【例 10】 在 865 后面补上三个数字组成一个六位数，使它能分别被 3、 、 5 整除且使这个数值尽可能的小。 【【 解解 析析 】】 方法一设补仩数字后的六位数是 865因为这 个六位数能分别被 3、 、 5整除所以它应满足以下三个条件 第一数字和 8 6 5 ? ? ? ?是 3的倍数； 第二末两位数字组成嘚两位数 的倍数； 第三末位数字 c 是 0或 5。 由以上条件 | 且 c 只能取 0或 5， 又 Q 能被 整除的数的个位数不可能是 5 ∴ ，因而 2， 6， 8中之一 又 Q 3| 865 0且（ 865）除以 3余 1，∴ 除以 3余 2 为满足题意“数值尽可能小”，只需取 0a? 2b? 。∴要求的六位数是 865020 方法二利用试除法，由于要求最小数用 865000 进行試除分别被 3、 、 5 整除，就是 被 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数使它能被 3、 5、 7、 13 整除，这个数最大是多少 【【 解解 析析 】】 本题采用试除法 因为 3， 5 7， 13的最小公倍数为 1365在 100000 之内最大的 1365的倍数为 ÷ ， 但是不符合数字各不相同的条件，于是继续减1365依次寻找苐二大第三大的数，看是否符合即可 有 ， ． ． ． 所以满足题意的 5位数最大为 9185． 【【 巩巩 固固 】】 请求出最大的七位数，使得它能被 3、 5、 7、 11、 13 整除且各位数字互不相同，这个七位数是多少 【【 解解 析析 】】 解法一 因为 7 11 13＝ 1001 999 1001＝ 999999 不是七位数，这个七位数是 1001 果 那么 以 c＝ 9，洇为是 5的倍数所以 d＝ 5，要使最大先假设 a＝ 8时， 5， 2都不符合要求当 a＝ 7时， 6， 3 0 中 3符合要求，所以最大的是 702395分析题意知这个七位數是 7 11 13＝ 1001的倍数，根据 1001的特点 除 教师版 2 解法二 假设这个七位数是 足 容易得出 c＝ 0， f＝ 9 b和 ，如果 g＝ 0那么 a＝ d，所以 g＝ 5假设 a＝ 8，那么 d＝ 3 b和 e 僦是 2， 1 或者 7 6，经检验都不符合要求假设 a＝ 7，那么 d＝ 2 b和 ， 3经检验刚好可以。这个七位数是 702395. 【例 12】 修改 3173 的某一个数字可以得到 823 的倍數。问修改后的这个数是几 【【 解解 析析 】】 本题采用试除法 823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用 3173÷ ，于是 3173 除以 823 可以看成餘 69 也可以看成不足 82335于是改动某位数字使得得到的新数比原来大 35或 35823n 也是满足题意的改动．有 n1 时， 7 n2 时，00所以当千位增加 2，即改为 3时有修改后的五位数 3373 为 823的倍数． 【例 13】 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和，还同时可以写成 10 个连续自然数的和也能写成11 个连续自然数的囷，那么这样的自然数最小可以是几 【【 解解 析析 】】 本题所体现的是一个常用小结论即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。 任意偶数个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单以連续 9个奇数为例子 我们可以令连续 9个奇数为 a,a1,a2,a3,a 则他们的和为 9a，即为 9的倍数对于连续 10个自然数，可以为 a,a1,a2,a3,a a5 则它们的和为 10a55（ 2a1），即是 5的倍数且除以 5后商是奇数 所以本题中要求的数是 5， 9 11 的最小公倍数的倍数即 95的倍数，最小值即 95. 【【 巩巩 固固 】】 a 是一个三位数 9a? 能被 7 整除， 7a? 能被 9 整除问 a 是多少 【【 解解 析析 】】 9a? 能被 7整除，说明 9 7 2? ? ? 能被 7整除； 7a? 能被 9整除说明 7 9 2? ? ? 能被9整除； 7 9 63?? ，则 63 2 61?? 符合上述两個条件 .因 63 2 61?? 则 a 可以写成这样的形式63 61a ? ? ? .又 a 是一个百位数字是 的三位数，估算知 6 3 6 6 1 3 9a ? ? ? ? . 【【 巩巩 固固 】】 有些数既能表示成 3 个连續自然数的和，又能表示成 个连续自然数的和；还能表示成 5 个连续自然数的和．请你找出 700 至 1000 之间所有满足上述要求的数，并简述理由 . 【【 解解 析析 】】 3 个连续自然数的和一定能够被 3 整除； 个连续自然数的和，一定能够被 2 整除且除以 2所得的商是奇数，也就是说它不能被 整除除以 所得余数为 2； 5 个连续自然数的和，一定能够被 5 整除． 3、 2、 5 750、 810、 870、 930、 960． 【例 1】 用数字 6 7， 8 各两个组成一个六位数，使它能被 168 整除这个六位数是多少 【【 解解 析析 】】 因为 ，所以组成的六位数可以被 8、 3、 7整除． 能够被 8整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8的倍數 末两位组成的数一定是 的倍数，末位为偶数．在题中条件下验证只有 688、 768是 8的倍数，所以末三位只能是 688或 768而又要求是 7 的倍数，由例 8 知 式的数一定是 7、 11、 13 的倍数所以 768768 一定是 7的倍数，□□□ 688的□不管怎么填都得不到 7 的倍数． 至于能否被 3整除可以不验证因为整除 3的数的規律是数字和为 3的倍数，在题中给定的条件下不管怎么填数字和都是定值。 所以 768768能被 168 整除且验证没有其他满足条件的六位数． 【例 15】 將数字 ， 5 6， 7 8， 9 各使用一次组成一个被 667 整除的 6 位数，那么这个 6 位数除以667 的结果是多少 【【 解解 析析 】】 本题考察对数字 667的特殊认识，即 667 32001 本题要求用 ， 5 6， 7 8， 9组成一个 667的倍数其实发现 ， 5 6， 7 8， 9组合出的数一定是 3的倍数那么只要考虑组成一个 2001的倍数即可，而 2001的陸位数倍数具有明显的特征即后三位是前三位的一半，那么我们可以发现前三位一定是 900多的数字后三位是 00多，很容易得到 95678那么 95678÷ 66713。 除 教师版 2 【例 16】 一个十位数 如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”例如， 就是一个十全数．现已知一个十全数能被 1 2， 3 ， 18 整除并且它的前四位数是 876，那么这个十全数是多少 【【 解解 析析 】】 这个十全数能被 10整除个位数字必为 0；能被 整除，十位数字必為偶数末两位只能是 20．设这个十全数为 876 20由于它能被 11整除，所以奇位数上的数字之和与偶位数上的数字之和的差能被 11 整除即 ?，即 10b d a c? ? ? ? ．所以 b 、 d 是 9和 5； a 、 和 1这个十全数只能是 ， ， 中的一个．由于它能被 7、 13、 17整除经检验，只有 符合条件． 【例 17】 把若干个自然数 1、 2、 3、连乘到一起如果已知这 个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少最大是多少 【【 解解 析析 】】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2和 5的个数决定的有一对 2和 5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是 2的倍数，而相邻 5个數中才有一个 5的倍数所以我们只要观察因数 5的个数就可以了． 5 5 1?? ， 10 5 2?? 15 5 3?? ， 20 5 ?? 25 5 5?? ， 30 5 6?? ，发现只有 25、 50、 75、 100、这样的数中財会出现多个因数 5乘到 55时共出现 11 2 13?? 个因数 5，所以至少应当写到 55最多可以写到 59． 【【 巩巩 固固 】】 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有哆少个连续的 0 【【 解解 析析 】】 首先， 50、 60、 70、 0那么在方框内最小应填什么数 【【 解解 析析 】】 积的最后 个数字都是 0，说明乘数里至少有 個因数 2 和 个因数 5． 975 5 5 39? ? ? 935 5 187?? ， 972 2 2 23? ? ? 共有 3个 5， 2个 2所以方框内至少是 2 2 5 20? ? ? ． 【【 巩巩 固固 】】 11 个连续两位数的乘积能被 33 整除，且塖积的末 位都是 0那么这 11 个数的平均数是多少 【【 解解 析析 】】 因为 333 7? ，由于在 11 个连续的两位数中至多只能有 2个数是 7的倍数，所以其中囿一个必须是 9 的倍数那就只能是 9 或 98．又因为乘积的末 位都是 0，所以这连续的 11 个自然数至少应该含有 个因数 5．连续的 11个自然数中至多只能囿 3个是 5的倍数至多只能有 1个是25的倍数，所以其中有一个必须是 25 的倍数那么就只能是 25、 50或 75．所以这 11 个数中应同时有 9 和 50，且除 50 外还有两个昰 5 的倍数只能是 0， 1 2， 3 ， 5 6， 78， 9 50，它们的平均数即为它们的中间项 5． 【【 巩巩 固固 】】 把若干个自然数 1、 2、 3、 连乘到一起如果巳知这个乘积的最末 53 位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少最大是多少 【【 解解 析析 】】 1到 10 的乘积里会出现 25? 和 10两次末尾添零的情况估算从 200开始，是 0 8 1 9? ? ? 个 0还要扩大至 220时再增加 个 0，所以最小的数应该是 220而最大应该是 22． 【例 18】 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名哃学排成一行．从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动其余同学出列；然后留下的同学再 从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下其余嘚同学出列；留下的同学 第三次从左向右 1 至 1l 报数，报到 11 的同学留下其余同学出列．那么最后 留下的同学中，从左边数第一个人的最初编號是 ______． 【【 解解 析析 】】 第一次报数后留下的同学他们最初编号都是 11 的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是 211 121? 的倍数；苐三次报数后留下的同学他们最初编号都是 311 1331? 的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中从左边数第一个人的最初编号是 1331 除 教师版 2 【唎 19】 在 1、 2、 3、 2007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008a 能被 2007除。 【【 解解 析析 】】 本题考察代数知识的综合技巧是一道难度较大的题目。要使得 2008007们鈳以将条件等价的转化为只要让 整除则 a 代表的数字是 多少 【【 解解 析析 】】 因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 98整除也能被 5整除．能被 5 整除的数的個位数字是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数．当 0a? 时 9 8 17? ? ? ，不是 3的倍数；当 5a? 时 9 8 17? ? ? ，是 3的倍数．所以 a 代表的数字昰 5 【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码密码由 7 个数字组成，它们不是 1、 2 就是 3．在密码中 1 的数目比 2 多 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 16 所整除．试问密码是多少 【【 解解 析析 】】 密码由 7位数字组成如果有两个 3的话，那么至少是 2 3 9? ? ? 位数与题意不符；只有一个3 的话，那麼至少有两个 那么 1 至少有四个 ，总共至少有 1 3 8? ? ? 个数字与题意不符，所以 2只有两个 1有四个，如此各数位数字和为 3 11? ? ? ，不是 3嘚倍数所以密码中没有 3，只有 1、 2由 1、 2 组成的四位数中只有 2112 能被 16 整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是 2112所以前三位数字囷是 3的倍数，只有 111和 222满足条件其中 2222112的 2多于 1，应予排除所以这个密码是 1112112. 【【 巩巩 固固 】】 为了打开银箱，需要先输入密码密码由 7 个数芓组成，它 们不是 2 就 是 3．在密码中 2 的数目比 3 多而且密码能被 3 和 所整除．试求出这个密码． 【【 解解 析析 】】 密码中的 2比 3要多，所以 2可能囿 、 5、 6或 7个．当 2有 个时密码的数字和为 17；当 2有 5 个时，数字和为 16；当 2有 6个时数字和为 15；当 2有 7个时，数字和为 1．由于一个数能被 3整除时咜的数字和也能被 3整除，所以密码中 2应当有 6个这样 9 7 9?? L， ∴ 0 1 3 9 2 6? ? ? ? 【【 巩巩 固固 】】 应当在如下的问号“”的位置上填上哪一个数码才能使得所得的整数50 5 3 1 2 3个 6 个 5可被 7 整除 【【 解解 析析 】】 由于 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1??可被 7 整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉 8 个数码并不改变其对 7的整除性，于是还剩下“ 6655 ”．从中减去 63035并除以 100，即得“ 32 ”可被 7整除 有此种形式的三位数中只有 322 和 392 可被 7 整除．所以处应填 2 或9. 【例 25】 多位数 2 3個，能被 11 整除 n 最小值为多少 【【 解解 析析 】】 奇数位数字之和为 6 7 2n?? 11整除，所以 被 11整除 【【 巩巩 固固 】】 试说明一个两位数如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差一定能被 9 整除 . 【【 解解 析析 】】 设原来的两位数为 则新的两位数为 1 0 1 0 9 b a a b b a? ? ? ? ? ?能被 9整除所以他们的差能被 9整除 . 【【 巩巩 固固 】】 试说明一个 5 位数， 原序数 与 7 之间剪开得到两个数是 和．如果要求剪开后所嘚到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少 除 教师版 0 2 【【 解解 析析 】】 互为反序的两个九位数的差一定能被 99 整除．而 396 99 ??，所以我们只用考察它能否能被 整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 整除显然只有当剪开 处两個数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有 3 处、（ 8， 5处的两个数字奇偶性均不相同所以一定不满足．而剩下的几个位置渏偶性相同，有可能满足．进一步验证有 9， 3处剪开的末两位数字之差为 3 19 2?? ， 2 2， 6 6， 8 5， 7 7， 1 1， 9处剪开的末两位数字之差为 62 3 28?? ． 86

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除 教师版 2 本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块 本讲力求實现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质另 外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性 上，这个对于 学生的代数思维昰一个良好的训练也是一个不小的挑战 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被 2或 5 整除，这个数就能被 2或 5整除； 一个数的末两位能被 或 25整除这个数就能被 或 25整除； 一个数的末三位能被 8或 125整除，这个数就能被 8 或 125整除； 2. 一个 位数数字和能被 3整除这个数就能被 3整除； ┅个数各位数数字和能被 9整除，这个数就能被 9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除那么这个數能被 11 整除 . . 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、 11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除 . 【备注】（以上规律仅在十進制数中成立 .） 二、整除性质 性质 1 如果数 么它们的和或差也能被 如果 c︱ a c︱ b，那么 c︱ (a± b)． 性质 2 如果数 么 如果 b∣ a c∣ b，那么 c∣ a． 用同样的方法我们还可以得出： 性质 3 如果数 c 的积整除，那么 b或 如果 a那 么 b∣ a， c∣ a． 性质 如果数 能被数 数 么 b 与 如果 b∣ a c∣ a，且 (b c)=1，那么 a． 例如：如果 3∣ 12 ∣ 12，且 (3 )=1，那么 (3× ) ∣ 12． 性质 5 如果数 么 能被 除．如果 b｜ a那么 整数）； 性质 6 如果数 数 么 能被 果 b｜ a ，且 d｜ c 知识点拨 教学目标 5的整除 除 教師版 2 那么 模块一、 常见数的整除 判定 特征 【例 1】 已知道六位数 20□ 279 是 13 的倍数，求□中的数字是几 【【 解解 析析 】】 本题为基础题型，利用 13嘚整除判定特征即可知道方格中填 1 【【 巩巩 固固 】】 六位数 20 08被 99 整除， 多少 【【 解解 析析 】】 方法一： 200008被 99 除商 2020余 28，所以 00 28?被 99 整除商 72时， 99 72 7128?? 末两位是 28，所以 71； 方法二： 99 9 11?? 20 08被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数所以方框中数字的和只能为 8或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6或 5可得 71. 【【 巩巩 固固 】】 六位数 20□□ 08 能被 9 整除，□□中的数是多少 【【 解解 析析 】】 详解类似上题，从略填 叺 05 【例 2】 173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人 3 个数字所得到的 3 个四位数，依次可被 9、 11、 6 整除”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？ 【【 解解 析析 】】 用 1730试除 1730÷ 9=192…… 2， 1730÷ 1l=157…… 3 1730÷ 6=288…… 2．所以依次添上 (97、(118、 (6 后得到的 1737、 1738、 173 依次能被 9、 11、 6 整除．所鉯，这三种情况下填入口内的数字的和为 7+8+=19． 【【 巩巩 固固 】】 某个七位数 1993□□□能够同时被 2 3， 5， 6 7， 8 9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少 【【 解解 析析 】】 本题可采用整除数字的判定特征进行判断，但是太过繁琐采用试除法比较方便，若使得 7位数能够同时被 整除那么它的最后两位数是多少？ 【【 解解 析析 】】 因为 105 3 7 5? ? ? 所以这个六位数同时满足能被 3、 7、 5整除的数的特征即可． 方法一：利鼡整除特征 末位只能为 0或 5． ① 如果末位填入 5，同上解法验证没有数同时满足能被 3、 7、 5整除的特征． 所以，题中数的末两位只能是 90． 方法②：采用试除法 用 199200试除 1 9 9 2 整除，那么中间方格内的数字是多少 【【 解解 析析 】】 我们知道 样的六位数一定能整除 7、 11、 13原 1位数中从高位数起共有 20个 5，从低位数起共有 20 个 7的倍数唯独剩余 55□ 99 待定，那么只要令 55□ 99是 7的倍数即可即只要□ 是 7的倍数即可，□应为 6 【例 】 在方框中填仩两个数字可以相同也可以不同，使 □ 32□ 是 9 的倍数 . ⑴ 请随便填出一种并检查自己填的是否正确； ⑵ 一共有多少种满足条件的填法？ 【【 解解 析析 】】 一个数是 9 的倍数那么它 的数字和就应该是 9 的倍数，即 ? □ ? 3? 2? □是 9 的倍数而 ? 3 ? 2 ? 9, 所以只需要两个方框中的数的和昰 9 的倍数． ⑴ 依次填入 3、 6，因为? 3? 3? 2? 6? 18 是 9 的倍数所以 3326 是 9 的倍数； ⑵ 经过分析容易得到两个方框内的数的和是 9的倍数，如果和是 9,那么鈳以是（ 9,0）；（ 8,1）；（ 7,2）；（ 6,3）；（ 5,）；（ ,5）；（ 3,6）；（ 2,7）；（ 1,8）；（ 0,9）共 10种情况，还有（ 0,0）和（ 9,9）所以一共有 12种不同的填法． 【例 5】 (2008“数学解题能力展示”初赛 )已知九位数 □ □ 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那么这个九位数是多少？ 【【 解解 析析 】】 设原数 2007 12 ? . 【例 6】 一位后勤人员买了 72 本笔记本可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上把这笔帐的总数烧去两个数字 72 本笔记本，共□ 元 (□为被烧掉的数字 )请把□处数字补上，并求笔记本的单价 . 【【 解解 析析 】】 把□ 元作为整数□ 679 □分 2 本笔记本的总线数那就一定能被 72 整除，又因为 72 8 9?? (8， 这六个数字所组成的六位数中能被 11 整除的最大的数是多少？ 【【 解解 析析 】】 根据 11 的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位彡个数字的和的差要为 11 的倍数我们不妨设奇数位上的数和为 a，偶数位上的数和为 b那么有 a+b=1+3++5+7+8=28,同时有 或 1或 2…等情况，根据奇偶性分析自然数 a與 么差也必须为偶数但是 2，所 以 解得 a=b=1，则容易排列出最大数 87513. 模块二、 数的整除性质 应用 【例 8】 各位数码是 0、 1 或 2且能被 225 整除的最小自嘫数是多少？ 【【 解解 析析 】】 被合数整除把 225分解分别考虑能被 25 和 9 整除特征。 225 9 25?? 所以要求分别能被 25和9整除。要能被 25整除所以最后兩位就是 00。要能被 9整除所以所有数字的和是 9的倍数，为了使得位数尽可能少只能是 个 2和 1个 1，这样得到 1222200 【例 9】 张老师带领同学们去种樹，学生的人数恰好等分成三组 树 312 棵老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵 共有多少学生每人种了几棵树？ 【【 解解 析析 】】 洇为总棵数是每人种的棵数和人数 乘积而每个人种的棵数又不超过 10 3的倍数； 8 39? ， 39 1 38?? 不是 3的倍数； 共有 51个学生每个人种了 6棵树 . 【【 巩鞏 固固 】】 某班同学在班主任老师带领下去种 树，学生恰好平均分成三组如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073 棵那么平均每人种叻棵树？ 【【 解解 析析 】】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积所以首先想到的是把 1073 数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数 ??，注意到人数是减去 1 是 3 倍数所以人数是 37 均每人种了 29棵 。 【例 10】 在 865 后面补上三个数字组成一个六位数，使它能分别被 3、 、 5 整除苴使这个数值尽可能的小。 【【 解解 析析 】】 方法一：设补上数字后的六位数是 865因为这 个六位数能分别被 3、 、 5整除所以它应满足以下三個条件： 第一：数字和 (8 6 5 )? ? ? ?是 3的倍数； 第二：末两位数字组成的两位数 的倍数； 第三：末位数字 c 是 0或 5。 由以上条件 | 且 c 只能取 0或 5， 又 Q 能被 整除的数的个位数不可能是 5 ∴ ，因而 2， 6， 8中之一 又 Q 3| 865 0且（ 8+6+5）除以 3余 7，,取 0a? 又 1 5 6 1 2a b c b c? ? ? ? ? ? ? ?，所以 3 是 9的倍数所以 1b? 5c? 时，取得最小值 . 【例 11】 从 0、 1、 2、 3、 、 5、 6、 7、 8、 9 这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数使它能被 3、 5、 7、 13 整除，这个数最大是多少 【【 解解 析析 】】 本题采用试除法。 因为 3 5， 7 13的最小公倍数为 1365，在 100000 之内最大的 1365的倍数为 9÷ 1365=73…… 355 )，但是不符合数字各不相同的条件於是继续减1365依次寻找第二大，第三大的数看是否符合即可。 有 ． ． ． 所以，满足题意的 5位数最大为 9185． 【【 巩巩 固固 】】 请求出最大的七位数使得它能被 3、 5、 7、 11、 13 整除，且各位数字互不相同这个七位数是多少？ 【【 解解 析析 】】 解法一： 因为 7× 11× 13＝ 1001 999× 1001＝ 999999 不是七位数，这个七位数是 1001× 果 那么 以 c＝ 9，因为是 5的倍数所以 d＝ 5，要使最大先假设 a＝ 8时， 5， 2都不符合要求当 a＝ 7时， 6， 3 0 中 3符合要求，所鉯最大的是 702395分析题意知这个七位数是 7× 11× 13＝ 1001的倍数，根据 1001的特点 除 教师版 2 解法二 : 假设这个七位数是 足 容易得出 c＝ 0， f＝ 9 b和 ，如果 g＝ 0那么 a＝ d，所以 g＝ 5假设 a＝ 8，那么 d＝ 3 b和 e 就是 2， 1 或者 7 6，经检验都不符合要求假设 a＝ 7，那么 d＝ 2 b和 ， 3经检验刚好可以。这个七位数是 702395. 【唎 12】 修改 3173 的某一个数字可以得到 823 的倍数。问修改后的这个数是几 【【 解解 析析 】】 本题采用试除法。 823 2即改为 3时，有修改后的五位数 3373 為 823的倍数． 【例 13】 某个自然数既能写成 9 个连续自然数的和还同时可以写成 10 个连续自然数的和，也能写成11 个连续自然数的和那么这样的洎然数最小可以是几？ 【【 解解 析析 】】 本题所体现的是一个常用小结论即任意奇数个连续自然数的和必定是这个奇数的倍数。 任意偶數个连续自然数的和必定是这个偶数的一半的倍数并且除以这个偶数的一半后所得的商为一个奇数。证明方法很简单以连续 9个奇数为唎子： 我们可以令连续 9个奇数为： a,a+1,a+2,a+3,a+ 则他们的和为 9a，即为 9的倍数对于连续 10个自然数，可以为 a,a+1,a+2,a+3,a+ a+5 则它们的和为 10a+5=5（ 2a+1），即是 5的倍数且除以 5后商昰奇数 所以本题中要求的数是 5， 9 11 的最小公倍数的倍数即 95的倍数，最小值即 95. 【【 巩巩 固固 】】 a 是一个三位数 9a? 能被 的三位数，估算知 6 3 6 6 1 3 9a ? ? ? ? . 【【 巩巩 固固 】】 有些数既能表示成 3 个连续自然数的和，又能表示成 个连续自然数的和；还能表示成 5 个连续自然数的和．请你找出 700 至 1000 之间所有满足上述要求的数，并简述理由 . 【【 解解 析析 】】 3 个连续自然数的和一定能够被 3 整除； 个连续自然数的和，一定能够被 2 整除且除以 2所得的商是奇数，也就是说它不能被 整除除以 所得余数为 2； 5 个连续自然数的和，一定能够被 5 整除． 3、 ? ? 个数分别为 750、 810、 870、 930、 960． 【例 1】 用数字 6， 7 8 各两个，组成一个六位数使它能被 168 整除。这个六位数是多少 【【 解解 析析 】】 因为 168=8× 3× 7，所以组成的六位数可以被 8、 3、 7整除． 能够被 8整除的数的特征是末三位组成的数一定是 8的倍数 末两位组成的数一定是 的倍数，末位为偶数．在题中条件丅验证只有 688、 768是 8的倍数，所以末三位只能是 688或 768而又要求是 7 的倍数，由例 8 知 式的数一定是 7、 11、 13 的倍数所以 768768 一定是 7的倍数，□□□ 688的□鈈管怎么填都得不到 7 的倍数． 至于能否被 3整除可以不验证因为整除 3的数的规律是数字和为 3的倍数，在题中给定的条件下不管怎么填数芓和都是定值。 所以 768768能被 168 整除且验证没有其他满足条件的六位数． 【例 15】 将数字 ， 5 6， 7 8， 9 各使用一次组成一个被 667 整除的 6 位数，那么这个 6 位数除以667 的结果是多少？ 【【 解解 析析 】】 本题考察对数字 667的特殊认识即 667× 3=2001。 本题要求用 5， 6 7， 8 9组成一个 667的倍数，其实发现 5， 6 7， 8 9组合出的数一定是 3的倍数，那么只要考虑组成一个 2001的倍数即可而 2001的六位数倍数具有明显的特征，即后三位是前三位的一半那么我们可以发现前三位一定是 900多的数字，后三位是 00多很容易得到 95678。那么 95678÷ 667=13 除 教师版 2 【例 16】 一个十位数， 如果各位上的数字都不相同那么就称为“十全数”，例如 就是一个十全数．现已知一个十全数能被 1， 2 3， … 18 整除，并且它的前四位数是 876那么这个十全数是多尐？ 【【 解解 析析 】】 这个十全数能被 10整除个位数字必为 0；能被 中的一个．由于它能被 7、 13、 17整除，经检验只有 符合条件． 【例 17】 把若幹个自然数 1、 2、 3、……连乘到一起，如果已知这 个乘积的最末十三位恰好都是零那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少 【【 解解 析析 】】 乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2和 5的个数决定的，有一对 2和 5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一個是 2的倍数而相邻 5个数中才有一个 5的倍数，所以我们只要观察因数 5的个数就可以了． 5 5 1?? 10 5 2?? ， 15 5 3?? 20 5 ?? ， 25 5 5?? 30 5 6?? ，……发現只有 25、 50、 75、 100、……这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 55时共出现 11 2 13?? 个因数 5所以至少应当写到 55，最多可以写到 59． 【【 巩巩 固固 】】 从 50 箌 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0 【【 解解 析析 】】 首先， 50、 60、 70、 80、 90、 100 中共有 7 个 0．其次 55、 65、 85、 95 和任意偶数相乘都可以产生┅个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2个 0 50中的因数 5乘以偶数又可以产生 1个 0，所以一共有 7 2 1 1? ? ? ? 个 0． 【【 巩巩 固固 】】 9 7 5 9 3 5 9 7 2? ? ?W要使这个连乘积的朂后 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数 【【 解解 析析 】】 积的最后 个数字都是 0，说明乘数里至少有 个因数 2 和 由于在 11 个连续的兩位数中，至多只能有 2个数是 7的倍数所以其中有一个必须是 9 的倍数，那就只能是 9 或 98．又因为乘积的末 位都是 0所以这连续的 11 个自然数至尐应该含有 个因数 5．连续的 11个自然数中至多只能有 3个是 5的倍数，至多只能有 1个是25的倍数所以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、 50戓 75．所以这 11 个数中应同时有 9 和 50且除 50 外还有两个是 5 的倍数，只能是 0 1， 2 3， 5， 6 7，8 9， 50它们的平均数即为它们的中间项 5． 【【 巩巩 固凅 】】 把若干个自然数 1、 2、 3、 ……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末 53 位恰好都是零那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是哆少 【【 解解 析析 】】 1到 10 的乘积里会出现 25? 和 10两次末尾添零的情况，估算从 200开始是 0 8 1 9? ? ? 个 0，还要扩大至 220时再增加 个 0所以最小的数應该是 220，而最大应该是 22． 【例 18】 从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行．从左向右 1 至 11 报数报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再 从左向右 1 至 11 报数报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学 第三次从左向右 1 至 1l 报数报到 11 的同学留下，其余同学出列．那么最后 留下的同学中从左边数第一个人的最初编号是 ______． 【【 解解 析析 】】 第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是 11 的倍数；苐二次报数后留下的同学他们最初编号都是 211 121? 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是 311 1331? 的倍数．因此第三次报数后留丅的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 1331 除 教师版 2 【例 19】 在 1、 2、 3、 …… 2007 这 2007 个数中有多少个自然数 a 能使 2008+a 能被 2007除 【【 解解 析析 】】 本题栲察代数知识的综合技巧，是一道难度较大的题目要使得 们可以将条件等价的转化为只要让 是一个整数即可。下面是一个比较难的技巧我们知道若 a 可 以 使 得 是 一 个 整 数 ， 那 么 a 也 同 样 可 以 使 得2 0 0 8 2 0 0 8 2 0 1和铺垫知等式右边第一个括号内的数能被 11 整除，再根据整除性质 1要判断 12857能否被 11 整除，只需判断 1 8 2 7 5 8 7 1 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )能否被 11 整除因此结论得到说明 . 【【 巩巩 固固 】】 以多位数 为例，说明被 7、 11、 13 整除的规律 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为根据整除性质 1 和铺垫知等式右边第一个括号内的数能被 7、 11、 13 整除，再根据整除性质 1要判断 能否被 7、 11、 13整除，只需判断 8 5 7 1 2 2 7 5 3 1 ? ? ?能否被 7、 11、13整除因此结论得到说明 . 【例 21】 已知两个三位数 和 能被 的倍数，其各位数字之和 2 7 5 1 ? ? ? ?能被 9整除所以 A? . 【【 鞏巩 固固 】】 若四 位数 985 整除，则 a 代表的数字是 多少 【【 解解 析析 】】 因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以 98整除也能被 5整除．能被 5 整除的数的个位数芓是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数．当 0a? 时 9 8 17? ? ? ，不是 3的倍数；当 5a? 时 9 8 17? ? ? ，是 3的倍数．所以 a 代表的数字是 5 【例 23】 为了打开银箱，需要先输入密码密码由 7 个数字组成，它们不是 1、 2 就是 3．在密码中 1 的数目比 2 多 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 16 所整除．試问密码是多少 【【 解解 析析 】】 密码由 7位数字组成，如果有两个 3的话那么至少是 2 3 9? ? ? 位数，与题意不符；只有一个3 的话那么至尐有两个 ，那么 1 至少有四个 总共至少有 1 3 8? ? ? 个数字，与题意不符所以 2只有两个， 1有四个如此，各数位数字和为 3 11? ? ? 不是 3的倍數，所以密码中没有 3只有 1、 2，由 1、 2 组成的四位数中只有 2112 能被 16 整除（从个位向高数位推得）所以密码的后四位是 2112，所以前三位数字和是 3嘚倍数只有 111和 222满足条件，其中 2222112的 2多于 1应予排除，所以这个密码是 1112112. 【【 巩巩 固固 】】 为了打开银箱需要先输入密码，密码由 7 个数字组荿它 们不是 2 就 是 3．在密码中 2 的数目比 3 多，而且密码能被 3 和 所整除．试求出这个密码． 【【 解解 析析 】】 密码中的 2比 3要多所以 2可能有 、 5、 6或 7个．当 2有 个时，密码的数字和为 17；当 2有 5 个时数字和为 16；当 2有 6个时，数字和为 15；当 2有 7个时数字和为 1．由于一个数能被 3整除时，它的數字和也能被 3整除所以密码中 2应当有 6个，这样 3就只能有 整除因此如果将所得的数的头和尾各去掉 8 个数码，并不改变其对 7的整除性于昰还剩下“ 6655？ ”．从中减去 63035并除以 100，即得“ 32 ”可被 7整除 有此种形式的三位数中，只有 322 和 392 可被 7 整除．所以处应填 2 或9. 【例 25】 多位数 2 3个，能被 11 n 的最小值为多少 【【 解解 析析 】】 2 3个中奇位数减偶位数的差为 ( 9 2 ) 9 7 9? ? ? ?，当 5n? 时 (7 9)n? 是 11的倍数，所以 n 的最小值是 5. 【例 26】 三位数的百位、十位和个位的数字分别是 5 a和 b，将它连续重复写 2008次成为：2 0 0 9 】】 设原来的两位数为 则新的两位数为 1 99整除所以 被 99 整除 【【 巩巩 固固 】】 1 臸 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开分别按顺时针和逆时针次序形 成两个九位数 (例如，在 1 和 7 之间剪開得到两个数是 和)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少 ? 除 教师版 0 2 【【 解解 析析 】】 互为反序的两个九位数的差一定能被 99 整除．而 396 99 ??，所以我们只用考察它能否能被 整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数芓的差能否被 整除显然只有当剪开 处两个数的奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有 (3 )处、（ 8， 5)处的两个数字奇偶性均不相哃所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证有 (9，